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L

N(L) = n(L) dL

. 0

Ottenendo n(L) dalla derivazione della curva cumulativa :

d N(L)

n(L) = dL

Un esempio della derivazione della curva cumulativa N(L) è riportato di seguito:

20000

10000 n(L)

0 12 10 8 6 4 2 0

L (Size)

I modi più comuni per ottenere curve cumulative delle dimensioni di particelle sono:

• Setacciatura di materiali sciolti

• Trasformazioni di distribuzioni di aree misurate in sezioni planari in distribuzioni di dimesioni nello

spazio

Le distribuzioni di dimensioni nel piano si misurano, a loro volta, determinando alcune caratteristiche delle

particelle come:

1) diametri o raggi (per particelle sferiche o sub-sferiche)

2) lunghezze di corde (per forme generiche)

3) aree (per forme generiche)

I moderni metodi di acquisizione di immagini tramite scanners e computers, hanno reso particolarmente facile

ed economica, in termini di tempo, l'acquisizione di questi dati che, tuttavia, hanno bisogno di una adeguata

teoria stereologica per trasformare le informazioni raccolte in un piano in dati riferibili all'intero volume del

campione in esame.

In ogni caso l'acquisizione del dato planare necessita di operare su di una immagine del campione nel quale

occorre distinguere la fase di interese da tutto il resto. La distinzione automatica delle fasi si basa su metodi di

segmentazione delle immagini il cui scopo finale è quello di mettere nella massima evidenza l 'oggetto di

interesse sfruttandone le proprietà , in genere ottiche, più adatte. Lo scopo finale di tutto il processo è

comunque quello di passare da informazioni raccolte nel piano (2-D)a determinazioni valide nello spazio (3-D).

Analisi della distribuzione di aree.

La segmentazione consiste nell'assegnare valori dati a a parti differenti di una immagine a colori o in livelli di

grigio della sezione di interesse. Ciò può essere ottenuto contornando a mano l'immagine o con un software di

analisi di immagine che consente di evidenziare nell'immagine tutte le parti in cui il livello di grigio o di colere

si trova all'interno di un intervallo di valori che consente una efficace distinzione della fase di interesse. La

segmentazione risulta più facile se esiste un forte contrasto tra l'oggetto di interesse e lo sfondo

In questa immagine BN di una lava dell'Etna, la magnetite risulta nera: 5

Esempio di immagine digitalizzata: la sezione 1884/2.

Fig. 10a ­

Ed una soglia adeguata consente una immediata distinzione del minerale:

Esempio di separazione delle magnetiti tramite sogliatura

Fig. 10b ­

dalla figura 10a.

Fornendo una immagine binaria in cui i Pixels appartenenti alla magnetite sono posti =1 (nero) e a tutto il

resto è assegnato il valore =0 (bianco) In questo altro esempio Plagioclasio, olivina, clinopirosseno e vescicole

appaiono con diversi livelli di grigio chiaro

Immagine sorgente Bolle & cristalli

Esempio di separazione mediante sogliatura di bolle, plagioclasi,

Fig. 11 ­

olivine e clinopirosseni: la sezione 1983/2. 6

Ed una opportuna sogliatura dei livelli più bassi e più alti di grigio caratteristici di queste fasi consente di

separare le varie fasi (bianco) dal vetro e dalla magnetite.

Situazioni più complesse, per esempio la distinzione tra minerali chiari, scuri e vescicole possono richiedere

varie manipolazioni che sfruttino immagini intermedie acquisite con filtri polarizzanti o analizzatori, secondo le

normali procedure dell'indagine petrografica. Questi metodi rappresentano di per sé una branca importante

della Computer Science e richiedono un adeguato addestramento nell'uso dei programmi di analisi di immagine.

In qualche caso si presenta necessario colorare il campione o acquisire immagini con tecniche che impieghino

"luce catodica" o irraggiamenti del campione con radiazioni varie . Il tutto va comunque finalizzato ad ottenere

la massima "distinguibilità" della fase di interesse rispetto allo "sfondo". Qui siamo tuttavia interessati alle

ricostruzioni delle Size Distributions nello spazio e non svilupperemo ulterirmente questo punto.

Per la ricostruzione delle distribuzioni spaziali, occorre fare delle assunzioni "a priori" sulla forma delle

particelle, dal momento che forme diverse possono generare le stesse distribuzioni planari di dimensioni delle

loro sezioni:

A

B

C

Il caso A rappresenta una distribuzione monodispersa di sfere (hanno tutte lo stesso diametro) un caso del

genere si può presentare in aggregati artificiali (es calcestruzzo) o naturali (sedimento perfettamente classato) Il

caso B illustra come la stessa distrubuzione planare sia generabile da una distribuzione polidispersa di diametri.

Nell'ultimo caso una sola sezione non può darci alcuna informazione sulla distribuzione spaziale

Nel caso di distribuzioni spaziali di minerali e vescicole nelle rocce assumeremo che gli oggetti di interesse

siano assimilabili a particelle sferiche: questa approssimazione implica rilevanti deviazioni dalla realtà solo per

minerali fortemente elongati ma si presenta ampiamente accettabile per la maggior parte dei minerali delle

rocce ignee. 7

Si noti comunque che, nelle applicazioni petrologiche, la forma dei granuli non è sferica e che le loro sezioni

non sono dei circoli, tuttavia nella trattazione che segue applicheremo i risultati ai raggi dei circoli le cui aree

sono equivalenti a quelle determinate per le sezioni dei minerali.

Ricostruzione stereologica delle Crystal Size Distributions

Distribuzioni monodisperse

Cominciamo con il caso semplice di una distribuzione monodispersa di sfere con diametro Dj per le quali si

verifica :

NV=NA/ Dj (1)

dove: NV è il numero di particelle per unità di volume

NA è il numero di particelle per unità di area

Dj è il diametro costante delle sfere

A B

D j

D

Spheres of diameter j

AB

cut by the section .

In figura, solo le sfere il cui diametro è ad una distanza minore di Dj/2 sono tagliate dalla sezione AB di area

unitaria. Il Numero di sezioni per unità di area, e conseguentemente il numero per unità di volume, risulta

pertanto: NA/Dj.

Distribuzione Polidispersa

Trattando di cristalli e vescicole nucleati in differenti momenti possiamo assumere che le nostre distribuzioni

areali di dimensioni siano generate da particelle di taglia differente tagliate a differenti distanze dal loro centro

(caso B) Esistono vari metodi per ricostruire una Crystal Size Distribution (CSD) nello spazio di una fase

dispersa in base a informazioni planari (Russ, 1986). Nel compendio di Cashman and Marsh (1988), la

conversione dalle distribuzioni apparenti 2-D a quelle volumetriche si effettua secondo i seguenti metodi:

1.5

Nv = NA (Kirkpatrick, 1977) (a)

1.5

NA

Nv = (Gray, 1970; Gray 1978;Kirkpatrick, 1978) (b)

f N A

N = best fit of (DeHoff and Rhines, 1968 ) (c)

v dA 8

Dove N è il numero di granuli per unità di volume, N è il numero di granuli per unità di area, f è la

v A

frazione modale dei granuli e d è la lunghezza media della proiezione ortogonale dei granuli intersecati su

A

una liena perpendicolare alla sezione sottile. Nelle formule (a), (b) e (c) il contributo delle sfere più grandi

alle aree apperenti più piccole viene ignorato . Infatti le circonferenze più piccole possono essere generate su

una sezione sia da sferette piccole sia da sfere grandi tagliate a distanze dal centro vicine al valore del raggio.

Di seguitto adottiamo una trattazione del problema valida per il trattamento di immagini digitalizzate dove le

areee delle particelle possono assumere solo valori discreti, multipli della risoluzione di ciascun pixel.

L'algoritmo si basa sulla considerazione che il diametro di una particella nel piano dipende dal punto in cui la

sezione la taglia e che pertanto è possibile determinare un istogramma di frequenza delle dimensioni che si

possono ottenere per le dimensioni di un cerchio in base alla frequenza delle sfere nel volume di riferimento.

La trattazione che segue fu proposta originariamente da Schwartz negli annit renta ed è nota come metodi di

Schwartz-Saltykov (De Hoff & Rhines, 1972). La procedura fu a suo tempo considerata come

particolarmente farraginosa per il gran numero di calcoli implicati, tuttavia si presta ad una facile

implementazione algoritmica su computer che consente di ottenere ricostruzioni molto più accurate di quelle

raggiungibili con le formule a, b e c.

Il Metodo di Schwartz-Saltykov

Se misuriamo una sezione di diametro di , siano :

• p(i,j) la probabilità che una sfera di diametro Dj >di sia tagliata in modo da fornire una sezione di diametro

di.

• NA(i,j) il numero di sezioni di diametro di per unità di area ottenute da sfere di diametro Dj .

Il numero di sfere di diametro di per unità di volume è pertanto dato da : 9

10

11

(2)

E il problema da risolvere è la determianzione del valore di p. 12

Assumendo un "adatto" intervallo tra le classi possiamo generare j classi tagliando una sfera di diametro

Dj ad una distanza l'una dall'altra. La probabilità di tagliare un sezione con un diametro compreso tra 13

e 14

e 15

d

16

(con ), è d irett amente proporzionale allo spessore h dell a sezione ed i nversamente proporziona 17

18

19

(3)

dove h(i-1) e hi sono le distanze dal centro della sfera cui i diametri d(i-1) e di rispettivamente corrispondono:

δ (ι )

−1 D 2

j

h )

−1

i

( δ

η ι η

ι distanze tra centro della sfera e piani secanti le sezioni limite

Fig. 2­

della i­esima classe

In base a questa probabilità Schwartz e Saltykov hanno elaborato un metodo di eliminazione del contributo

delle sfere più grandi alla popolazione di quelle più piccole, basato su successive sottrazioni:.

Per esprimere la eq. (3) in funzione di i, j e Dn , dall figura di sopra osserviamo che: 20

21

22

(4), da cui 23


PAGINE

43

PESO

1.13 MB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Geomateriali a cura del Prof. Pietro Armenti, riguardante le tecniche di analisi di immagine applicate alla ricostruzione stereologica delle strutture tridimensionali ed in particolare: i metodi di misura della frazione in volume, il metodo di Schwartz - Saltykov.


DETTAGLI
Esame: Geomateriali
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze naturali ed ambientali
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geomateriali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Armienti Pietro.

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