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Stati nel continuo

Questo appunto tratto dal corso di lezioni di Microeconomia, tenuto dalla professoressa Maria Augusta Miceli, analizza gli Stati di natura nel continuo. Nello specifico i temi sono: Approccio media-varianza, portafogli possibili, scelta ottima, Capital Asset Pricing Model, rendimento di attività... Vedi di più

Esame di Microeconomia I docente Prof. M. Miceli

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Scelte di portafoglio

Stati di natura nel continuo - Approccio media-varianza

Maria Augusta Miceli

Dipartimento di Economia Pubblica

Università di Roma ”La Sapienza”

April 13, 2007

1 Approccio media-varianza

Ipotesi:

1. Stati di natura infiniti. 2

2. Distribuzione di probabilità definita dai soli primi due momenti: media µ e varianza σ

Media

Definizione 1 t

´ ´

³ ³ S

X

∼ ∼ ts t

µ x = E x = π x

t 1s

t t

s =1

è una misura di sintesi della distribuzione.

Varianza ½h ¾ t

´ ´i ´i

³ ³ h ³

S

X

2 2

∼ ∼ ∼ ∼

2 ts t

σ x = E x − E x π − E x

= x

t t t

1s

t

s =1

è una misura della dispersione della distribuzione.

Es. (Trilussa) Tre individui:

Caso 1: Uno mangia 3 polli, gli altri zero.

x = 0, x = 0, x = 3

1 2 3

2 2 2

0+0+3 (0 − 1) + (0 − 1) + (3 − 1)

2

µ = =

= 1; σ =2

3 3

Caso 2: Ognuno mangia un pollo. = 1, x = 1, x = 1

x

1 2 3

2 2 2

+ (1 − 1) + (1 − 1)

1+1+1 (1 − 1)

2

µ = =

= 1; σ =0

3 3

Conoscere i soli primi due momenti della distribuzione e’ sufficiente se

Proposizione 1

- la distribuzione dei rendimenti e’ arbitraria, ma la f. utilitàe’ quadratica.

Prop 1

- la distribuzione dei momenti e’ Normale, e la f. utilità e’ arbitraria.

Proprietà

1. f. utilità quadratica.

Pro: media e varianza sufficienti.

Contro: ∃ sazietà; coefficiente di avversione al rischio assoluto (ARA) crescente. Entrambi portano a

risultati controntuitivi. 1

2. f. utilità normale.

Pro: media e varianza sufficienti.

Contro: il dominio va fino a −∞ e più portare a consumo negativo.

3. f. lognormale.

Contro: non è preservata con l’addizione.

1.1 Oggetti di scelta

Il rendimento di un’attività finanziaria è una variabile aleatoria, i.e. assume valori diversi in

Definizione 2

ogni stato di natura, ed è definita da una funzione di densità (l’equivalente di una funzione di probabilità nel

continuo). La funzione di densità è Normale (o gaussiana) e pertanto descritta dai soli primi due momenti

Ipotesi 1

centrali: media e varianza ¡ ¢

2

r ∼ N µ , σ

i i i

Ogni rendimento è quindi descrivibile da un punto sul piano (σ, µ) .

Un ”portafoglio” è il vettore dei coefficienti di una combinazione lineare dei rendimenti delle

Definizione 3

attività finanziarie r . I coefficienti sono ”pesi” percentuali che sommano ad uno.

i n

X

n

{x } , tali che x = 1

i i

i=1 i=1

Essendo un portafoglio una combinazione di variabile aleatorie sarà anche esso una variabile aleatoria

n

X

e e

r = x r

p i i

i=1

n n

X X

E(e

r ) = x E(e

r ) = x µ

p i i i i

i=1 i=1

n n

X X 2

V ar(e

r ) = x V ar(e

r ) = x σ

p i i i i

i=1 i=1

Anche il portafoglio sarà un punto sul piano (σ, µ) .

”Attività senza rischio”. E’ un’attività con rendimento costante in ogni stato di natura e dunque

Definizione 4

con varianza nulla r ∼ (r , 0)

f f

1.2 Insieme dei portafogli possibili

Consideriamo il piano (µ, σ) nel quale ogni punto costituisce un portafoglio. Vediamo

- quale forma ha l’insieme dei portafogli possibili nel caso di un’attività rischiosa e una senza rischio.

1.2.1 Caso 1 - Un’attività rischiosa e una senza rischio: ”capital market line”

Introduciamo un’attività senza rischio, ovvero che ha un rendimento dato.

L’attività senza rischio introduce la possibilità di prendere e dare a prestito. Ovvero introduce

Osservazione 1

la possibilità di scambiare su un mercato. Determina un prezzo di mercato del rischio ed equivale, nel ruolo, al

vincolo di bilancio. ∼ ∼

r = x

r + (1 − x) r

p i f

2

¡ ¢

2

dove r ∼ N µ , σ ∼ (r , 0) .

, r

i f f

i i ³ ´

∼ ∼

E r r ) + (1 − x) r

= xE(

p i f (1)

µ = xµ + (1 − x) r

f

p i

σ = xσ + (1 − x) · 0 (2)

p i

In questo caso semplice, si può sostituire direttamente la (2) esplicitata per x nella (1) e ottenere

µ = r + x (µ − r )

f f

p i

µ ¶

µ − r

f

i

+ (3)

σ

= r

f p

σ i

Mettiamo la (3) in grafiuco esplicitando per µ :

p

• r è l’intercetta e rappresenta per l’appunto l’attività finanziaria senza rischio che da un rendimento r e

f f

= 0. Lo stesso punto esprime un portafoglio investito nella sola attività senza rischio ovvero

un rischio σ p

in cui x = 0.

• la pendenza espressa dal termine in parentesi è il calcolato dal mercato,

”premio per il rischio”

ovvero quanto rendimento medio in eccesso sul rendimento senza rischio un’attività deve fornire se ha

una volatilità pari a σ .

i

• Esempio grafico per µ ¶

0.1 − 0.03

µ = 0.03 + σ p

p 0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

• L’insieme al di sotto della retta detta ”capital market line” rappresenta l’insieme dei portafogli esistenti.

Tuttavia solo i portafogli sulla frontiera sono efficienti. Ogni portafoglio al di sotto di tale retta per un

pari rendimento medio offre una rischio(o, sinonimo, volatilità) maggiore, oppure a pari richio offre un

rendimento minore. Questa retta sarà l’analogo del vicolo di bilancio nel caso della scelta del consumatore.

1.3 Metodo di scelta f

La funzione di utilità è quadratica nei confronti di una ricchezza W aleatoria. Si tratta di una espansione in

³ ´

f

serie di Taylor fino al secondo ordine intorno al punto definito dal valore atteso della ricchezza E W .

³ ´ ³ ´ h ³ ´i

2

f f f f

u W = aE W + b W − E W

2

= aµ + bσ

Il segno del coefficiente b definisce l’attitudine verso il rischio dell’investitore.

3

1. Agente avverso al rischio (Risk averse). Il rendimento medio è un ”bene” mentre la volatilità, espressa

dalla varianza, è un ”male” ed ha segno negativo.

³ ´

f 2

u W = aµ − bσ

2

Disegnamo la curva d’indifferenza aµ − bσ = u, fissando i parametri a = 5, b = 5, u = 4, 8

2

aµ − bσ = u =⇒ 2 2

5x

5x e µ =8+

µ = 4+ 5 5

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5

x

dµ 2bσ

SM S ≡ = > 0

dσ a

l’utilità cresce nella direzione verso l’alto e a sinistra.

2. Agente propenso al rischio (Risk lover). Sia rendimento medio che la volatilità sono beni ed entrambi i

coefficienti sono positivi ³ ´

f 1/2

u W = aµ + bσ

(Sono costretta ad abbassare l’esponente per mantenere la proprietà di convessità - non preoccupatevene).

2

Disegnamo la curva d’indifferenza aµ + bσ = u, fissando i parametri a = 4, b = 4, u = 8, 16

1/2

bx

u

2

aµ + bσ = u =⇒ µ = −

a a

1/2 1/2

8 4x 16 4x

µ = − e µ = −

4 4 4 4

2.5

2

1.5

1

0.5

0 1 2 3 4 5

x

dµ 2bσ

SM S ≡ = − < 0

dσ a

l’utilità cresce nella direzione verso l’alto e a destra (tradizionale).

4


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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratto dal corso di lezioni di Microeconomia, tenuto dalla professoressa Maria Augusta Miceli, analizza gli Stati di natura nel continuo. Nello specifico i temi sono: Approccio media-varianza, portafogli possibili, scelta ottima, Capital Asset Pricing Model, rendimento di attività finanziaria.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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