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A-7

A.4. STABILITÀ STATICA

infatti, perchè l’equilibrio sia ripristinato, occorre, per una data perturbazione ∆y, introdurre le forze

d’inerzia in accordo con la (A.30), ovvero occorre scrivere un equilibrio dinamico

M ∆ÿ + K∆y = 0. (A.33)

Lo studio della stabilità statica consiste nel valutare come variano, per effetto della perturbazione

le sole porzioni del sistema che dipendono dalla derivata di ordine minimo

della soluzione di equilibrio,

della coordinata libera; in un problema meccanico, le forze dipendenti dalla posizione.

La relazione di Equazione (A.29), sviluppata in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibrio

diventa ∂f (y , 0, t)

e ∆y + o (∆y) , (A.34)

f (y + ∆y, 0, t) = f (y , 0, t) +

e e ∂y

da cui, tenendo conto dell’Equazione (A.28) e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si

ottiene ∂f (y , 0, t)

e ∆y; (A.35)

f (y + ∆y, 0, t) =

e ∂y

quindi per valutare la variazione della funzione f in seguito alla perturbazione ∆y dello stato y è

e

sufficiente considerare il segno della derivata parziale di f rispetto a y, a condizione che si sia assunto lo

stesso verso come positivo sia per f che per y. In un problema meccanico, il significato fisico è legato

al verso della variazione di f , che rappresenta una equazione di equilibrio di forza, a seguito di una

perturbazione ∆y di y, che rappresenta uno spostamento.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio si oppone alla perturbazione di configurazione,

si dice che la soluzione di equilibrio è staticamente stabile.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio è concorde con la perturbazione di configura-

si dice che la soluzione di equilibrio è

zione, staticamente instabile.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio si dice che la soluzione di equilibrio è

è nulla,

indifferentemente stabile.

Si noti che, in quest’ultimo caso, la soluzione perturbata è ancora equilibrata, in quanto, dal momento

che la funzione f non varia al variare della coordinata libera, la relazione

f (y + ∆y, 0, t) = 0 (A.36)

e 6

è ancora verificata .

Dallo studio della stabilità dei sistemi lineari a coefficienti costanti si ricava una interpretazione

significativa del concetto di stabilità statica. Infatti, per il sistema descritto dall’Equazione (A.8), la

condizione di stabilità statica è data da K > 0; si noti però che, dal paragrafo A.3.2, assumendo

M > 0, la medesima condizione è necessaria affinché le radici del polinomio caratteristico associato

all’Equazione (A.8), quando sono reali e distinte, siano negative.

Il passaggio di una radice del polinomio caratteristico dal semipiano sinistro (stabile) a quello destro

(instabile) del piano complesso può avvenire attraverso l’asse immaginario lontano dall’origine, quando,

per K > 0 e M > 0, lo smorzamento R passa da positivo a negativo, come illustrato in figura A.3(a);

oppure per l’origine quando, per R > 0, K passa da positivo a negativo, come illustrato in figura A.3(b).

Questo secondo caso è descritto dalla condizione di stabilità statica.

Dal confronto tra lo studio della stabilità della soluzione dell’equazione lineare a coefficienti costanti

e della sua stabilità statica appare evidente che la seconda è una condizione necessaria alla prima, ma

non sufficiente. In questo senso, è corretto affermare che la stabilità statica non è una vera definizione

di stabilità di una soluzione di equilibrio, in quanto il verificarsi della condizione di stabilità statica non

è garanzia di stabilità ma solo un suo prerequisito.

6 A rigore, è verificata al primo ordine, ovvero

f (y + ∆y, 0, t) = o (∆y) (A.37)

e

A-8 APPENDICE A. CENNI SULLA STABILITÀ

(a) Con M > 0, per K > 0, quando (b) Con M > 0, per R ≥ 0, quando

R passa da positivo a negativo. K passa da positivo a negativo.

Figura A.3: Transizione da stabilità ad instabilità al variare di parametri del sistema.

A.5 Regime assoluto

Va sotto il nome di il moto di un sistema che non dipende dalla coordinata libera ma

regime assoluto

solo dalle sue derivate a partire da un dato ordine; ad esempio, per un sistema meccanico, si parla di

regime assoluto quando non sono presenti forze dipendenti dalla posizione, per cui la derivata prima della

posizione è la derivata di ordine minimo da cui dipendono le forze agenti sul sistema, quando questa

derivata assuma un valore costante. Un esempio è dato da un corpo in moto in un fluido in equilibrio a

velocità costante, per quanto concerne la posizione, oppure dal moto delle tipiche macchine rotative in

condizioni di velocità angolare costante.

In questo caso, il problema descritto dall’Equazione (A.5) diventa

F ( ẏ, ÿ, t) = 0 (A.38)

per cui, una volta linearizzato, dall’omogenea associata si ottengono le radici del polinomio caratteristico

−R/M , (A.39)

λ = 0

ove M e R sono state definite in precedenza. Si noti che una delle due radici è sempre nulla, ovvero

il problema è staticamente indifferente. Non bisogna però confondere la stabilità indifferente di questa

soluzione con una condizione critica, legata ad esempio all’avvicinarsi di una soluzione al limite di stabilità

statica. Infatti, in questo caso la stabilità del sistema è strutturalmente indifferente, quindi in realtà è

più corretto descriverne il comportamento utilizzando la velocità come incognita primaria, riducendolo

cosı̀ ad un problema differenziale del primo ordine.

Si studi la stabilità del moto di una particella di massa

Problema: particella in moto in un fluido.

m immersa in un fluido che esercita su di essa una forza viscosa rż che si oppone al moto.

L’equazione di equilibrio della particella in direzione verticale è

mz̈ + rż = mg (A.40)

Si consideri la soluzione di equilibrio, nel senso di regime assoluto, ż = mg/r. Il sistema è lineare a

coefficienti costanti, quindi la sua stabilità si studia mediante le radici del polinomio caratteristico:

0

λ = (A.41)

−r/m, A-9

A.6. STABILITÀ STATICA ED ENERGIA POTENZIALE

ovvero la soluzione è stabile se r/m > 0.

Lo studio della stabilità statica del problema dà un risultato del tutto equivalente: riscrivendo il

sistema al primo ordine nella velocità v , e considerando le sole forze nella derivata di ordine minimo v ,

z z

−rv

f = + mg = 0 (A.42)

z

si verifica che la condizione di stabilità statica ∂f /∂v < 0 è soddisfatta per r > 0, ove per definizione

z

m > 0.

A.6 Stabilità statica ed energia potenziale

(Ovvero: come non rispondere all’esame quando viene chiesto di spiegare che cosa si intende

per stabilità statica).

Nel corso di Meccanica Razionale, lo studio della stabilità di una soluzione di equilibrio viene presentato

nell’ambito di sistemi conservativi a vincoli fissi, in cui l’energia meccanica totale si conserva, ed il cui

moto si manifesta sotto forma di trasferimento di energia da potenziale a cinetica e viceversa. In questi

casi, lo studio della stabilità statica consente di giungere a considerazioni generali sulla stabilità del

problema, in quanto la stabilità statica, che ricordiamo è una condizione necessaria per la stabilità della

soluzione, diventa anche condizione sufficiente. In tale ambito, la ricerca della soluzione di equilibrio

avviene attraverso la ricerca delle soluzioni per le quali l’energia potenziale del sistema è stazionaria,

mentre lo studio della stabilità statica consiste nel determinare se il punto stazionario è un minimo

(stabile) o un massimo o un flesso (o sella per i sistemi a più gradi di libertà, instabile).

Per tale studio, in genere, si ricorre all’uso della matrice Hessiana, ovvero della derivata seconda

dell’energia potenziale rispetto alle coordinate libere del problema. Senza nulla togliere alla validità

di questa trattazione, è fondamentale sottolineare come il concetto di stabilità statica abbia valore

indipendentemente dall’esistenza dell’energia potenziale, in quanto si applica a soluzioni di problemi

qualsiasi, anche non conservativi. Per questo motivo è fondamentale non associare automaticamente il

concetto di stabilità statica alla derivata seconda dell’energia potenziale, cosı̀ come è fondamentale non

associare automaticamente il concetto di equilibrio alla derivata prima dell’energia potenziale.

In un generico problema meccanico, che senza nulla togliere alla generalità viene scelto lineare nelle

forze puramente meccaniche, l’energia cinetica ha la forma

1 2

M ẏ , (A.43)

E =

c 2

mentre l’energia potenziale ha la forma

1 2

E = Ky . (A.44)

p 2

Se è presente anche una sollecitazione attiva

Q = Q (y, t) , (A.45)

y y

l’equazione del moto che ne risulta è

∂E ∂E

∂E

d c p

c − + = Q , (A.46)

y

dt ∂ ẏ ∂y ∂y

ovvero

M ÿ + Ky = Q (y, t) . (A.47)

y

La determinazione della soluzione di equilibrio, se esiste, si ottiene dalla relazione

∂E p = Q , (A.48)

y

∂y

A-10 APPENDICE A. CENNI SULLA STABILITÀ

Figura A.4: Sistema meccanico ad un grado di libertà.

ovvero

Ky = Q (y, t) , (A.49)

y

mentre lo studio della stabilità statica si ottiene valutando il segno della relazione

2

∂ E ∂Q

∂f p y

= + , (A.50)

2

∂y ∂y ∂y

ovvero

∂f ∂Q y

−K

= + . (A.51)

∂y ∂y

Come si può notare, la matrice Hessiana partecipa in quanto, essendo richiesta la derivata parziale della

forza rispetto alla coordinata libera, ed essendo la forza conservativa l’opposto della derivata parziale

dell’energia potenziale rispetto alla coordinata libera, lo studio della stabilità statica viene a richiedere

la derivata seconda dell’energia potenziale.

Tuttavia, la presenza delle forze non conservative Q rende necessario considerare altri contributi

y

alla stabilità statica, per cui la matrice Hessiana fornisce solo una parte dell’informazione richiesta. Al

contrario, le forze conservative possono essere espresse direttamente nella forza generalizzata Q anzi-

y

ché attraverso l’energia potenziale, qualora non si ritenga necessario tenerne in conto la conservatività.

Quindi, la matrice Hessiana dell’energia potenziale può essere utilizzata per concorrere allo studio della

stabilità statica di un problema meccanico, ma il concetto di stabilità statica, cosı̀ come il suo studio,

non dipendono in alcun modo dalla conoscenza o dall’esistenza stessa della matrice Hessiana.

Sia dato il sistema meccanico ad un grado

Problema: sistema meccanico ad un grado di libertà.

di libertà di figura A.4, costituito da una massa m e da una molla k collegata al terreno, a cui è applicata

una forza f .

L’energia cinetica è

1 2

E = mẋ , (A.52)

c 2

mentre l’energia potenziale è

1 2

E = kx . (A.53)

p 2

Il lavoro associato alla forza è

δL = δxf (A.54)

L’equazione del moto è

∂E ∂E ∂E

d c c p

− + = Q (A.55)

x

dt ∂ ẋ ∂x ∂x

ovvero

mẍ + kx = f (A.56)

A-11

A.7. APPLICAZIONI

Figura A.5: Sistema meccanico ad un grado di libertà in un sistema rotante.

La soluzione di equilibrio è x = f /k.

Lo studio della stabilità statica è possibile mediante lo studio della matrice Hessiana, in quanto il

sistema è soggetto a sole forze di natura conservativa e a vincoli fissi:

2

∂ E p

H = = k (A.57)

2

∂x

Il sistema risulta staticamente stabile se k > 0. Si consideri il sistema

Problema: sistema meccanico ad un grado di libertà in rotazione.

definito nel problema precedente, in cui il sistema di riferimento ruoti rispetto all’origine a velocità

angolare Ω costante, come illustrato in figura A.5.

La velocità relativa della massa è

v = ẋ (A.58)

r

mentre quella di trascinamento è

v = Ωx (A.59)

t

e sono tra loro perpendicolari; ne risulta un’energia cinetica

1

2 2 2

m ẋ + Ω x (A.60)

E =

c 2

mentre l’energia potenziale ed il lavoro della forza esterna sono immutati rispetto al problema precedente.

L’equazione del moto è

2

mẍ + k Ω m x = f (A.61)

È possibile definire una condizione di equilibrio rispetto alla variabile cinematica x, dal momento che

l’equazione del moto non dipende esplicitamente dal tempo, mentre la velocità angolare del riferimento

2

mobile è costante per ipotesi. La soluzione di equilibrio è x = f / k Ω m ed è definita solo per

p p

6

Ω = k/m; inoltre, per Ω > k/m, il sistema risulta staticamente instabile. In questo caso, la matrice

Hessiana non può essere usata perché il sistema è soggetto a vincoli mobili.

A.7 Applicazioni

Il problema dello studio della stabilità delle soluzioni e, attraverso la linearizzazione dei problemi attor-

no a soluzioni di equilibrio, lo studio della stabilità dei sistemi lineari, è di importanza fondamentale

nell’ingegneria.

Gli studenti di Ingegneria Aerospaziale incontrano questi problemi e queste tematiche in molti corsi,

spesso presentate in modo diverso da quanto illustrato in queste note perché ogni disciplina può avere

basi, terminologia e problemi specifici.


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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