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Spazi vettoriali

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Proprietà generale della dipendenza lineare: generatori di un sottospazio vettoriale e base; dimensione di un sottospazio vettoriale, teorema della dimensione. Rango di un sistema di vettori. Basi e dimensione dello spazio... Vedi di più

Esame di Matematica Generale docente Prof. M. Castellani

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Lezione 27

Lineare dipendenza (LD) e lineare indipendenza (LI)

Il risultato che abbiamo ottenuto si può enunciare come teorema.

Teorema

Supponiamo che

n 1 2 k

v v v v

è CL dei vettori ,

, , . . . ,

R 1 2 k k −

v v v v

i vettori sono LD con generato dai primi k 1;

, , . . . , −1

1 2 k

v v v v

allora è CL dei vettori .

, , . . . , n

Supponiamo di avere un insieme di k vettori di R

1 2 k

{v }

v v

S = , , . . . ,

1 2 k

C(v

V v v

e poniamo Se i vettori di S fossero LD, grazie al

= , , . . . , ).

precedente risultato, possiamo eliminare un vettore superfluo ed

ottenere un nuovo insieme di k 1 vettori che continuano a generare

dsm

V. Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 2 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Ripetendo eventualmente il ragionamento più volte otteniamo alla fine

0 ⊆

un insieme S S di vettori

0 1 2 h

{v }

v v

S = , , . . . ,

≤ V

con h k che continuano a generare ma, questa volta, sono LI.

Definizione 1 2 m

{v }

v v

Un insieme di vettori si dice base del SSV

, , . . . , 1 2 m

C(v

V v v

= , , . . . , ) V

se sono LI. Il numero m prende il nome di dimensione di e si indica

V

dim m.

= dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 3 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Abbiamo visto che partendo da un insieme qualsiasi

1 2 k

{v }

v v

S è sempre possibile, attraverso eliminazioni

= , , . . . , 1 2 k

C(v v v

successive, ottenere una base per Tuttavia la

, , . . . , ).

modalità di eliminazione dei vettori superflui non è unica.

Esempio (continua)

2

Dati i vettori di R

1 2 3

v v v

1), 4), 2)

= (2, = (−1, = (1,

1 2 3

C(v }

V v v V.

estrarre una base per e determinare dim

= , ,

Abbiamo visto che i tre vettori sono LD e che vale la relazione

1 2 3

v 0.

2v 3v

+ = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 4 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Questo implica che possiamo esprimere uno qualsiasi dei tre vettori in

funzione degli altri due

3 2 1

1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 −2v

− v v v v v v

v 3v

+ , = + , = +

= 2 2 3 3

e quindi, eliminandolo, sono possibili tre sottoinsiemi di S:

1 2 3

{v },

v v

eliminando otteniamo S = ,

1

2 1 3

{v },

v v

eliminando otteniamo S = ,

2

3 1 2

{v }.

v v

eliminando otteniamo S = ,

3 2 3

{v }

v

Guardiamo se i vettori dell’insieme S sono LI e quindi

= ,

1

dobbiamo vedere per quali valori di x e x si ha

2 3

−1 1 0

x x

+ =

2 3

4 2 0

cioè −x x 0

+ =

2 3 dsm

4x 2x 0

+ =

2 3

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 5 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Mettendo in evidenza x x nella prima equazione e sostituendo

=

3 2

nella seconda si ottiene 6x 0; quindi l’unica soluzione del sistema è

=

2

x x 0 ed i due vettori sono LI.

= =

2 3

Verificate che pure i vettori degli insiemi S e S sono LI.

2 3

Questo risultato ha validità generale:

Teorema 1 2 k n

{v }

v v

Dato un qualsiasi insieme di vettori S di ,

= , , . . . , R

comunque si proceda nell’eliminazione dei vettori LD, l’insieme di

vettori LI che otterremo alla fine è sempre composto dallo stesso

1 2 k

C(v

V v v

numero di vettori (la dimensione di = , , . . . , )).

Definizione 1 2 k n

{v }

v v

Dato un insieme di vettori S di si chiama rango di

= , , . . . , R dsm

S il numero massimo di vettori LI.

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 6 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Esempio 3

Calcolare il rango dell’insieme S di vettori di R 

     

1 2 0 

 1 1 2

S , ,

=      

2 3 2 

Se i vettori fossero LI il rango di S sarebbe 3:

         

0 1 2 0 x 2x

+

1 2

0 1 1 2 x x 2x

x x x + +

= + + = 1 2 3

1 2 3

         

0 2 3 2 2x 3x 2x

+ +

1 2 3 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 7 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Risolviamo il sistema  x 2x 0

+ =

1 2

 x x 2x 0

+ + =

1 2 3

2x 3x 2x 0

+ + =

 1 2 3

−2x

Dalla prima equazione si ricava x =

1 2

 −2x

x =

1 2

 −x 2x 0

+ =

2 3

−x 2x 0

+ =

 2 3

La terza equazione è inutile poiché uguale alla seconda da cui si ricava

−2x −4x

x x

= =

1 2 1 3

=⇒ x 2x

x 2x =

=

2 3 2 3 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 27 8 / 18

Lezione 27

Base e dimensione

Il sistema ha infinite soluzioni dipendenti dall’incognita x ; ad esempio

3

−4

scegliendo x 1 si ha x e x 2 ed i vettori sono LD

= = =

3 1 2

       

0 1 2 0

−4

0 1 1 2

2

= + +

       

0 2 3 2

Dalla soluzione si vede che uno dei tre vettori lo posso scrivere come

3 1 2

v

CL degli altri: ad esempio 4v 2v e quindi lo possiamo

=

scartare. Quindi l’insieme  

   

1 2

 

0 1 1

S = ,

   

2 3

 

genera lo stesso SSV di S. dsm

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Proprietà generale della dipendenza lineare: generatori di un sottospazio vettoriale e base; dimensione di un sottospazio vettoriale, teorema della dimensione. Rango di un sistema di vettori. Basi e dimensione dello spazio vettoriale reale di dimensione n [math]\mathbb{R}^n[/math]: esempi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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