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In questo materiale didattico relativo agli spazi euclidei vengono trattati i seguenti argomenti:
- Vertici di un triangolo
- Vertici di un parallelogramma
- Sistemi di coordinate
- Parametrizzazioni
- Rette e piani
- Isometrie
- Area
- Volume
- Determinante
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Esame di Mechanics of solids and materials docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

7

appendice 2. spazi euclidei

Si dice area una funzione area : V × V → R, (49)

tale che

1. area(u, v) = − area(v, u),

2. area(u + w, v) = area(u, v) + area(w, v),

3. area(αu, v) = α area(u, v),

e che non valga zero per qualsiasi coppia di vettori. Si può dimostrare che da queste proprietà

deriva che l’area è nulla se e solo se i vettori {u, v} sono linearmente dipendenti.

Esprimendo i vettori come combinazione lineare dei vettori della base {e , e } si ha

1 2

area(u, v) = area(u e + u e , v) = u area(e , v) + u area(e , v)

1 1 2 2 1 1 2 2

= u area(e , v e + v e ) + u area(e , v e + v e )

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

= u v area(e , e ) + u v area(e , e ) + u v area(e , e ) + u v area(e , e )

1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

= (u v − u v ) area(e , e ). (50)

1 2 2 1 1 2

L’area del parallelogramma risulta pertanto uguale al determinante della matrice che ha per co-

lonne le coppie delle componenti dei vettori u e v, moltiplicato per l’area del parallelogramma

corrispondente ai vettori della base. Se la base è ortonormale si assume di solito

area(e , e ) = 1. (51)

1 2

L’espressione trovata per l’area coincide con quella che si può calcolare seguendo la Fig. 2, utiliz-

zando la definizione di area di un rettangolo e di area di un triangolo, attraverso l’espressione

³ ´

u u + v v

1 2 1 2

(u + v )(u + v ) − 2 + v u = u v − v u . (52)

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2

5 Volume

In uno spazio euclideo di dimensione 3 si consideri una posizione p e il parallelepipedo corrispon-

A

dente ad una terna di vettori {u, v, w}, di vertici

p ,

A

p + u, p + v, p + w,

A A A (53)

p + u + v, p + v + w, p + w + u,

A A A

p + u + v + w.

A

Si dice volume una funzione vol : V × V × V → R, (54)

tale che

1. vol(u, v, w) = − vol(v, u, w) = − vol(u, w, v),

2. vol(u + z, v, w) = vol(u, v, w) + vol(z, v, w),

3. vol(αu, v, w) = α vol(u, v, w),

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

8 appendice 2. spazi euclidei

e che non valga zero per qualsiasi terna di vettori.

Esprimendo i vettori come combinazione lineare dei vettori della base {e , e , e } si ha

1 2 3

3 3 3

X X X

vol(u, v, w) = u vol(e , v, w) = u v vol(e , e , w)

i i i j i j

i=1 i=1 j=1

3 3 3

X X X

= u v w vol(e , e , e )

i j k i j k

i=1 j=1 k=1

= (u v w + u v w + u v w − u v w − u v w − u v w ) vol(e , e , e ). (55)

1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3

Il volume del parallelepipedo risulta pertanto uguale al determinante della matrice che ha per

colonne le terne delle componenti dei vettori u, v e w, moltiplicato per il volume del parallelepipedo

corrispondente ai vettori della base. Per questo si può assegnare la funzione volume semplicemente

assegnando il volume del parallelepipedo corrispondente ai vettori della base. Ad esempio si può

assumere vol(e , e , e ) = 1. (56)

1 2 3

Si consideri una funzione vol non nulla. Il volume corrispondente alla terna {u, v, w} è nullo

se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti. Infatti se {u, v, w} sono dipendenti allora un

vettore si può esprimere come combinazione lineare degli altri e per la propietà di antisimmetria

(1.) il volume risulta nullo. Viceversa, se vol(u, v, w) = 0 allora i tre vettori sono linearmente

dipendenti, altrimenti costruendo con essi una base si otterrebbe un volume nullo in corrispondenza

di qualsiasi terna di vettori, risultando cosı̀ nulla la funzione vol, contrariamente a quanto assunto.

6 Determinante

Nel caso di spazio euclideo di dimensione 2, ponendo per un tensore F di V

Fe = f e + f e

1 11 1 21 2 (57)

Fe = f e + f e

2 12 1 22 2

si ha area(Fe , Fe ) = area(f e + f e , f e + f e )

1 2 11 1 21 2 12 1 22 2

= (f f − f f ) area(e , e ). (58)

11 22 21 12 1 2

Si definisce determinante di F il rapporto area(Fe , Fe )

1 2

det F = (59)

area(e , e )

1 2

Si dimostra che tale rapporto non dipende dalla scelta della coppia di vettori e neppure dalla scelta

della funzione area.

La definizione data si estende al caso di spazio euclideo di dimensione 3. Per un tensore F di

V si definisce determinante di F il rapporto vol(Fe , Fe , Fe )

1 2 3

det F = (60)

vol(e , e , e )

1 2 3

Si noti che ponendo Fe = f e + f e + f e

1 11 1 21 2 31 3

Fe = f e + f e + f e (61)

2 12 1 22 2 32 3

Fe = f e + f e + f e

3 13 1 23 2 33 3

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

9

appendice 2. spazi euclidei

si ottiene vol(Fe , Fe , Fe )

1 2 3

= vol(f e + f e + f e , f e + f e + f e , f e + f e + f e )

11 1 21 2 31 3 12 1 22 2 32 3 13 1 23 2 33 3

= (f f f + f f f + f f f − f f f − f f f − f f f ) vol(e , e , e ). (62)

11 22 33 21 32 13 31 12 23 11 32 23 21 12 33 31 22 13 1 2 3

7 Traccia

Dato un tensore A di V si definisce traccia di A il rapporto

vol(Ae , e , e ) + vol(e , Ae , e )v + vol(e , e , Ae )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

tr A = (63)

vol(e , e , e )

1 2 3

Si noti che ponendo Ae = a e + a e + a e

1 11 1 21 2 31 3

Ae = a e + a e + a e (64)

2 12 1 22 2 32 3

Ae = a e + a e + a e

3 13 1 23 2 33 3

si ottiene vol(a e , e , e ) + vol(e , a e , e ) + vol(e , e , a e )

11 1 2 3 1 22 2 3 1 2 33 3

tr A = (65)

= a + a + a .

11 22 33

vol(e , e , e )

1 2 3

8 Invarianti principali

Si consideri la funzione ι tale che

2

vol(Ae , Ae , e ) + vol(Ae , e , Ae )v + vol(e , Ae , Ae )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

ι (A) = (66)

2 vol(e , e , e )

1 2 3

Espandendo ciascuno dei termini del denominatore si ottiene, utilizzando la definizione (63),

vol(Ae , Ae , e ) = vol(Ae , a , e )

1 2 3 1 2 3

= tr(A) vol(e , a , e ) − vol(e , Aa , e ) − vol(e , a , Ae )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2

= tr(A) vol(e , Ae , e ) − vol(e , A e , e ) − vol(e , Ae , Ae ) (67)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

vol(Ae , e , Ae ) = vol(a , e , Ae )

1 2 3 1 2 3

= tr(A) vol(a , e , e ) − vol(a , Ae , e ) − vol(Aa , e , e )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2

= tr(A) vol(Ae , e , e ) − vol(Ae , Ae , e ) − vol(A e , e , e ) (68)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

vol(e , Ae , Ae ) = vol(e , Ae , a )

1 2 3 1 2 3

= tr(A) vol(e , e , a ) − vol(Ae , e , a ) − vol(e , e , Aa )

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2

= tr(A) vol(e , e , Ae ) − vol(Ae , e , Ae ) − vol(e , e , A e ) (69)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

avendo posto temporaneamente a := Ae . Sommando e dividendo per vol(e , e , e ) si ottiene

i i 1 2 3

2

ι (A) = tr(A) tr(A) − ι (A) − tr(A ) (70)

2 2

da cui risulta ¡ ¢

1 2 2

ι (A) = tr(A) − tr(A ) . (71)

2 2

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

10 appendice 2. spazi euclidei

Si dicono invarianti principali di un tensore A di V i coefficienti del polinomio caratteristico.

Espandendo l’espressione del polinomio caratteristico

¡ ¢

vol (A − λI)e , (A − λI)e , (A − λI)e

1 2 3

det(A − λI) = (72)

vol(e , e , e )

1 2 3

si ottiene 3 2

det(A − λI) = −λ + ι (A) λ − ι (A) λ + ι (A) (73)

1 2 3

con ι (A) = tr(A) e ι (A) = det(A). Se lo spazio V ha dimensione 2 si ottiene invece

1 3 2

det(A − λI) = λ − tr(A) λ + det(A). (74)

9 Orientamento

Definita un’area in uno spazio euclideo di dimensione 2, si dicono orientate positivamente le coppie

ordinate di vettori a cui corrisponde un parallelogramma di area positiva, orientate negativamente

quelle a cui corrisponde un parallelogramma di area negativa.

Definito un volume in uno spazio euclideo di dimensione 3, si dicono orientate positivamente le

terne di vettori a cui corrisponde un parallelepipedo di volume positivo, orientate negativamente

quelle a cui corrisponde un parallelepipedo di volume negativo.

Per via della (59) e della (60), un tensore F : V → V conserva l’orientamento se e solo se

det F > 0. (75)

10 Prodotto vettoriale

In uno spazio euclideo di dimensione 3, in cui sia stato definito il volume in modo che in corrispon-

denza di una base ortonormale {e , e , e } sia

1 2 3

vol(e , e , e ) = 1, (76)

1 2 3

si definisce prodotto vettoriale tra i vettori u e v il vettore

u × v (77)

tale che u × v · w = vol(u, v, w), ∀w ∈ V. (78)

Si noti che, per le proprietà del volume, u × v = −v × u. Inoltre u × v = o se e solo se i vettori u

risulta

e v sono linearmente dipendenti. Dalla (55)

u × v · e = u v − u v , (79)

1 2 3 3 2 (80)

u × v · e = u v − u v ,

2 3 1 1 3

u × v · e = u v − u v . (81)

3 1 2 2 1

Pertanto è u × v = (u v − u v )e + (u v − u v )e + (u v − u v )e . (82)

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

In particolare risulta e × e = e , e × e = e , e × e = e . (83)

1 2 3 2 3 1 3 1 2

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

11

appendice 2. spazi euclidei

10.1 Prodotto tensoriale antisimmetrico

Il prodotto vettoriale può essere messo in relazione con il prodotto tensoriale nel seguente modo.

In corrispondenza dei due vettori u e v si consideri il tensore

u ⊗ v. (84)

Come qualsiasi tensore questo può essere espresso come la somma della parte simmetrica e della

parte antisimmetrica u ⊗ v = sym(u ⊗ v) + skw(u ⊗ v), (85)

dove 1 1

T T

sym(u ⊗ v) := (u ⊗ v + (u ⊗ v) ), skw(u ⊗ v) := (u ⊗ v − (u ⊗ v) ). (86)

2 2

Essendo la matrice di (u ⊗ v)  

u v u v u v

1 1 2 1 3 1

 

u v u v u v , (87)

1 2 2 2 3 2

u v u v u v

1 3 2 3 3 3

la matrice della parte antisimmetrica risulta

 

0 u v − v u u v − v u

2 1 2 1 3 1 3 1

1  

u v − v u 0 u v − v u . (88)

1 2 1 2 3 2 3 2

2 u v − v u u v − v u 0

1 3 1 3 2 3 2 3

Si osservi che gli elementi (3, 2), (1, 3) e (2, 1) di questa matrice, a meno del fattore 1/2, sono

uguali alle componenti del vettore (82). Esiste dunque una corrispondeza biunivoca tra i vettori

(u × v) e i tensori skw(u ⊗ v), risultando (u × v) il vettore assiale di 2 skw(u ⊗ v).

10.2 Rotazioni e prodotto vettoriale

In uno spazio euclideo di dimensione 3, per la definizione data di prodotto vettoriale, si ha in

corrispondenza di una coppia di vettori u e v

u × v · w = vol(u, v, w), ∀w ∈ V. (89)

Applicando una rotazione R si ottiene

(Ru × Rv) · Rw = vol(Ru, Rv, Rw) = vol(u, v, w) = u × v · w (90)

da cui deriva che ∀w ∈ V (91)

(Ru × Rv) · Rw = u × v · w,

T

R (Ru × Rv) · w = u × v · w. (92)

Risulta pertanto T

R (Ru × Rv) = u × v (93)

T

da cui si ottiene infine, essendo R R = I,

Ru × Rv = R(u × v). (94)

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.

12 appendice 2. spazi euclidei

11 Curve in uno spazio euclideo

Si consideri uno spazio euclideo E di dimensione n. Si dice curva una funzione

c : I → E, (95)

con I intervallo aperto di R, tale che, in corrispondenza di un sistema di coordinate affine definito

da ψ, la funzione n

ψ ◦ c : I → R (96)

sia C . Con ciò si intende che, esprimendo la funzione (95) in termini di coordinate

c(s) = o + c (s)e + c (s)e + · · · + c (s)e , (97)

1 1 2 2 n n

le funzioni c siano C .

i

Si dice vettore tangente alla curva c in s ∈ I il vettore

1

0

c (s) := lim (c(s + h) − c(s)). (98)

h

h→0

Tale vettore esiste poiché per la (97) si ha

³¡ ´

¢ ¡ ¢

1 1

lim (c(s + h) − c(s)) = lim c (s + h) − c (s) e + · · · + c (s + h) − c (s) e

1 1 1 n n n

h h

h→0 h→0

dc dc

1 n

= (99)

(s)e + · · · + (s)e

1 n

ds ds

Si noti che curve diverse possono avere la stessa immagine. In generale due curve c : I → E,

c

g : I → E aventi la stessa immagine C hanno tangenti diverse in punti corrispondenti. Si consideri

g

infatti la funzione σ : I → I (100)

c g

tale che c(s) = g(σ(s)). Dalla definizione (98) e dalla (99) risulta

0 0 0

c (s) = g (σ(s))σ (s), (101)

0

avendo posto σ (s) := dσ(s)/ds.

Spesso con il termine curva si indica il sottoinsieme C ⊂ E immagine di c. Una funzione (95) si

dice parametrizzazione della curva C se il vettore tangente è diverso dal vettore nullo in ogni punto.

Se c e g sono due parametrizzazioni della stessa curva, la funzione (100) si dice riparametrizzazione.

11.1 Lunghezza di una curva

Si consideri l’arco di curva compreso tra i punti p e p della curva C e due parametrizzazioni

A B

c : I → E, g : I → E. Indicando con [z , z ], [s , s ] i corrispondenti intervalli contenuti in I e

c g A B A B c

risulta, attraverso il cambiamento di variabile z = σ(s) e

I e con σ la riparametrizzazione (100),

g

per la (101), Z Z Z

z s s

B B B

0 0 0 0

l := kg (z)kdz = kg (σ(s))k|σ (s)|ds = kc (s)kds. (102)

AB z s s

A A A

Tale scalare, che risulta dipendere solo dalla immagine C, per una fissata norma di V, si dice

lunghezza dell’arco di curva.

DISAT, Università dell’Aquila, 22 dicembre 2008 (79) A. Tatone – Corso di Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo agli spazi euclidei vengono trattati i seguenti argomenti:
- Vertici di un triangolo
- Vertici di un parallelogramma
- Sistemi di coordinate
- Parametrizzazioni
- Rette e piani
- Isometrie
- Area
- Volume
- Determinante
- Traccia
- Invarianti principali
- Orientamento
- Prodotto vettoriale
- Prodotto tensoriale antisimmetrico
- Rotazioni e prodotto vettoriale
- Curve in uno spazio euclideo
- Lunghezza di una curva
- Campi scalari, campi vettoriali e gradienti
- Divergenza di campi vettoriali e campi tensoriali.
6 Determinante 8
7 Traccia 9
8 Invarianti principali 9
9 Orientamento 10
10 Prodotto vettoriale 10
10.1 Prodotto tensoriale antisimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10.2 Rotazioni e prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11 Curve in uno spazio euclideo 12
11.1 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12 Campi scalari, campi vettoriali e gradienti 13
13 Divergenza di campi vettoriali e campi tensoriali 15


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria matematica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Mechanics of solids and materials e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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