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Lezione 28

Prodotto scalare

Proprietà (del prodotto scalare) n

u, v

(ps1) Commutativa: per ogni si ha

R

hu, hv,

vi ui.

= n

u, v, w

(ps2) Distributiva rispetto alla somma: per ogni R

hu hu, hv,

v, wi wi wi.

+ = + n

∈ ∈

u, v

(ps3) Omogeneità: per ogni a, b e

R R

hau, vi

bvi abhu,

=

n

∈ hv, ≥

v vi

(ps4) Non negatività: per ogni si ha 0 ed inoltre

R

hv, ⇐⇒

vi v 0.

0

= = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 28 3 / 16

Lezione 28

Norma

Focalizziamo la nostra attenzione sulla proprietà (ps4). Partiamo dal

2

v

caso semplice scegliendo y allora

= (x, ) R

2 2

hv, vi x y

= + .

hv, vi?

Domanda: che cosa vi ricorda il valore

Risposta: la distanza del punto y dall’origine elevata al quadrato!

(x, )

p

hv, vi v.

In generale il valore rappresenta la lunghezza del vettore

Definizione n

v

Per ogni vettore il valore

R p

kvk hv, vi

=

v v.

si chiama norma del vettore e rappresenta la lunghezza del vettore dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 28 4 / 16

Lezione 28

Norma

Le seguenti proprietà della norma discendono dalle proprietà del

prodotto scalare.

Proprietà (del prodotto scalare) n

∈ kvk ≥

v

(n1) Non negatività: per ogni si ha 0 ed inoltre

R

kvk ⇐⇒ v 0.

0

= =

n

∈ ∈

v

(n2) Omogeneità: per ogni a e

R R

kavk |a| · kvk.

= n

u, v

(n3) Disuguaglianza triangolare: per ogni si ha

R

ku ≤ kuk kvk.

vk

+ + dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 28 5 / 16

Lezione 28

Norma

La disuguaglianza triangolare ha la seguente interpretazione

geometrica kuk kvk

HH

3 H

H

HH

j

:

ku vk

+

H HH H

kvk H

j

H

In un triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 28 6 / 16

Lezione 28

Distanza u v?

Domanda: come si calcola la distanza tra due punti e −

u v

Poiché la distanza coincide con la lunghezza del vettore

u v 3

kuk ku − vk

H HH

H

kvk HH

j ku −

u v v) vk.

si definisce distanza tra e il valore d(u, = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 28 7 / 16

Lezione 28

Distanza

Esempio −2,

u v

Determinare le lunghezze dei vettori 1, 3) e 0) e la

= (2, = (4,

v).

distanza d(u, u

La norma di è √

p 2 2 2

kuk 2 1 3 14

+ + =

=

v

La norma di è √

q 2 2 2

kvk 4 0 20

+ (−2) + =

=

u v

La distanza tra e è √

q 2 2 2

ku − − −

v) vk

d(u, 4) 2) 0) 22.

= = (2 + (1 + + (3 = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 28 8 / 16

Lezione 28

Prodotto scalare e norma

Terminiamo mostrando un’importante relazione tra prodotto scalare e

norma. Necessitiamo di un risultato di trigonometria che prende il

nome di Teorema di Carnot. PP

H

a b a b

θ

o PP

HHH

90 P

PP

H PP

HH

PP P

H

c c

Teorema di Pitagora Teorema di Carnot

2 2 2 2 2 2 −

c a b c a b 2ab cos

= + = + θ

Osservazione π

Nel caso in cui si ottiene cos 0 e quindi il Teorema di Carnot

θ = θ =

2

coincide con il Teorema di Pitagora. dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Struttura metrica dello spazio vettoriale reale di dimensione n [math]\mathbb{R}^n[/math]: prodotto scalare e sue proprietà; norma di un vettore e sue proprietà, disuguaglianza triangolare; distanza tra due punti di [math]\mathbb{R}^n[/math]. Disuguaglianza di Schwarz; definizione del coseno dell'angolo formato da due vettori: condizione di parallelismo e di ortogonalità tra vettori. Area del parallelogramma.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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