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11-9

11.4. MOTO FORZATO

Figura 11.9: Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento.

con F e ω noti. L’equazione di equilibrio per la massa m diventa

0

mẍ + kx = F sin (ωt) (11.44)

0

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa il cui integrale generale è dato dall’integrale

generale dell’omogenea associata più l’integrale particolare

x (t) = x (t) + x (t) (11.45)

g p

ovvero

x (t) = A cos (ω t) + B sin (ω t) + x (t) (11.46)

0 0 p

con x (t) = C sin (ωt) (11.47)

p

integrale particolare che sostituito nell’equazione (11.44) di partenza

2

−mCω sin (ωt) + kC sin (ωt) = F sin (ωt) (11.48)

0

dà F 0 (11.49)

C = 2

k mω

quindi la (11.46) diventa F 0

x (t) = A cos (ω t) + B sin (ω t) + sin (ωt) (11.50)

0 0 2

k mω

Il moto risultante è quindi somma di due funzioni armoniche, una con pulsazione ω , caratteristica del

0

sistema, e l’altra con pulsazione ω, data dalla forzante.

Per effetto degli inevitabili smorzamenti, l’integrale generale dell’omogenea associata, come visto,

tende a zero col crescere del tempo, per cui a noi interessa studiare il solo integrale particolare che

2

rappresenta il comportamento vibratorio a regime del sistema :

F

tt 0 0

x (t) sin (ωt) (11.51)

= 2

k mω

Analizziamo l’ampiezza C del moto a regime al variare dei parametri:

2 La (11.51), a rigore, è vero solo in presenza di smorzamento; tuttavia spesso si opera questa semplificazione anche

in assenza di smorzamento esplicito nell’equazione (11.44), avendo tacitamente assunto che lo smorzamento nel sistema è

sufficientemente piccolo da consentire di ignorarlo, ma è sicuramente presente in misura sufficiente da cancellare, dopo un

tempo sufficientemente elevato, il moto libero della (11.46).

11-10 CAPITOLO 11. SISTEMI VIBRANTI AD UN GRADO DI LIBERT À

Figura 11.10: Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato.

• se la pulsazione ω della forzante tende a zero, l’ampiezza di vibrazione C tende a un valore pari

alla deformazione indotta dalla forza F applicata staticamente;

0

• se la pulsazione ω cresce, l’ampiezza C aumenta (fenomeno dell’amplificazione dinamica) fino a un

asintoto verticale (risonanza):

|C| ∞

lim = (11.52)

ω→ω 0

• al crescere ulteriore della pulsazione ω della forzante, l’ampiezza della risposta si annulla:

|C|

lim = 0 (11.53)

ω→∞

Attenzione: se siamo in risonanza, la soluzione cade in difetto in primo luogo perché il comportamento

della molla è lineare solo per piccoli spostamenti. Inoltre, dobbiamo ricordare che le costanti A e B devono

essere calcolate per la soluzione generale completa rappresentata dalla (11.46) per cui

x (0) = A + x (0)

p (11.54)

ẋ (0) = ω B + ẋ (0)

0 p

supponendo, per t = 0, che tanto lo spostamento quanto la velocità siano nulle, si ottiene

1 ω

F 0 −

sin (ωt)

x (t) = sin (ω t) (11.55)

0

! 2

k ω 0

ω

1 ω 0 →

che fornisce una forma indeterminata del tipo 0/0 per ω ω . Applicando alla (11.55) la regola di de

0

l’Hopital si ottiene

1 F

F ω 0

0 −

− sin (ω t) = (sin (ω t) ω t cos (ω t)) (11.56)

lim x (t) = lim sin (ωt) 0 0 0 0

! 2

k ω 2k

ω→ω ω→ω 0

ω

0 0 −

1 ω 0

per cui sarebbe comunque necessario tempo infinito, anche in condizioni ideali di linearità delle forze

elastiche, per raggiungere ampiezze infinite. Ricordando, infine, che

F /k

F δ

0

0 st (11.57)

=

C = = ! 2

2

2

k ω m ω m ω

1 −

1

k ω 0 11-11

11.5. MOTO FORZATO PER SPOSTAMENTO DEL VINCOLO

Figura 11.11: Sistema vibrante per spostamento del vincolo.

si definisce il coefficiente di amplificazione dinamica H come

1

C =

H (ω) = (11.58)

!

2

δ st ω

1 ω 0

11.5 Moto forzato per spostamento del vincolo

Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto ad un osservatore assoluto con una legge y (t) nota,

come rappresentato in figura 11.11.

Definiamo x (t) lo spostamento assoluto della massa e misuriamo lo spostamento dalla posizione di

equilibrio statico che sarà definita da

y (t) = x (t) x (t) = 0 (11.59)

r

ove x (t) indica lo spostamento relativo della massa, e quindi l’allungamento della molla. Scrivendo

r

l’equazione di equilibrio dinamico, otteniamo

mẍ + k (x y (t)) = 0, (11.60)

ovvero

mẍ + kx = ky (t) (11.61)

che è un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa del tutto simile a quella già vista

nel moto forzato.

Per un osservatore relativo, l’equazione di equilibrio dinamico diventa invece

m (ẍ + ÿ (t)) + kx = 0, (11.62)

r r

ovvero −mÿ

mẍ + kx = (t) (11.63)

r r

Si supponga che il moto del vincolo sia armonico, di frequenza ω e ampiezza b:

y (t) = b sin (ωt) (11.64)

per cui la (11.61) diventa

mẋ + kx = kb sin (ωt) (11.65)

che ha, come integrale particolare,

kb sin (ωt) = X sin (ωt) (11.66)

x (t) =

p 2

k ω m

11-12 CAPITOLO 11. SISTEMI VIBRANTI AD UN GRADO DI LIBERT À

ove X è l’ampiezza di vibrazione nel moto assoluto della massa m. In termini adimensionali:

1

X = (11.67)

! 2

b ω

1 ω 0

del tutto analogo al coefficiente di amplificazione H già definito. Pertanto, una molla potrà essere definita

“rigida” quando non vi è moto relativo, e quindi

X ∼

=1 (11.68)

b

ovvero 2 2

ω ω (11.69)

0

Considerando ora l’osservatore relativo, la (11.63) diventa

2

mẍ + kx = mω b sin (ωt) (11.70)

r r

e quindi 2

mω b

x (t) = sin (ωt) = X sin (ωt) (11.71)

rp r

2

k ω m

che, in termini adimensionali, diventa

! 2

ω

ω

X 0

r (11.72)

= ! 2

b ω

1 ω 0 Supponiamo di avere una macchina con una parte rotante,

Moto forzato dovuto a squilibri rotanti.

avente massa propria M e uno squilibrio di momento statico rispetto all’asse di rotazione, definito

attraverso una massa m e un braccio e rispetto all’asse di rotazione. Supponiamo che la velocità angolare

ω sia costante.

L’accelerazione assoluta della massa eccentrica sarà

¨

2 iωt

~a = ~a + ~a = ω e e + ~x (11.73)

r t

dove, con un certo abuso di notazione, si sono combinati il formalismo esponenziale dei fasori per quanto

riguarda l’accelerazione relativa, centripeta, a cui è soggetta la massa eccentrica, e la notazione vettoriale

più classica per l’accelerazione di trascinamento a cui è soggetta la massa M . Avremo quindi, misurando

gli spostamenti x, positivi verso l’alto, a partire dalla posizione di equilibrio statico, l’equazione della

dinamica dell’intero sistema

2

−ω

M ẍ + m e sin (ωt) + ẍ + 2kx = 0 (11.74)

ovvero 2

(M + m) ẍ + 2kx = mω e sin (ωt) (11.75)

e l’integrale particolare, in condizioni di regime, varrà

2

meω sin (ωt) = X (ω) sin (ωt) (11.76)

x (t) =

p 2

2k (M + m) ω 11-13

11.6. MOTO FORZATO SMORZATO CON ECCITAZIONE ARMONICA

Figura 11.12: Sistema vibrante per squilibrio dinamico.

e quindi ! 2

ω

ω

2

ω

m m

X (ω) 0

= = (11.77)

!

2 2

2

e M + m ω ω M + m ω

0 −

1 ω 0

Si noti che la macchina al variare della velocità trasmetterà al terreno una forza variabile nel tempo pari

a F = 2kX sin (ωt) (11.78)

tr

che forzerà il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzerà a sua

volta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso.

Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia bari-

centrico (e anche principale d’inerzia come vedremo), la forzante si annulla e il fenomeno scompare in

quanto l’equazione di moto risulta essere la soluzione di

(M + m) ẍ + 2kx = 0 (11.79)

11.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica

La soluzione a regime per un’eccitazione di tipo armonico ha una validità del tutto generale in quanto:

• un’eccitazione periodica è scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nella pra-

tica, in una serie di eccitazioni armoniche (serie di Fourier);

• i sistemi meccanici di cui ci occupiamo sono descritti da equazioni differenziali lineari e quindi vale

il principio di sovrapposizione degli effetti.

Quindi, la risposta del sistema meccanico è fornita dalla sovrapposizione delle risposte alle singole

componenti armoniche in cui è sviluppabile la generica eccitazione periodica.

Inoltre, tali risposte, in condizioni di regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gli

integrali generali delle omogenee associate, per effetto delle inevitabili dissipazioni, tendono comunque a

zero in un tempo più o meno lungo.

11-14 CAPITOLO 11. SISTEMI VIBRANTI AD UN GRADO DI LIBERT À

Figura 11.13: Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.

L’equazione differenziale del moto può essere scritta come

iωt

mẍ + rẋ + kx = F e (11.80)

0

la cui soluzione è data da

x (t) = x (t) + x (t) (11.81)

g p

Tralasciamo, per quanto più volte detto, il contributo dell’integrale generale dell’omogenea associata;

quindi, a regime:

x (t) x (t) (11.82)

= p

con iωt iφ iωt i(ωt+φ)

|X| |X| ÷ |X|

x (t) = Xe = e e = e sin (ωt + φ) (11.83)

p

con X e φ calcolati sostituendo nell’equazione differenziale l’integrale particolare. Sostituendo quindi

la (11.83) nell’equazione differenziale (11.80) di partenza otteniamo

2 iωt iωt

−mω + irω + k Xe = F e (11.84)

0

che ammette come soluzione valida per tutti i valori di t

F

F 0

0 iφ

= e (11.85)

X = q

2

k mω + irω 2

2 2 2

(k mω ) + r ω

con

ωr

−1

− (11.86)

φ = tan 2

k mω

Ricordando che

p

• ω = k/m è la frequenza propria del sistema non smorzato;

0

• ξ = r/r è il fattore di smorzamento, rapporto tra lo smorzamento ed il suo valore critico;

c

• r = 2mω è lo smorzamento critico;

c 0 11-15

11.6. MOTO FORZATO SMORZATO CON ECCITAZIONE ARMONICA

Figura 11.14: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω 0

è indicato con ω/ω , lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno

n

opposto).

• X (0) = F /k è la freccia statica, per effetto della forzante F a pulsazione nulla,

0 0

otteniamo

|X| 1

= (11.87)

v

X   2

u

0 ! !

2 2

u ω ω

u −

1 + 2ξ

 

t ω ω

0 0

e 

 ω 

 2ξ 

 ω

−1 0 

φ = tan (11.88)

 ! 2 

 ω 

 −

1 ω 0

Possiamo rappresentare graficamente in figura 11.14 l’andamento dell’integrale particolare in funzione

del rapporto ω/ω .

0

Si notano due zone: per ω/ω < 1 e per ω/ω > 1, con il caso ω/ω = 1 a fare da spartiacque.

0 0 0

Si può effettuare un’interessante analisi qualitativa del comportamento del sistema studiando il

diagramma vettoriale delle forze agenti sulla massa: dall’equazione di equilibrio

iωt

mẍ + rẋ + kx = F e (11.89)

0

una volta sostituita la soluzione particolare

iωt

x (t) = Xe (11.90)

p

con X complesso, le singole forze sono descritte da coefficienti complessi che hanno una rappresentazione

iωt

molto chiara nel piano complesso avente come riferimento la direzione e :

2 iωt iωt iωt iωt

−mω Xe + irωXe + kXe = F e (11.91)

0

11-16 CAPITOLO 11. SISTEMI VIBRANTI AD UN GRADO DI LIBERT À

ovvero

2 iωt

−mω −

+ irω + k X F e = 0 (11.92)

0

quindi in generale si può costruire graficamente un trapezio rettangolo, avente come basi le forze elastica

e inerziale, come altezza la forza viscosa, e come quarto lato la forzante esterna. Ad una data pulsazione

ω corrispondono ben precise lunghezze delle basi e dell’altezza; data l’ampiezza della forzante F , la

0

chiusura del trapezio si ottiene variando il modulo e la fase attraverso la scelta di X. 11-17

11.6. MOTO FORZATO SMORZATO CON ECCITAZIONE ARMONICA

• ω/ω < 1: l’angolo di fase è piccolo e quindi è principalmente la forza della molla ad equilibrare la

0

forzante esterna, cui si somma la forza d’inerzia, come illustrato in figura 11.15.

Figura 11.15: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente a ω/ω < 1.

0

• ω/ω = 1: l’angolo di fase è pari a 90 gradi, per cui la forzante esterna è equilibrata dalla sola forza

0

viscosa, come illustrato in figura 11.16. L’ampiezza di vibrazione a regime è pari a

F X (0)

0

|X| = = (11.93)

rω 2ξ

0

Figura 11.16: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente a ω/ω = 1.

0

• ω/ω > 1: l’angolo di fase cresce e si avvicina a 180 gradi; la forza impressa è equilibrata quasi

0

integralmente da quella d’inerzia, come illustrato in figura 11.17.

Figura 11.17: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente a ω/ω > 1.

0

11.6.1 Identificazione dello smorzamento

Smorzamento viscoso: moto libero

Nell’ipotesi di avere uno smorzamento di tipo viscoso, la risposta del moto libero è retta da una legge

del tipo p

−ξω t 2

|X| −

x (t) = e sin 1 ξ ω t + φ (11.94)

0 0

Negli istanti di tempo t per cui

11-18 CAPITOLO 11. SISTEMI VIBRANTI AD UN GRADO DI LIBERT À

Figura 11.18: Identificazione dello smorzamento.

p

2

1 ξ

sin ω t + φ = 1 (11.95)

0

la risposta è tangente all’inviluppo esponenziale

−ξω t

|X| e ; (11.96)

0

tuttavia le tangenti non sono orizzontali, e i punti di tangenza sono leggermente spostati a destra del

punto di massima ampiezza. Generalmente questo fatto è trascurabile e l’ampiezza del punto di tangenza

può essere considerata coincidente con l’ampiezza al punto di massimo dell’oscillazione. Con riferimento

alla simbologia indicata in figura, il decremento logaritmico tra due oscillazioni consecutive è

−ξω t

|X|

x e 0

1

δ = ln = ξω T (11.97)

= ln 0

−ξω (t+T )

|X|

x e 0

2

Dal momento che il periodo di una oscillazione è

2π =

T = (11.98)

p

ω 2

ω 1 ξ

0

si ottiene 2πξ ∼

δ = 2πξ (11.99)

=

p 2

1 ξ

ove l’approssimazione si può ritenere valida per valori di ξ relativamente piccoli (si noti che per ξ = 0.1

l’errore è dello 0.5%, mentre per ξ = 0.3 l’errore è del 5%). La validità dell’approssimazione è illustrata

in figura 11.19.

Smorzamento viscoso: moto forzato

Per una forzante armonica del tipo

F (t) = F sin (ωt) (11.100)

0

il lavoro introdotto in un periodo in un sistema meccanico è pari a

Z

L = F dx (11.101)

T 11-19

11.6. MOTO FORZATO SMORZATO CON ECCITAZIONE ARMONICA

Figura 11.19: Validità dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (11.99).

e supponendo il sistema a regime con legge del moto

|X|

x (t) = sin (ωt + φ) (11.102)

ne deriva quindi che

dx |X|

dt = ω cos (ωt + φ) dt (11.103)

dx = dt 3

e quindi la (11.101) diventa

Z ω

|X| −πF |X|

L = ωF sin (ωt) cos (ωt + φ) dt = sin φ (11.105)

0 0

0

dove si è sfruttata la relazione T = 2π/ω tra periodo e pulsazione. Nell’ipotesi di smorzamento viscoso,

4

−rẋ

quindi con F = e fase φ = π/2, il lavoro dissipato a regime è

D 2π

Z Z ω

2 2

2 2 −ωπr |X|

−rẋ −ω |X|

L = dx = r cos (ωt + φ) dt = (11.106)

D 0

T

Imponendo l’annullamento della somma del lavoro (11.105) compiuto dalla forzante F e di quello (11.106)

assorbito dallo smorzamento viscoso si ottiene

2

|X| − |X|

L + L = πF sin φ ωπr = 0 (11.107)

D 0

da cui è possibile ricavare il valore dello smorzamento

F sin φ

0

r = (11.108)

|X|

ω

3 Si ricordi che, secondo le formule di prostaferesi,

cos (ωt + φ) = cos (ωt) cos φ − sin (ωt) sin φ (11.104)

e che l’integrale sul periodo del prodotto di funzioni ortogonali dà zero, a meno che non si tratti della stessa funzione,

2

ovvero del quadrato di una funzione; quindi nella (11.105) solo il termine sin (ωt) dà integrale diverso da zero.

4 È relativamente agevole verificare che il lavoro compiuto su un periodo dalle forze elastiche e di inerzia per il movimento

armonico descritto dalla (11.102) è nullo; di conseguenza, se la forzante compie lavoro, questo non può che essere assorbito

dalle forze dissipative.

11-20 CAPITOLO 11. SISTEMI VIBRANTI AD UN GRADO DI LIBERT À

|X|

a seguito del rilevamento sperimentale del modulo e della fase φ della risposta del sistema ad una

forzante armonica, di cui siano noti ampiezza F e pulsazione ω.

0 |X|

Dalla misura dell’energia dissipata scopriamo che, a parità di ampiezza della risposta, il lavoro

dissipato varia proporzionalmente con la pulsazione ω, mentre a parità di pulsazione si modifica con il

quadrato dell’ampiezza della risposta.

Smorzamento isteretico

A dispetto di quanto evidenziato nel paragrafo precedente, molte esperienze di laboratorio hanno mo-

strato che se il fenomeno dissipativo è legato a fenomeni d’isteresi, come ad esempio per lo smorzamento

delle vibrazioni nelle strutture metalliche, l’energia dissipata in un ciclo è indipendente dalla frequenza

di vibrazione, ma dipende solamente dal quadrato dell’ampiezza di deformazione e quindi di vibrazione,

e quindi 2 2

÷ − |X| → −α |X|

L L = (11.109)

D D

ovvero 2 2

−ωπr |X| −α |X|

L = = . (11.110)

D eq

Da questa si ricava uno smorzamento equivalente, all’equilibrio, dato da

α

1 (11.111)

r =

eq ω π

per cui l’equazione differenziale, la cui soluzione descrive il moto del sistema, diventa

1 α

mẍ + ẋ + kx = F sin (ωt) (11.112)

0

ω π

il cui integrale particolare ha un’ampiezza

F 0

|X| = (11.113)

v !

2

u α

u 2

2

(k ω m) +

t π

che in risonanza vale

F 0

|X| = (11.114)

α/π

Si noti che l’equazione (11.112) non è in grado di descrivere il comportamento generale del sistema, in

quanto il coefficiente che moltiplica ẋ dipende dalla pulsazione ω della forzante; quindi è in grado di

descrivere solamente il comportamento del sistema soggetto a forzanti armoniche. −rẋ,

La conclusione è che lo smorzamento viscoso, descritto dalla relazione costitutiva F = consente

D

di introdurre smorzamento nei modelli matematici dei sistemi fisici preservando i vantaggi dell’uso di

modelli lineari o linearizzati, ma l’evidenza sperimentale mostra che in alcuni casi non descrive in modo

adeguato la natura della dissipazione che ha luogo nei meccanismi durante i fenomeni di vibrazione.

Tuttavia, vista l’importanza dello studio di fenomeni meccanici quali le vibrazioni, sia libere che forzate

armonicamente, la possibilità di tarare empiricamente il coefficiente di smorzamento ξ in funzione della

pulsazione ω della forzante consente comunque di utilizzare il modello viscoso, tenendone ben presenti i

limiti di applicabilità.

11.6.2 Isolamento delle vibrazioni

Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a un

macchinario ruotante con velocità angolare ω posto sulla massa di fondazione.


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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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