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12-2 CAPITOLO 12. SISTEMI VIBRANTI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

• la matrice di massa

m 0

1

[M ] = (12.6)

0 m 2

• la matrice di rigidezza

−k

k + k

1 2 2 (12.7)

[K] = −k k + k

2 2 3

• il vettore delle incognite

x 1

{x} = (12.8)

x 2

• ed il vettore dei termini noti

f 1

{f } = (12.9)

f 2 {f } {0},

La soluzione del moto libero, per = sarà del tipo

λt

{x {X}

(t)} = e (12.10)

{X}

dove è un vettore di ordine X di ampiezze indipendenti dal tempo. Imponendo la soluzione

all’equazione differenziale otteniamo

2 λt

{X} {0}

λ [M ] + [K] e = (12.11)

{X} 6 {0},

la cui unica soluzione non banale, ovvero per = è data da

2 −k

λ m + k + k

1 1 2 2

2

det λ [M ] + [K] = det =0 (12.12)

2

−k λ m + k + k

2 2 2 3

che è il polinomio di grado 2N in λ

4 2

m m λ + (m (k + k ) + m (k + k )) λ + k k + k k + k k = 0 (12.13)

1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 3

detto polinomio caratteristico, da cui, posti

 a = m m

1 2

 b = (m (k + k ) + m (k + k )) (12.14)

1 2 3 2 1 2

 c = k k + k k + k k

1 2 1 3 2 3 2

si ottiene il polinomio di secondo grado in λ

4 2

aλ + bλ + c = 0 (12.15)

le cui radici sono v ! 2

u b c

b u

21|2 t −

− + (12.16)

λ = 2a 2a a

v ! 2

u b c

b u

23|4 t −

− −

λ = (12.17)

2a 2a a (12.18)

12-3

12.1. SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ NON SMORZATI 2

Dal momento che per definizione le masse e le rigidezze sono positive, si ha sempre λ < 0, quindi i

i

singoli autovalori sono a due a due immaginari e coniugati:

±iω

λ = (12.19)

1

1|2 ±iω

λ = (12.20)

2

3|4

Sostituendo le radici nell’equazione di partenza si ottiene

2

− {X}

[K] ω [M ] = [0] (12.21)

1 1

e

2

− {X}

[K] ω [M ] = [0] (12.22)

2 2

che permettono di calcolare, a meno di una costante arbitraria, dipendente dalle condizioni iniziali, le

{X}

forme modali , o del sistema associate a ogni frequenza propria ω .

modi, i

i

Nel caso in esame,

2

−ω −k X 0

m + k + k 1 1

1 1 2 2

1 (12.23)

=

2

−k −ω X 0

m + k + k 1 2

2 2 2 3

1 1

Risolvendo ad esempio la prima equazione,

2

−ω −

m + k + k X k X = 0 (12.24)

1 1 2 1 1 21 2

1

si ottiene la relazione tra le componenti X e X dell’autovettore, che risulta definito, ad esempio,

1 1 1 2

 1 

 2

{X} ω m + k + k X (12.25)

= 1 1 2 1 1

1

1 

 k 2

e analogamente 

 1 

 2

{X} ω m + k + k X (12.26)

= 1 1 2 2 1

2

2 

 k 2

ove si è arbitrariamente posta unitaria la prima componente dell’autovettore, data l’intrinseca indeter-

minazione della soluzione. Ad un risultato del tutto analogo si può giungere risolvendo, ad esempio, la

seconda equazione e ponendo unitaria la seconda componente dell’autovettore; infatti la matrice

2

[A] = λ [M ] + [K] (12.27)

1

è singolare qualora a λ si sostituisca un qualsiasi autovalore del problema; ne consegue che una equazione

del sistema è combinazione lineare delle altre.

Nel caso, ad esempio, che m = m = m e k = k = k = k, abbiamo che

1 2 1 2 3

s k

ω = (12.28)

1 m

s k

3

ω = (12.29)

2 m

a cui corrispondono

1

{X} = X (12.30)

1 1

1 1

1

{X} X (12.31)

= 2 1

2 −1

12-4 CAPITOLO 12. SISTEMI VIBRANTI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

Figura 12.2: Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di libertà. 12-5

12.1. SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ NON SMORZATI

La figura 12.2 mostra come al primo modo corrisponda un movimento in cui la molla di mezzo non

viene deformata; infatti, le due componenti dell’autovettore sono identiche. Di conseguenza, il sistema si

comporta come se le due masse fossero collegate rigidamente. Il secondo modo, al contrario, vede le due

masse muoversi in opposizione, per cui la molla centrale è deformata esattamente il doppio di quelle di

estremità. Di conseguenza, è come se le due masse fossero disaccoppiate, e la molla centrale fosse messa

a terra nel suo punto medio. Il moto generico avviene come combinazione di due movimenti armonici a

√ 3, quindi un numero trascendente).

frequenze tra loro incommensurabili (il loro rapporto è

Ritornando all’equazione (12.11) di partenza, se la si premoltiplica per l’inversa della matrice di massa

[M ] si ottiene

−1

2 λt

{X} {0}

λ [I] + [M ] [K] e = (12.32)

che è una forma del tutto analoga a

− {V } {0}

(γ [I] [A]) = (12.33)

ovvero ad un problema agli autovalori in forma canonica, ove γ sono gli autovalori della matrice [A] e

−1

2

{V } −λ {V } {X}.

sono i corrispondenti autovettori, posto γ = , [A] = [M ] [K] e =

Nell’esempio iniziale si ha

1/m 0

−1

[M ] = (12.34)

0 1/m

e quindi la matrice

−k/m

2k/m

−1

[A] = [M ] [K] = (12.35)

−k/m 2k/m

che ne risulta è simmetrica; questo in generale non è più vero per matrici [M ] e [K] meno banali, anche

se, al costo di un cambio di base per le incognite, è possibile ottenere un problema agli autovalori nella

2

forma canonica della (12.33) con la matrice simmetrica .

Gli autovalori della matrice (12.35) sono

 k 

 3 

 m

{γ} (12.40)

= k 

 

 m

mentre gli autovettori, a meno di una costante, sono

−1

{V } = (12.41)

1 1

1

{V } = (12.42)

2 1

1 Si suppone che le radici del polinomio caratteristico abbiano molteplicità pari esattamente a 1; questa ipotesi può

essere rimossa, come verrà illustrato nel seguito. Si veda in particolare la nota 3.

2 Dal momento che si assume che la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva, è possibile decomporla nel

prodotto di una matrice triangolare inferiore per la sua trasposta secondo Cholesky

T

[M ] = [L] [L] (12.36)

quindi, operando il cambio di variabili

T

{z} = [L] {x} (12.37)

il problema

[M ] ẍ + [K] {x} = {0} (12.38)

diventa −1 −T

{z̈} + [L] [K] [L] {z} = {0} (12.39)

−1 −T

e quindi, assumendo che la matrice [K] sia simmetrica, anche la matrice [L] [K] [L] rimane simmetrica.

12-6 CAPITOLO 12. SISTEMI VIBRANTI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

Si può ora dimostrare l’ortogonalità dei modi di vibrare. Si ha, infatti

2

−ω {X} {0}

[M ] + [K] = (12.43)

1 1

e

2

−ω {X} {0}

[M ] + [K] = (12.44)

2 2 T

{X}

L’equazione (12.43) può essere liberamente premoltiplicata per senza alterarne il valore:

2

T 2

{X} −ω {X}

[M ] + [K] = 0 (12.45)

1

2 1

da cui si ricava

T T

2

{X} {X} {X} {X}

[K] = ω [M ] (12.46)

1

2 1 2 1 {X}

Allo stesso modo, si può moltiplicare la trasposta dell’equazione (12.44) per :

1

T T T

2 {X}

{X} −ω = 0 (12.47)

[M ] + [K]

2 1

2

da cui si ricava, anche in considerazione della simmetria delle matrici [M ] e [K]

T T

2

{X} {X} {X} {X}

[K] = ω [M ] (12.48)

2

2 1 2 1

Quindi, per l’uguaglianza dei termini a primo membro delle (12.46) e (12.48)

T T

2 2

{X} {X} {X} {X}

ω [M ] = ω [M ] (12.49)

1 2

2 1 2 1

ovvero T

2 2

− {X} {X}

ω ω [M ] = 0 (12.50)

2 1 2 1 3

6

ovvero, se ω = ω , cioè le frequenze proprie sono distinte , deve valere la relazione

2 1

T

{X} {X}

[M ] = 0 (12.51)

2 1

e, di consequenza

T

{X} {X}

[K] = 0 (12.52)

2 1

Più in generale, detti i e j gli indici di due modi, deve essere

T

{X} {X}

[M ] = 0 (12.53)

j i

Tj

{X} {X}

[K] = 0 (12.54)

i

6

quando i = j; ovvero, i modi propri vibrare, associati a frequenze proprie distinte, sono ortogonali

4

rispetto alla matrice di massa e rigidezza .

3 Nel caso in cui due o più autovalori siano uguali, se è possibile individuare un numero di autovettori indipendenti pari

alla molteplicità degli autovalori coincidenti, come sempre avviene nei casi di interesse pratico per lo studio delle vibrazioni

dei sistemi meccanici, in cui le matrici di massa sono simmetriche e definite positive, o al più semidefinite, gli autovettori,

per la loro arbitrarietà, possono essere ortogonalizzati proprio imponendo le condizioni (12.51) e (12.52). Un tipico esempio

in cui ciò avviene è dato dai sistemi non vincolati, come i velivoli, che ammettono i sei spostamenti rigidi, ai quali è associato

l’autovalore nullo con molteplicità 6. Un altro esempio è dato dai modi associati al movimento delle superfici di comando

nel caso si consideri il velivolo a comandi liberi. T

4 Attenzione: i modi propri non sono ortogonali fra loro; dall’analisi si ottiene che {X} {X} = 0 se i 6 = j per il

i j

problema in forma canonica, in cui la matrice che moltiplica l’autovalore è l’identità, [I]. Ma il problema meccanico non è

in forma canonica, quindi gli autovalori che ne risultano non sono in generale ortogonali rispetto a loro stessi. 12-7

12.2. APPROCCIO MODALE

Quando pre- e post-moltiplica per lo stesso autovettore, si ottiene

T

{X} {X}

[M ] = m (12.55)

i

i i

T

{X} {X}

[K] = k (12.56)

i

i i

dove m e k sono chiamate rispettivamente massa e rigidezza generalizzata, o massa e rigidezza modale

i i

associate al modo i-esimo.

Nell’esempio iniziale,

T 1

m 0

1 = 2m (12.57)

m =

1 1

0 m

1 m = 2m (12.58)

2

k = 2k (12.59)

1

k = 6k (12.60)

2

12.2 Approccio modale

Cerchiamo ora un sistema di coordinate libere che disaccoppi contemporaneamente il sistema tanto

inerzialmente quanto elasticamente, ovvero tale per cui le equazioni che, risolte, descrivano il moto del

sistema siano disaccoppiate. Se costruiamo una matrice quadrata [ψ] le cui colonne siano costituite dai

modi propri di vibrare, ovvero

X X

1 1 2 1 (12.61)

[ψ] = X X

1 2 2 2

detta anche matrice modale, e definiamo la trasformazione

{x {q

(t)} = [ψ] (t)} (12.62)

{q

con (t)} detto vettore delle coordinate principali, il problema (12.1) diventa

{q̈} {q} {f }

[M ] [ψ] + [K] [ψ] = (12.63)

5

Se si premoltiplica la (12.63) per la trasposta della matrice modale (12.61), si ottiene

T T T

{q̈} {q} {f }

[ψ] [M ] [ψ] + [ψ] [K] [ψ] = [ψ] (12.66)

Da quanto detto in precedenza, si vede che

T

[ψ] [M ] [ψ] = [diag (m )] (12.67)

i

T

[ψ] [K] [ψ] = [diag (k )] (12.68)

i 6

dove [diag (m )] e [diag (k )] sono matrici diagonali, ovvero tali per cui m e k sono nulli se i = j,

i i ij ij

mentre m e k sono rispettivamente la massa e la rigidezza associate al modo i-esimo.

i i

5 Questa operazione può apparire un artifizio, ma ha una giustificazione più profonda se si considera che l’equazione (12.1)

può essere ricondotta ad un principio variazionale e quindi ad una relazione del tipo

X

T

δ {x} {F ({x})} = 0 (12.64)

per cui la trasformazione (12.62) viene applicata sia alle incognite da cui dipendono le forze {F } che alle loro variazioni

virtuali, ovvero X

T T

δ {q} [ψ] {F ([ψ] {q})} = 0 (12.65)

12-8 CAPITOLO 12. SISTEMI VIBRANTI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

Nell’esempio iniziale, si ha

2m 0

[diag (m )] = (12.69)

i 0 2m

2k 0 (12.70)

[diag (k )] =

i 0 6k

quindi il problema diventa

q̈ q

2m 0 2k 0 f + f

1 1 1 2

+ = (12.71)

0 2m q̈ 0 6k q f f

2 2 1 2

Si noti che le due equazioni sono disaccoppiate, ovvero ogni equazione dipende solo dalla propria inco-

gnita; l’accoppiamento tra i gradi di libertà fisici si è tradotto, a livello modale, in accoppiamento tra i

corrispondenti termini noti.

Sostituendo uno ad uno gli autovalori ed i corrispondenti autovettori, l’equazione omogenea (12.11)

risulta soddisfatta; ne consegue che, cosı̀ come sono stati accostati gli autovettori a dare la matrice

modale [ψ], è possibile accostare gli autovalori a dare la matrice diagonale dei quadrati delle frequenze

proprie

2

ω 0

2 1

diag ω (12.72)

= 2

i 0 ω 2

6

tale per cui

2

[K] [ψ] [M ] [ψ] diag ω = [0] (12.73)

i

La (12.73), se premoltiplicata per la trasposta della matrice modale (12.61), diventa

T T 2

− = [0] (12.74)

[ψ] [K] [ψ] [ψ] [M ] [ψ] diag ω i

ovvero

2

− = [0] (12.75)

[diag (k )] [diag (m )] diag ω

i i i 7

Se la matrice di massa modale [diag (m )] è definita positiva , la sua inversa esiste; quindi la (12.75) può

i

essere riscritta, previa premoltiplicazione per l’inversa della matrice di massa modale, come

−1 2 (12.79)

[diag (m )] [diag (k )] = diag ω

i i i

6 Si noti l’odine in cui vengono eseguiti i prodotti di matrici, essenziale perché ogni autovettore venga moltiplicato per

il proprio autovalore.

7 L’unico motivo per cui la matrice di massa, anziché essere definita positiva, può essere semidefinita, è che ad un grado

di libertà non sia associata inerzia. Questa eventualità viene scartata nella presente trattazione perché in tale caso il grado

di libertà privo di massa può essere eliminato staticamente, rendendo la nuova matrice di massa strettamente definita

positiva. Ad esempio: dato il problema

f

x

k k

m 0 1

1

11 12

1 (12.76)

=

+ f

x

k k

0 0 2

2

21 22

2

la cui matrice di massa è chiaramente semidefinita positiva in quanto tutti i minori principali sono positivi tranne uno che è

nullo, a condizione che la matrice [K] non sia singolare la seconda equazione può essere usata per esplicitare x in funzione

2

di x 1 f − k x

2 21 1

x = (12.77)

2 k 22

che, sostituito nella prima equazione, dà

k

k 12

21 x = f − f (12.78)

mẍ + k − k 1 1 2

1 11 12 k k

22 22

ovvero dal problema iniziale se ne ottiene uno di dimensioni inferiori ma con la matrice di massa definita positiva. 12-9

12.2. APPROCCIO MODALE

Nel caso in esame,

1/ (2m) 0 2k 0 k/m 0

−1

[diag (m )] [diag (k )] = = (12.80)

i i 0 1/ (2m) 0 6k 0 3k/m

Questo suggerisce una scelta interessante per la normalizzazione dei modi propri, detta a massa unitaria;

√ m , si ottiene:

se si dividono i coefficienti del modo i-esimo per il valore i

√ −1

[ψ ] = [ψ] [diag ( m )] (12.81)

I i

A questo punto, le relazioni (12.67) e (12.68), attraverso la nuova matrice modale [ψ ], diventano

I

√ √

−1 −1

T T

[ψ ] [M ] [ψ ] = [diag ( m )] [ψ] [M ] [ψ] [diag ( m )]

I I i i

−1

−1

m )] [diag (m)] diag m = [I] (12.82)

= [diag ( i

√ √

−1 −1

T T

[ψ ] [K] [ψ ] = [diag ( m )] [ψ] [K] [ψ] [diag ( m )]

I I i i

√ −1 −1

m )] [diag (k )] [diag ( m )]

= [diag ( i i i

−1 2

= [diag (m )] [diag (k )] = diag ω (12.83)

i i i

√ √

−1

−T

ove si è sfruttato il fatto che diag m m in quanto la matrice è diagonale; allo

= diag i

i

stesso modo, l’ultimo passaggio che porta alla matrice di rigidezza modale è lecito perché il prodotto di

matrici diagonali è commutativo.

Analizziamo, ora, la risposta a forzanti armoniche

iωt

{ẍ {x {f }

[M ] (t)} + [K] (t)} = e (12.84)

che, a regime, ammette una soluzione del tipo

iωt

{x {x}

(t)} = e (12.85)

{x}

dove il vettore delle ampiezze di vibrazione è soluzione di

2

− {x} {f }

[K] ω [M ] = (12.86)

ovvero −1

2

{x} − {f }

= [K] ω [M ] (12.87)

che può essere anche riscritta come

{x} {f }

= [H (ω)] (12.88)

dove [H (ω)] è la matrice dell’ammettenza meccanica (in inglese, ) del sistema; è

receptance matrix

quadrata, di ordine N , e ne costituisce il modello della risposta in frequenza. La sua inversa,

−1

[H (ω)] = [Z (ω)] (12.89)

è detta matrice dell’impedenza meccanica, e descrive la forza che il sistema oppone ad un dato movimento.

Dalla definizione, si ricava −1

2

[H (ω)] = [K] ω [M ] (12.90)

Se si applica la trasformazione modale all’impedenza meccanica, si ottiene

T T −1

2 2

− −

[ψ] [K] ω [M ] [ψ] = [diag (k )] ω [diag (m )] = [ψ] [H (ω)] [ψ] (12.91)

i i

e quindi −1 T

2

[H (ω)] = [ψ] [diag (k )] ω [diag (m )] [ψ] (12.92)

i i

12-10 CAPITOLO 12. SISTEMI VIBRANTI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

Figura 12.3: Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di libertà.

Dalla (12.92) si evince che la matrice [H (ω)] è simmetrica; se si utilizza la normalizzazione a massa

unitaria dei modi, ovvero la matrice (12.81), la (12.92) diventa

−1 T

2

2 − ω [I] [ψ ] (12.93)

[H (ω)] = [ψ ] diag ω I

I i

ed il generico coefficiente è dato da N ·

X X

x (ω) x (ω) X r j r k

j k

h (ω) = = h (ω) = = (12.94)

jk kj 2 −

f (ω) f (ω) ω ω

k j 2

r

r=1

da cui si nota come il sistema possa andare in risonanza, qualora la pulsazione della forzante ω uguagli

una delle N frequenze ω proprie del sistema vibrante.

r

Ritornando al sistema vibrante iniziale, risulta che risolvendo il sistema di equazioni lineari

2 2

−2k −

+ ω m 2k ω m

h (ω) = = (12.95)

11 2 2 4 2 2 2 2

− − −

3k 4kmω + ω m m (k/m ω ) (3k/m ω )

k k

h (ω) = = (12.96)

21 2 2 4 2 2 2 2

− − −

3k 4kmω + ω m m (k/m ω ) (3k/m ω )

mentre, in termini modali, si ottiene 2

1 2k ω m

1 + = (12.97)

h (ω) =

11 2 2 2 2 2

− − − −

2m (k/m ω ) 2m (3k/m ω ) m (k/m ω ) (3k/m ω )

1 1 k

h (ω) = = (12.98)

21 2 2 2 2 2

− − − −

2m (k/m ω ) 2m (3k/m ω ) m (k/m ω ) (3k/m ω )

Come si vede dalla figura 12.3, ove è mostrato l’andamento del modulo di h , non si commette un

11

grande errore se studiamo la risposta del sistema nell’intorno della prima frequenza propria considerando

la risposta di un sistema ad un solo grado di libertà che abbia massa pari a m e rigidezza pari a k .

1 1

Analogo discorso si può fare considerando la sola risposta dovuta alla seconda frequenza propria se la

pulsazione della forzante è di valore non troppo dissimile da questa. Ovvero abbiamo verificato empiri-

camente che pur essendo i sistemi fisici continui, poiché le loro frequenze proprie sono ragionevolmente

separate nel dominio delle frequenze, è lecito, nell’ipotesi che lo spettro della forzante sia limitato nello

stesso dominio, considerare il contributo di un numero limitato di modi le cui frequenze proprie associate

stanno nel dominio dello spettro della forzante. Ovvero: è possibile studiare la risposta dinamica a

regime di un sistema continuo con un modello matematico caratterizzato da un numero discreto di gradi

di libertà. Ne consegue, inoltre, che misurando sperimentalmente la dalla risposta

receptance matrix,

misurata nell’intorno di una risonanza possiamo ricavare i parametri modali (massa modale o massa

generalizzata m e rigidezza modale o rigidezza generalizzata k ) cosı̀ come il modo di vibrare.

i i

Le considerazioni che stanno alla base dell’utilizzo pratico dell’approccio modale si basano principal-

mente su aspetti computazionali:


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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