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Stabilità

Le cancellazioni nei sistemi MIMO sono di più difficile individuazione rispetto ai sistemi

SISO. Si considerino ad esempio i due sistemi G(s) e K(s)

1 1 !

! s+1

s+2 −

√ s−√

s+1 s+2 s− 2 2

G(s) = , K(s) =

2 1 0 1

s+2 s+1 √

K(s) è instabile per la presenza di un polo in 2. Il prodotto delle due matrici di funzioni

di trasferimento fornisce √ !

s+ 2

− 0

(s+1)(s+2)

K(s)G(s) = 2 1

s+2 s+1 √

RH

la quale risulta appartenente a e quindi sicuramente uno zero di G(s) in 2 si è

cancellato con il polo instabile. In effetti il determinante

2

2 s

det[G(s)] = 2 2

(s + 1) (s + 2)

±

si annulla in 2.

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Stabilità r y

+ (s)

Siano d (s) e d (s) i polinomi caratteristici rispettivamente F

ap ch

del sistema ad anello aperto e chiuso. -

Proposizione

Sussiste la relazione d (s)

ch c, con c costante

det(I + F (s)) = d (s)

ap 4

Dim. Sia (A , B , C , D ) una realizzazione minima di F (s). La matrice dinamica del sistema retroazionato è

a a a a −1 −1

− ⇒ − −

A = A B (I + D ) C d (s) = det(sI A ) = det(sI A + B (I + D ) C )

c a a a a c a a a a

ch

Applicando più volte la formula di Schur, −1

det(I + F (s)) = det(I + C (sI A ) B + D )

a a a a

−C

I + D

a a −

= det /det(sI A )

a

B sI A

a a −1

− −

det(sI A + B (sI A ) C )

a a a a

= det(I + D )

a d (s)

ap

d (s)

ch

= det(I + D )

a d (s)

ap

In altri termini, in assenza di cancellazioni in F (s), i poli del sistema ad anello chiuso

coincidono con gli zeri di det(I + F (s))

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Stabilità

Lo studio del caso generale può avvenire sfruttando il seguente teorema nel quale

n = numero di poli nel semipiano destro aperto di K(s)

k b

n = numero di poli nel semipiano destro aperto di G(s)

g

Teorema

Il sistema interconnesso S è stabile internamente se e solo se è ben posto e

1. il numero di poli nel semipiano destro aperto di G(s) K(s) è pari a n + n ;

g

k

b ∗

2. la funzione det[I G(s) K(s)] ha tutti i suoi zeri nel semipiano sinistro aperto .

b 4

∈ RH

Mentre si può infine enunciare, nel caso particolare di K(s) , il seguente risultato.

b

Teorema ∈ RH ∈ RH

Se K(s) , allora H (s) se e solo se

∞ ∞

21

b h i

1. det I G(s) K(s) non ha zeri nel semipiano destro chiuso (inclusi all’infinito);

b −1

h i

2. I G(s) K(s) G(s) è analitica in corrispondenza ad ogni polo di G(s) appartenente

b

al semipiano destro chiuso (inclusi all’infinito). 4

∗ Equivalentemente, essendo la matrice G(s) K(s) quadrata e in assenza di cancellazioni per la condizione 1,

b

−1

(I G(s) K(s)) è stabile

b

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Stabilità

Il punto 2 del teorema precedente è necessario per cogliere eventuali cancellazioni poli/zeri

ed è valido anche nel caso SISO.

Si consideri, ad esempio, −

s 1 1

K(s) = , G(s) = −

s +2 s 1

la condizione 1 è verificata s +1

det G(s)K(s)] =

[I s +2

mentre la condizione 2 non lo è s +2

−1

− G(s)K(s)] G(s) =

[I −

(s + 1)(s 1)

per la presenza del polo di G(s) in 1.

La condizione 2 del teorema precedente diventa essenziale nelle procedure automatiche di

scelta del controllore quali quelle derivanti dall’ottimizzazione dei parametri (algoritmo di

Edmund).

I teoremi precedenti valgono anche per sistema in retroazione (o reazione negativa) con

+ G(s)K(s)] al posto di G(s)K(s)].

[I [I

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Stabilità −kI

Nel caso particolare in cui G(s) è quadrata e K(s) = (retroazione con lo stesso guadagno

k in ogni anello), la condizione 2 del teorema sulla stabilità del sistema interconnesso non

è più necessaria.

In tal caso, si definisce con P il numero di poli a parte reale positiva di G(s) e con P in

o c

numero di zeri a parte reale positiva di det + kG(s)]. Si noti che i poli di det + kG(s)]

[I [I

coincidono con i poli di G(s). Vale ancora la ben nota relazione

d (s)

ch c

det + kG(s)] =

[I d (s)

ap

nella quale d (s) e d (s) indicano il polinomio caratteristico del sistema rispettivamente ad

ap

ch

anello chiuso e ad anello aperto e c una costante.

Definendo il percorso di Nyquist come nel caso SISO, si ha esattamente lo stesso risultato

espresso come variazione di fase mentre s compie il percorso di Nyquist

{det −2π(P −

∆fase + kG(s)]} = P )

[I c o

e quindi per avere stabilità stabilità interna (P = 0) deve essere

c

N = P

o

con N il numero di giri in senso anti-orario che l’immagine, secondo det + kG(s)], del

[I

percorso di Nyquist compie intorno all’origine. Si ottiene quindi un risultato identico al

teorema di Nyquist per i sistemi MIMO.

∗ Si noti che det + kG(s)] è una funzione razionale, mentre d (s) e d (s) sono polinomi.

[I ap

ch

† Per essere N ben definito, il diagramma di Nyquist non deve passare per l’origine e quindi il sistema ad

anello chiuso non può avere poli sull’asse immaginario.

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Stabilità ∗

Si noti tuttavia che sarebbe necessario tracciare tanti diagrammi al variare di k, mentre

per il caso SISO basta tracciare il diagramma di Nyquist di kG(s) per un valore di k (ad

es. k = 1) e si deduce la stabilità del sistema interconnesso per qualsiasi valore di k.

Fortunatamente si possono sfruttare, nel caso MIMO, le seguenti proprietà.

Se λ (s) è un autovalore di G(s) allora kλ (s) è autovalore di kG(s) e 1 + kλ (s) di I + kG(s).

i i i

Si ricorda inoltre che il determinante è uguale al prodotto degli autovalori e quindi

Y

det + kG(s)] = + kλ (s)]

[I [1 i

i

e in termini di fase X

{det {1

∆fase + kG(s)]} = ∆fase + kλ (s)}

[I i

i

Si possono quindi contare il numero di giri che i singoli kλ (s) compiono intorno al punto

i

(−1, 0). Tali luoghi di punti vengono chiamati luoghi caratteristici.

Si ricorda che in questo contesto si parla di autovalori di una matrice di funzioni di trasfer-

imento e non sono assolutamente legati agli autovalori della matrice dinamica di una real-

izzazione di G(s).

∗ Per ora viene richiesto di tracciare l’immagine secondo det + kG(s)] e quindi non si può “parametrizzare”

[I

tali immagini in funzione di k come invece si riesce a fare nel caso SISO.

† Le due proprietà fondamentali, definendo con λ gli autovalori di A, sono: la matrice A + cI ha autovalori

i

Q

λ + c e det = λ .

[A]

i i

i

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Stabilità

Si consideri, ad esempio, il sistema r

0 1 s 1

±

G(s) = , autovalori λ (s) =

s−1 i

0 s +1

s+1

0 ¸ ( )

!

j

1 Si noti tuttavia che né λ (jω) né λ (jω), per ω che varia

1 2

−∞

da a +∞, formano singolarmente una curva chiusa,

mentre insieme si. In generale gli autovalori sono funzioni

1

1 + continue dei parametri della matrice, e gli autovalori

- 1 1

-

+ λ (jω) sono funzioni continue di ω. I luoghi caratteristici

i

possono coincidere solo in punti isolati.

In generale, considerando tutti i luoghi caratteristici

delle λ (jω) insieme, si ottengono una o più curve chiuse

i

¸ ( )

!

j

2 0

Luoghi caratteristici

L’enunciato del criterio di Nyquist è il seguente.

Teorema di Nyquist generalizzato

Se G(s) ha P poli (di Smith-McMillan) a parte reale positiva, il sistema ad anello chiuso con

o

−kI

K(s) = è stabile internamente se e solo se i luoghi caratteristici di kG(s), insieme, effet-

tuano P giri in senso antiorario rispetto al punto (−1, 0).

o

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Stabilità – Esempio

Si consideri il sistema

1 −

s 1 s

G(s) = −6 −

s 2

1.25(s + 1)(s + 2)

L’insieme dei luoghi caratteristici è riportato in figura.

1.5

1

0.5

Im 0

−0.5

−1

−1.5

−1 −0.5 0 0.5 1

Re

Luoghi caratteristici per l’esempio considerato

Dal diagramma si deduce che il sistema ad anello chiuso è stabile internamente (nessun

−1/k) −∞ −1/k −0.8, −0.4 −1/k −1/k ∞,

giro intorno a per < < < < 0 e per 0.53 < <

−0.8 −1/k −0.4 −1/k

mentre per < < si ha un giro in senso orario e per 0 < < 0.53 due giri

in senso orario.

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Stabilità – Teorema di Gershgorin

Un modo alternativo per valutare la stabilità del sistema interconnesso consiste nel trac-

diagonale con funzioni

ciare le fasce di Gershgorin. Si consideri il caso particolare di G(s)

di trasferimento g (s) sulla diagonale. In tal caso il sistema rappresentato dalla G(s) è

ii

composto da m sistemi disaccoppiati e si ha m

Y

det + G(jω)] = (1 + g (jω))

[I ii

i=1

L’applicazione del teorema di Nyquist si semplifica in quanto basta valutare il numero di

giri di ogni singolo sistema SISO g (jω) intorno al punto (−1, 0).

ii

quadrata qualunque si può utilizzare il seguente teorema.

Nel caso generale di G(s)

Teorema di Gershgorin ×

Sia Z una matrice complessa m m. Gli autovalori di Z si trovano

• nell’unione di m cerchi, ognuno centrato in z e di raggio

ii

m

X |z |, i = 1, . . . , m

ij

j=1

j6 = i

• e anche nell’unione di m cerchi centrati in z e di raggio

ii

m

X |z |, i = 1, . . . , m

ji

j=1

j6 = i 4

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Stabilità – Fasce di Gershgorin

Sul diagramma di Nyquist di ogni g (jω) della generica G(s) quadrata, per ogni valore di ω

ii

si può tracciare il cerchio di raggio

m m

X X

|g |g

(jω)| oppure (jω)|

ij ji

j=1 j=1

j6 = i j6 = i

In tal modo si ottengono le bande di Gershgorin. Per il teorema precedente, l’unione di tali

dei luoghi caratteristici.

bande contiene l’unione

In conclusione, se le fasce di Gershgorin non includono il punto di coordinate (−1, 0) si

può verificare la stabilità asintotica del sistema ad anello chiuso contando il numero di giri

6

compiuti dalle fasce. Nyquist array:

matrice dei diagrammi di

Nyquist corrispondenti ad

ogni elemento g (jω)

ij

e

fasce di Gershgorin di un

×

sistema 2 2

(solo per gli elementi sulla

diagonale)

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Stabilità – Fasce di Gershgorin

L’esclusione dell’origine (0, 0) da parte delle fasce di Gershgorin indica una dominanza

diagonale di G(s) (riga o colonna).

Definizione ×

Una matrice G(s) (m m) si dice dominante diagonale riga in Ω se

m

X

|g |g ∀s ∈

(s)| > (s)|, Ω, i = 1, . . . , m

ii ij

j=1

j6 = i

e dominante diagonale colonna in Ω se

m

X

|g |g ∀s ∈

(s)| > (s)|, Ω, i = 1, . . . , m

ii ji

j=1

j6 = i 4

Il concetto di dominanza diagonale viene utilizzato non solo nell’ambito dello studio della

grado di interazione tra i diversi canali ingresso/uscita.

stabilità ma anche per definire il

Nel caso limite di G(s) diagonale ogni ingresso influenza una sola uscita e ogni uscita è

influenzata da un solo ingresso.

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Stabilità – Fasce di Gershgorin

Se G(s) è dominante riga (o colonna) sull’asse immaginario allora il numero di giri N

−∞

compiuti intorno all’origine dal vettore det[G(jω)], per ω che varia da a +∞, è uguale

alla somma dei numeri di giri ν compiuti dalle singole funzioni g (jω)

i ii

m

X

N = ν i

i=1

Si ricorda che la condizione di stabilità è su I + G(s) e pertanto per I + G(s), la condizione

di dominanza diagonale riga diventa m

X

|1 |g

+ g (jω)| > r (ω), con r (ω) = (jω)|

ii i i ii

j=1

j6 = i

dominante diagonale se le fasce di Gershgorin non includono (−1, 0).

quindi I + G(s) è Im

-1 Re Rappresentazione delle varie grandezze

( )

g !

j

1+ 1 + g (jω), g (jω) e r (ω) per la

ii ii ii i

caratterizzazione della dominanza diagonale.

( )

g !

j

ii -1

r ( )

!

i Dominanza diagonale

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi MIMO; la Well - posedness; stabilità dei sistemi a retroazione; teorema di Nyquist generalizzato; teorema di Gershgorin; fasce di Gershgorin; teorema di Perron - Frobenius.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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