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Esempio – Doppio serbatoio

Se si sceglie pre

1

1 K (s) pre pre

pre 12 −1,

K (s) = , con K (s) = K (s) =

pre 12 21

K (s) 1 s

21 h

h f

- 1

1ref 1

k 1

+ pre G

K

h f h

2ref 4 2

+ k 2

- compensatore K

Fig. 4 – Esempio di sistema MIMO – Disaccoppiamento

si ottiene il sistema disaccoppiato 1

0

pre s

(s) =

G(s)K 1

0 s

Il sistema ad anello chiuso è stabile asintoticamente se k > 0 e k < 0. Il compensatore

1 2

complessivo K(s) dato da

−k

k 0 k

1 1 2

pre

K(s) = K (s) =

0 k k /s k

2 1 2

è detto disaccoppiante. ×

Il compensatore appena ottenuto è un caso particolare, per i sistemi (2 2), della tecnica

di disaccoppiamento in avanti.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VII 6

Disaccoppiamento in avanti pre

Data G(s) stabile asintoticamente e a fase minima, assumendo per K (s) la struttura

generale pre pre

K (s) K (s)

pre 11 12

K (s) = pre pre

K (s) K (s)

21 22

pre

si ottiene una G(s)K (s) diagonale se

pre pre

G K (s) + G K (s) = 0

11 12

12 22

pre pre

G K (s) + G K (s) = 0

21 22

11 21 pre

le quali hanno infinite soluzioni nelle incognite K (s), i, j = 1, 2. Ad esempio, sotto le

ij

condizioni opportune, si può scegliere

pre pre

K (s) = K (s) = 1

11 22

pre −G

K (s) = (s)/G (s)

12 11

12

pre −G

K (s) = (s)/G (s)

21 22

21

Con tale scelta si ottiene 

 G (s)G (s)

12 21

− 0

G (s)

11 G (s)

pre 

 22

G(s)K (s) = 

 G (s)G (s)

21 12 

 −

0 G (s)

22 G (s)

11

pre

Si noti che la scelta precedente degli elementi di K (s) presuppone la verifica di opportune

pre

condizioni sulla realizzabilità delle K (s). Lo schema di controllo risultante è riportato in

ij

Fig. 5.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VII 7

Disaccoppiamento in avanti

Esistono scelte alternative, tra le infinite soluzioni oppure è possibile verificare le condizioni

di disaccoppiamento su intervalli di frequenze di interesse. Una scelta semplice e diffusa

consiste nel disaccoppiare in ω = 0. + y

-

r e v m 1

1 1 1 1

(s)

R (s)

G

1 +

11

+

+ +

pre

(s)

K (s)

G

21 21

(s)

G

pre 12

(s)

K 12 + + y

r e v

+ + 2

2 2 2 (s)

G

(s)

R m 22

2 + 2

- disaccoppiatore processo

Fig. 5 – Sistema MIMO – Disaccoppiamento in avanti

Detta G(0) la matrice dei guadagni (G(s) valutata in s = 0), un pre-compensatore statico

−1

pre

disaccoppiante in ω = 0 si ottiene scegliendo K = G (0).

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VII 8

Disaccoppiamento all’indietro

Sotto le stesse ipotesi del disaccoppiamento in avanti esiste il disaccoppiamento all’indietro.

Assumendo una legge di controllo del tipo

m(s) = Γ(s)m(s) + v(s)

si ottiene −1

pre −

K (s) = [I Γ(s)]

Volendo imporre una matrice di funzioni di trasferimento diagonale G (s) deve risultare

d

−1

pre − ⇒ −

G(s)K (s) = G(s)[I Γ(s)] = G (s), G(s) = G (s)[I Γ(s)]

d d

da cui −1 −

Γ(s) = G (s) [G (s) G(s)]

d d

×

Ad esempio, per un sistema (2 2) si ottiene lo schema di Fig. 5 con

 

G (s)

12

0 G (s)

 

11

Γ(s) =  

G (s)

21

 

− 0

G (s)

22

Applicando tale risultato al caso del doppio serbatoio si ha s s

−1

0 pre s+1 s+1

Γ(s) = , K (s) =

1 1 s

0

s s+1 s+1

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Disaccoppiamento all’indietro y

-

r e v m

+ 1

1 1 1 1

(s)

R (s)

G

1 +

11

+ +

+ pre

(s)

¡ (s)

G

21 21

(s)

G

pre 12

(s)

¡

12 +

+ y

r e v

+ + 2

+

2 2 2 (s)

G

(s)

R m 22

2 2

- disaccoppiatore processo

Fig. 5 – Sistema MIMO – Disaccoppiamento all’indietro

Si noti che, in generale, lo schema di controllo finale è, per entrambe le tecniche di disac-

coppiamento, di tipo centralizzato in quanto il compensatore complessivo K(s), serie del

controllore disaccoppiante con i singoli compensatori d’anello, ha tutti i suoi elementi diversi

da zero e quindi tutte le misure vengono utilizzate da ciascun canale.

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Disaccoppiamento all’indietro

I vantaggi della tecnica di disaccoppiamento all’indietro consistono in

• ×

Procedimento estendibile facilmente al caso di sistemi quadrati m m;

0, se i = j

Γ (s) = G (s)

ij 6

− , se i = j

ij

G (s)

ii

• 6

Con riferimento allo schema di Fig. 5, il blocchi Γ (s), i = j hanno in ingresso m (t)

ij j

(ingresso di controllo) permettendo una più diretta risoluzione di problemi quali la

saturazione degli attuatori o l’inserimento morbido della regolazione automatica.

pre

• La realizzazione del controllore disaccoppiante non richiede il calcolo di K (s) ma solo

la conoscenza di Γ(s).

Le condizioni di applicabilità delle due tecniche precedenti non sono necessarie.

Ad esempio, si consideri il sistema caratterizzato dalla

2

1

1 s + 3 2(s + 1)

s+1 s+3

G(s) = =

1 1 s + 3 s +3

(s + 1)(s + 3)

s+1 s+1

Il sistema considerato cade di rango in s = 1 e quindi ha uno zero di trasmissione a parte

reale positiva. La presenza di tale zero a parte reale positiva porta a limitazioni simili al

caso SISO.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VII 11

Disaccoppiamento

−k

Si noti che, chiudendo il secondo anello con m (s) = y (s), si ha

2 2 2 −

y (s) = G (s)m s) + G m (s) = G (s)m s) k G y (s)

1 11 12 2 11 2 12 2

( (

mentre dalla seconda uscita si ha −

y (s) = G (s)m (s) + G m (s) = G (s)m (s) k G y (s)

2 21 1 22 2 21 1 2 22 2

e quindi y (s) G (s)

2 21

=

m 1 + k

(s) G (s)

1 2 22

Sostituendo tale risultato nella prima relazione si arriva all’espressione

2k

G G 1

y (s) 2

12 21

1 − −

= G k

G (s) =

= 11 2

11 m (s) 1 + k G s + 1 (s + 3)(s + 1 + k )

llc 1 2 22 2

→ ∞)

Ad alto guadagno (k il secondo anello è stabilizzato ed inoltre si ottiene

2 −

s 1

G (s) =

11 (s + 1)(s + 3)

llc → ∞

Analogamente, chiudendo solo il primo anello e facendo tendere k si ha

1

s 1

G (s) =

22 (s + 1)(s + 3)

llc

Pertanto il comportamento a fase non minima del sistema non è legato ad una partico-

lare coppia ingresso/uscita; chiudendo un anello ad alto guadagno si ottiene stabilità per

quell’anello ma si limita il comportamento dell’altro (sistema a fase non minima, si pensi al

luogo delle radici e le conseguenti limitazioni sul guadagno).

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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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