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Cenni su INA e DNA

(INA)

Si può molto qualitativamente riassumere la procedura come segue −1

−1 −1 −1

−1

• e K (s);

G (s) dominate riga scegliendo opportunamente K

si rende K (s)K a

a b

b −1 ∗

• si sceglie la matrice K (s) diagonale in modo tale da ottenere delle fasce di Ostrowski

c

soddisfacenti;

• si rende, se necessario, K K (s)K (s) realizzabile.

a c

b

(DNA)

Il principio è lo stesso, mentre le differenze sono

• Si lavora con G(s) invece che con la sua inversa e quindi neanche il compensatore deve

essere invertito. La struttura imposta al controllore non viene alterata da un’inversione.

• Il processo non deve essere necessariamente quadrato

• Con l’INA può accadere che il compensatore inverso non sia a fase minima e quindi

che il vero compensatore sia instabile.

• Non si ha modo di tenere in considerazione l’interazione tra i vari canali (mentre le

fasce di Ostrowski lo permettono).

∗ Le fasce di Ostrowski sono legate alle fasce di Gershgorin associate al diagramma di Nyquist inverso e

riescono a tenere conto delle interazioni presenti.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VI 7

Dominanza ∗

I metodi precedenti richiedono che sia possibile ottenere una dominanza (riga o colonna).

• Cut & Try – Si cerca di operare sulle righe o le colonne in modo tale da attenere

la dominanza richiesta. A tal fine può essere utile cercare di diagonalizzare ad una

data pulsazione e sperare che rimanga tale per un campo di pulsazioni sufficiente. Ad

−1

esempio, se il sistema non ha poli nell’origine, il compensatore K = G (0) è reale;

−1 ∗

ad ogni altra pulsazione G (ω ) è invece complesso e può spesso essere approssimato

con un compensatore reale.

• Teoria di Perron-Frobenius – La teoria permette di verificare se si può rendere una

matrice dominante diagonale tramite una scalatura in ingresso e in uscita. Quest’ultima

però non può essere effettuata realmente nella maggior parte dei casi (scalatura delle

misure dell’uscita si, dell’uscita stessa no). Esistono delle varianti che portano a una

qualche forma di dominanza.

• Pseudo-diagonalizzazione – Si affronta un problema di ottimizzazione scegliendo una

qualche misura della dominanza e una qualche struttura per il compensatore. Se si

risolve un problema di ottimizzazione della misura prescelta nella classe considerata

porta a una pseudo-diagonalizzazione.

∗ Si noti che non sempre è possibile rendere una matrice dominante riga o colonna e ciò può anche dipendere

dalla fisica del problema.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VI 8

Characteristic-locus method

L’idea di base consiste nel manipolare i luoghi caratteristici λ (GK) come se fossero dia-

i

grammi di Nyquist.

Sia la scomposizione spettrale di G(s) (quadrata) −1

G(s) = W (s)Λ(s)W (s)

con W (s) matrice le cui colonne sono gli autovettori di G(s) e

Λ(s) = diag{λ (s), λ (s), . . . , λ (s)}

m

1 2

Se si fornisce la stessa struttura al compensatore

−1

K(s) = W (s)M (s)W (s), M (s) = diag{µ (s), µ (s), . . . , µ (s)}

m

1 2

la funzione d’anello è tale che −1 −1

G(s)K(s) = W (s)Λ(s)M (s)W (s) = W (s)N (s)W (s), N (s) = diag{ν (s), . . . , ν (s)}

m

1

con ν (s) = λ (s)µ (s)

i i i

Se il processo e il compensatore hanno gli stessi autovettori (relativi alle funzioni di trasfer-

imento) la loro interconnessione in serie ha autovalori pari al prodotto degli autovalori di

G(s) e K(s).

Dati gli andamenti dei luoghi caratteristici del processo λ (jω), si individua un µ (jω) per

i i −1

ogni λ (jω) con le tecniche SISO. Il compensatore sarà l’interconnessione in serie di W (s),

i

M (s) e W (s).

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VI 9

Characteristic-locus method

Si noti che un compensatore con la struttura precedentemente illustrata è tale che

G(s)K(s) = K(s)G(s) (commutatività)

compensatore commutativo.

e quindi viene spesso chiamato −1

• Purtroppo molto spesso gli elementi delle matrici W (s) e W (s) sono funzioni non

razionali. Si possono però individuare dei compensatori commutativi approssimati.

• Si noti che modificando i luoghi caratteristici si può ottenere la stabilità del sistema

di controllo mentre anche assicurando delle specifiche soddisfacenti dal punto di vista

di un sistema SISO, le prestazioni del sistema di controllo MIMO possono non essere

soddisfacenti. Ciò dipende dalla scarsa rappresentatività dei luoghi caratteristici dal

punto di vista delle prestazioni. I valori singolari sono le grandezze utili da questo

punto di vista.

Una possibile procedura (h, m e ` indicano le bande di frequenza) consiste nel

−1

• ≈ −G

individuare una matrice reale K (jω ) con ω banda-passante desiderata;

B B

h

• individuare un compensatore commutativo approssimato K (s) a una pulsazione ω <

m m

→ → ∞

ω per il processo compensato G(s)K in modo tale che K (jω) I per ω (per

m

B h

non alterare troppo l’effetto di K );

h

• se il comportamento a bassa frequenza non è soddisfacente, individuare un compen-

satore commutativo approssimato K (s) a una pulsazione ω < ω per il processo

m

` `

→ → ∞;

compensato G(s)K K (s) in modo tale che K (jω) I per ω

m

h `

• realizzare K(s) = K K (s)K (s).

m

h `

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Scelta della struttura di controllo

L’individuazione di un controllore nella realtà avviene a valle di due importanti decisioni

• quali variabili è più opportuno controllare e quali variabili possono essere manipolate

con maggiore efficienza?

• Scelte le variabili di controllo e controllate, può accadere spesso di dover individuare

i migliori accoppiamenti ingresso/uscita. Ad esempio in un controllo decentralizzato

si impone una struttura diagonale al compensatore (non sono ammessi accoppiamenti

tra i vari canali) o diagonale a blocchi.

Uno strumento analitico, noto come il Relative-Gain Array (RGA), permette di affrontare

parzialmente tali problemi. Si definisce con g la funzione di trasferimento del processo

ij

tra il j-esimo ingresso e l’i-esima uscita quando tutti gli anelli sono aperti, mentre con h ij

quando tutte le uscite sono perfettamente controllate eccetto l’i-esima. L’elemento (i, j)

della RGA è dato da g

ij

γ =

ij h ij

e può essere valutato dalla funzione di trasferimento ad anello aperto del processo.

Un valore di γ prossimo a 1 indica che la funzione di trasferimento tra u e y non è

ij j i

influenzata dalla chiusura di altri anelli di reazione.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - VI 11

RGA

A fronte di una variazione ∆u all’ingresso i-esimo si ha una variazione ∆y all’uscita k-

j k

−1

esima. Definendo con G = G , si ha

b X

∆u = g ∆y

j jk k

b

k

ma l’ipotesi di controllo perfetto su tutti i canali eccetto l’i-esimo assicura che ∆y = 0 per

k

6

k = i. Si ha quindi che 1

⇔ ⇒

∆u = g ∆y h = γ = g g

j ji i ij ij ji ji

b b

g

ji

b

In termini matriciali si ha −1

T T

× ×

RGA(G) = G(s) G (s) = G(s) [G (s)]

b

×

dove indica la moltiplicazione elemento-per-elemento (prodotto di Hadamard o Schur).

×

Ad esempio per una matrice G : 2 2 si ottiene

1

λ 1 λ

λ λ

11 12 11 11 con λ =

=

RGA(G) = 11 g g

1 λ λ

λ λ −

1 12 21

21 22 11 11 g g

11 22

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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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