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Università di Roma “La Sapienza”

Controllo dei Processi

Sistemi MIMO - V

Prof. Leonardo Lanari

DIS, Università di Roma “La Sapienza”

Ultima modifica – May 30, 2009

Argomenti

• Quattro problemi

• Esempio

• Formulazione generale della stabilità robusta

• Risultato generale sulla stabilità robusta - incertezze non strutturate

• Incertezza strutturata / SSV

• Risultato generale sulla stabilità robusta - incertezze strutturate

I problemi

Dopo aver illustrato come rappresentare l’incertezza e arrivare alla struttura N ∆, si possono

formulare i problemi di stabilità e prestazioni robuste.

1. Problema di analisi della stabilità robusta – Dato un controllore che stabilizza un

processo nominale G, ci si chiede quando lo stesso controllore assicura stabilità per

tutti i processi perturbati appartenenti ad un insieme dato.

2. Problema di analisi delle prestazioni robuste – Se si ha stabilità robusta, si vuole deter-

minare quanto può essere “ampia” la funzione di trasferimento, tra le variabili esogene

in ingresso w e in uscita z, per tutti i processi corrispondenti ad un insieme dato di

incertezze. H

Nel definire le prestazioni si usa la norma e quindi, essendo il legame tra w e z dato da

∞ −1

z = T (∆)w T = F (N, ∆) = N + N ∆(I N ∆) N

u 12

22 21 11

kT ≤

si richiede che (∆)k 1 per tutte le perturbazioni consentite. Ad esempio si può

scegliere T = w S (la P in w sta per “Performance”, mentre la p in S sta per “pertur-

p p

P P

bato”).

Si possono riassumere quattro richieste fondamentali.

Nominal Stability (NS) = N internamente stabile

kN k

Nominal Performance (NP) = < 1 e (N S)

22 ∀∆, k∆k ≤

Robust Stability (RS) = T = F (N, ∆) stabile 1 e (N S)

u

kT k ∀∆ k∆k ≤

Robust Performance (RP) = < 1, 1 e (N S)

∞ ∞

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Prestazioni robuste – caso SISO

Si possono valutare le prestazioni tramite la funzione di sensitività pesata w S.

P

In condizioni nominali si ha |w ∀ω

NP : (jω)S(jω)| < 1

P

equivalente a |w |1 ∀ω

(jω)| < + F (jω)|

P

Im ∗

Per una generica ω

-1 la condizione di prestazioni nominali

Re

*

( )

j! può essere rappresentata

w

P sul diagramma di Nyquist

*

( )

j!

1+F *

( )

F j!

∗ ∗

|1

Si ricorda che + F (jω )| coincide con la distanza del punto complesso F (jω ) dal punto

di coordinate (−1, 0).

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Prestazioni robuste – caso SISO

In condizioni perturbate la condizione diventa

|w ∀ω, ∀S ⇔ |w |1 ∀ω, ∀F

RP : (jω)S (jω)| < 1 (jω)| < + F (jω)|

p p p p

P P

nella quale S rappresenta la sensitività del processo perturbato.

p Im ∗

Per una generica ω

-1 il sistema perturbato F = G K

p p

Re è interno al cerchio di raggio w F

I

*

( )

j!

w *

( )

F j!

P Incertezza moltiplicativa

*

( )

j!

1+F F (s) = F (s)(1 + w (s)∆(s))

p I

= F (s) + w (s)F (s)∆(s)

I

* *

( )

( )

F j!

j!

w

I |w |w |1 ∀ω

RP : (jω)| + (jω)F (jω)| < + F (jω)|,

P I −1 −1

⇔ |w | |w | ∀ω

(jω)(1 + F (jω)) + (jω)F (jω)(1 + F (jω)) < 1,

I

P

⇔ {|w |w

max (jω)S(jω)| + (jω)L(jω)|} < 1

P I

ω

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Stabilità robusta – Es. Incertezza additiva non strutturata

Si vuole, dopo aver ottenuto una descrizione dell’incertezza, poter verificare se il compen-

satore progettato rende il sistema di controllo stabile in modo robusto.

Considerando il modello additivo dell’incertezza non strutturata k∆ k ≤

G (s) = G(s) + E (s), con E = W ∆ W , 1

p 1 2

A A A A

e se K(s) stabilizza G (nominale), si ha la seguente trasformazione dello schema di controllo

originale in uno schema di controllo generalizzato nel quale si è tenuto fuori solo l’incertezza

(schema N ∆). e

r + K

- y

r y

u

e

- +

G(s)

K(s) u y

z

¢ ¢

+

+ + W W

G u

2 1

+

(s)

E

A ¢ A

Si noti che in entrambi gli schemi precedenti, il sistema contenuto nella parte tratteggiata

è stabile.

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Stabilità robusta – Es. Incertezza additiva non strutturata

Dalla figura si può ottenere N

y u N N u

11 12

∆ ∆ ∆

= N =

y r N N r

21 22

con −1

−W

N = (I + KG ) KW

11 2 0 1

−1

N = W (I + KG ) K

12 2 0

−1

N = (I + G K) W

21 0 1

−1

N = G K(I + G K)

22 0 0

Affinché il sistema interconnesso N ∆ sia stabile internamente, ponendo w e z a zero, deve

rimanere stabile l’interconnessione di N = M e ∆ per tutte le perturbazioni ammissibili

11 A

∆ . K stabilizza G e quindi N è stabile. Assumendo anche ∆ stabile si avrà instabilità se

11

A A

−N

e solo se il luogo caratteristico di ∆ compie giri intorno al punto -1. Non si avranno

11 A

giri se σ̄(N ∆ ) < 1

11 A

o in modo equivalente se kN k

∆ < 1

11 A

kN k ≤ kN k k∆ k k∆ k

Essendo inoltre ∆ e < 1, una condizione sufficiente è data

∞ ∞ ∞ ∞

11 11

A A A

dalla (caso particolare del small–gain theorem)

kN k < 1

11

Per le perturbazioni non strutturate la condizione è anche necessaria.

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Stabilità robusta – Formulazione generale

∀∆)

Per perturbazioni consentite (di seguito si intende

• H k∆k ≤

la norma di ∆ è minore di 1, 1;

∞ ∞

• ∈

∆ ha una struttura diagonale a blocchi con alcuni blocchi reali. In particolare ∆ B ∆

con {∆ ∈ k∆k ≤

B = : 1}

∆ ∆

l’insieme delle perturbazioni limitate a 1 in norma con una data struttura . Ad

esempio ×m

m

∈ R, ∈ C

∆ = diag[δ I , . . . , δ I , ∆ , . . . , ∆ ] : δ ∆ j j

1 r1 1 i j

S rS F

con S e F rispettivamente il numero di blocchi scalari (eventualmente con ripetizioni)

e complessi. ¢ F

± 1

M

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Stabilità robusta – Formulazione generale

Dalla struttura di N ∆ si ha che il legame tra w e z è dato da

−1

F (N, ∆) = N + N ∆(I N ∆) N

u 22 21 11 12

L’ipotesi di stabilità per il sistema nominale (∆ = 0), equivale a richiedere che tutta la N

e non solo N (legame tra u e y ) sia stabile. Se si assume inoltre che anche ∆ sia

22 ∆ ∆

stabile, in condizioni di stabilità nominale, dall’espressione precedente si deduce che l’unica

−1

possibile fonte di instabilità è il termine di retroazione (I N ∆) .

11

In condizioni di stabilità nominale (NS), la stabilità di N ∆ è equivalente alla stabilità dello

schema M ∆ con M = N .

11

¢ ¢

Incertezze Incertezze

y y

u u

¢ ¢

¢ ¢

w z

N M N

= 11

Processo

controllato

Le condizioni di stabilità robusta riguarderanno quindi solo la struttura M ∆.

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Stabilità robusta – Formulazione generale

¢

Incertezze y

u ¢

¢

Si ha il seguente teorema (applicazione del

Teorema generalizzato di Nyquist) M

Teorema

Siano M (s) (sistema nominale) e ∆(s) (perturbazioni) stabili. Il sistema M ∆ di figura è

stabile per tutte le perturbazioni consentite (stabilità robusta) sse

6 ∀i, ∀ω, ∀∆

λ (M ∆) = 1

i 4

0

Nel teorema precedente la classe di perturbazioni ∆ è tale che, data ∆ una perturbazione

0 |c| ≤

consentita allora anche c∆ lo è con c scalare reale 1 (perturbazioni reali o complesse).

Nel caso di sole perturbazioni complesse (c scalare complesso) si ha la seguente formulazione

in termini di raggio spettrale (ρ(A) = λ (A) = max (A)|).

max i i

Teorema

Siano M (s) (sistema nominale) e ∆(s) (perturbazioni) stabili. Il sistema M ∆ di figura è

stabile per tutte le perturbazioni consentite (stabilità robusta) sse

6 ∀ω, ∀∆

ρ(M ∆(jω)) = 1

equivalentemente ∀ω

max ρ(M ∆(jω)) < 1,

∆ 4

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi MIMO; i problemi di stabilità; il problema di analisi della stabilità robusta; il problema di analisi delle prestazioni robuste; incertezza strutturata; il Valore Singolare Strutturato.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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