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Formulazione del problema generale di controllo con incertezze di modello

In modo del tutto duale, dato lo schema N ∆, si può chiudere l’anello relativo a ∆ e ottenere,

partizionando opportunamente N , il legame tra w e z −1

z = T w, T = N + N ∆(I N ∆) N = F (N, ∆)

u

22 21 11 12

Analogamente a prima, F (N, ∆) è detta upper linear fractional transformation di N con

u

parametro ∆. La partizione deve essere coerente; se ad esempio ∆ è quadrata allora

anche N lo è e con le stesse dimensioni. Inoltre in assenza di incertezze, F (N, 0) = N

u

11 22

rappresenta il modello nominale.

In modo compatto si ha F (N, ∆) = F (F (P, K), ∆)

u u `

Infine, per lo studio della stabilità robusta, lo schema N ∆ si riduce allo schema M ∆ ponendo

w e z a zero con M = N (legame tra u e y ).

11 ∆ ∆

¢ ¢

Incertezze Incertezze

y y

u u

¢ ¢

¢ ¢

w z

N M

Processo

controllato

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 13

Formulazione del problema generale di controllo con incertezze di modello

Attenzione, è facile confondere i vari schemi; ovviamente le formule sono coerenti con

quanto già noto. r y

u

e

+ (s)

K(s) G

-

Ad esempio per lo schema classico di figura può non essere immediato verificare che la

funzione di trasferimento tra r e y si può anche ricavare da

F (P, K)

`

se si è scelto di rappresentare il processo generalizzato P rispetto a w = r e z = y.

Ovviamente P è funzione del processo reale G.

Analogamente, con lo schema precedentemente trasformato nella formulazione generale, un

qualsiasi legame (come ad esempio d y) può essere individuato come elemento particolare

della matrice N . d

r y

u

e +

+ +

(s)

K(s) G

- + n

+

y m

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Linear fractional transformations (LFT)

×

Sia una matrice P di dimensioni (n + n ) (m + m ) e

1 2 1 2

P P

11 12

P = P P

21 22 × ×

e siano ∆ e K matrici di dimensioni rispettivamente (m n ) e (m n ). Si definiscono

1 1 2 2

−1

F (P, K) = P + P K(I P K) P

11 12 22 21

` −1

F (P, ∆) = P + P ∆(I P ∆) P

u 22 21 11 12

Alcune proprietà fondamentali.

• L’interconnessione di più LFT è ancora una LFT. Ad esempio, se R = F (Q, Z) e

`

Z = F (M, K), si può individuare una P tale che R = F (P, K).

` `

• Relazione tra F e F . Noto R = F (Q, Z) si può ottenere R anche da una F , R =

u u

` `

F ( Q, Z), con stesso parametro Z e da una Q data da

u e e

0 I 0 I

Q = Q

e I 0 I 0

• Inversa di una LFT. Se le matrici coinvolte esistono, esiste M (in forma chiusa) tale

f

che −1

(M, K)] = F ( M , K)

[F ` ` f

• Inverso del parametro. Esiste M tale che

f −1

F (M, K) = F ( M , K )

` ` f

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Incertezza fuori dal processo

Nello schema generale precedente, l’incertezza ∆ è stata portata fuori dal processo per

poter trattare in modo unificato il problema.

Lo schema di principio è riportato in figura. ¢ 3

¢ 2

¢ 1

¢ 1 ¢

w z

2

¢ 3 w z

Processo N

controllato Processo N

controllato

In ogni parte del processo dove c’è incertezza, la si rappresenta localmente (in figura tramite

le ∆ ). Ogni descrizione locale sarà caratterizzata da un ingresso e un uscita. L’insieme

i

di questi ingressi costituisce la terza classe y in uscita dal processo generalizzato, mentre

l’insieme di tutte le uscite di questi blocchi ∆ forma la terza classe di segnali u in ingresso

al processo generalizzato.

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Rappresentazione dell’incertezza

In generale, i metodi di sintesi si basano sull’uso di un modello del processo per la sintesi

(modello nominale). La qualità del modello dipende dalla capacità di fornire risposte simili

al processo reale. Interpretando il modello come una mappa dagli ingressi alle uscite, si

può pensare di considerare un insieme di mappe. In realtá si ha una netta distinzione tra

l’universo dei modelli matematici tra cui viene prescelto il modello del processo e l’universo

dei sistemi fisici. Il termine incertezza si riferisce alle differenze (o errori) tra i modelli e la

realtà. Qualsiasi meccanismo si usi per esprimere tali errori costituisce una rappresentazione

Tali rappresentazioni variano a seconda della quantità di struttura che

dell’incertezza.

contengono. Ciò dipende sia dalla conoscenza dei fenomeni fisici che causano tale differenza

tra il modello e la realtà sia la capacità di rappresentare tali meccanismi in modo da

facilitarne la manipolazione.

Si possono distinguere le incertezze sul modello in due classi, le incertezze non strutturate

e strutturate.

Si parla di incertezza non strutturata quando non si individua l’origine dell’incertezza stessa

in determinati parametri del processo. Diverse fonti di incertezza contribuiscono ad un’unica

perturbazione. Ad esempio, l’uso dei margini di stabilità per far fronte a incertezze sul

processo non individua le fonti di tali incertezze.

Se le singole fonti di incertezza sono individuate e rappresentate direttamente, si ha una

descrizione dell’incertezza strutturata.

In generale, la rappresentazione dell’incertezza tramite incertezze non strutturate dà luogo

a condizioni più semplici ma più conservative, mentre le incertezze strutturate danno luogo

a vincoli più complicati e condizioni meno conservative.

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Rappresentazione dell’incertezza non strutturata

Per i sistemi MIMO, i modelli più diffusi dell’incertezza non strutturata sono, definito con

G(s) il modello nominale e con G (s) il sistema reale (perturbato),

p

w ¢ w w

¢ ¢

A

A I O

I O

nominale nominale

nominale + +

+ G G

G + +

+ G = G[I + E ] G = [I + E ]G

G = G + E p p

p I O

A

con E perturbazione additiva, E perturbazione moltiplicativa in ingresso e E pertur-

A I O

bazione moltiplicativa in uscita.

Le tre perturbazioni considerate sono di tipo feedforward e i vari termini E , E e E

A I O

possono assumere diverse espressioni. In generale si ha E = W ∆W con W e W funzioni

1 2 1 2

di trasferimento (ad esempio stabili asintoticamente e a fase minima). In figura è stato

riportato il caso scalare.

E = w ∆ E = w ∆ E = w ∆

A A A I I I O O O

E rappresenta la perturbazione reale mentre ∆ quella normalizzata. Ad esempio, si può

individuare w scalare in maniera analoga al caso SISO

O k∆ k ≤

G = (I + w ∆ )G, 1

p O O O

−1

− |w ≥

r (ω) = max σ̄ (G G)G , (jω| r (ω)

p

O O O

G

p

∗ La perturbazione non strutturata permette di formulare semplicemente un modello di incertezza. Di solito

∆ è complessa e delle stesse dimensioni del processo.

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Rappresentazione dell’incertezza non strutturata

Una seconda classe di perturbazioni sono invece a retroazione o di tipo inverso.

w ¢ w w

¢ ¢

iA

iA iI iO

iI iO

nominale nominale

nominale

+ + +

+ G G

G + +

−1 −1

−1 − −

− G = G(I E ) G = (I E ) G

G = G(I E G) p p

p iI iO

iA E = w ∆ E = w ∆

E = w ∆ iI iI iI iO iO iO

iA iA iA

con E perturbazione additiva inversa, E perturbazione moltiplicativa inversa in ingresso

iA iI

e E perturbazione moltiplicativa inversa in uscita.

iO

Si noti che

• ∆ può essere anche reale o ripetuto; in tal caso si ha maggiore struttura.

• Più perturbazioni di tipo non strutturato, ad esempio ∆ in ingresso e ∆ in uscita,

I O

}.

possono essere combinate in una perturbazione ∆ = diag{∆ , ∆ In questo caso

I O

essendo ∆ diagonale a blocchi la perturbazione non è più realmente non strutturata.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 19

Rappresentazione dell’incertezza

Nello schema generale, ogni perturbazione ∆ che forma la ∆ è in generale stabile e nor-

i

malizzata ≤ ∀ω

σ̄(∆ (jω)) 1

i |∆ ≤

Se la perturbazione è complessa e scalare allora (jω)| 1 mentre se è scalare e reale

i

−1 ≤ ≤

∆ 1.

i

Si ricorda che il massimo valore singolare di una matrice diagonale a blocchi è uguale al più

}

grande massimo valore singolare dei singoli blocchi; si ha quindi per ∆ = diag{∆

i

≤ ∀ω ⇔ k∆k ≤

σ̄(∆ (jω)) 1 1

i

Il problema della stabilità robusta ha una soluzione elegante nel caso di modello additivo

k∆ k

dell’incertezza, mentre il modello moltiplicativo è di solito più realistico in quanto e

I

k∆ k k∆ k ≤

rappresentano ampiezze relative e non assolute. In altri termini, scrivere 0.1

∞ ∞

i

O

implica che l’ampiezza della perturbazione è al più il 10% della dimensione di G (attenzione

0

all’uso improprio dei termini ampiezza e dimensione) in quanto

kG − k kG k ≤ kG k k∆ k ≤ k

G = ∆ 0.1kG

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

0 0 0 0

i i

k∆ k ≤

mentre dire 0.1 implica

a kG − k k∆ k ≤

G = 0.1

∞ ∞

a

0

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 20

Spostare l’incertezza

Per un sistema SISO, le incertezze moltiplicative in ingresso e in uscita coincidono

G = G(1 + w ∆ ) = (1 + w ∆ )G

p I I O O

e ciò equivale a “muovere” l’incertezza dall’ingresso all’uscita senza cambiare il peso w =

I

w .

O

Per i sistemi MIMO la situazione cambia. Ad esempio la conversione incertezza in ingresso

in incertezza in uscita avviene tramite il condition number. Se

G {G(I k∆ k ≤

= + w ∆ ); 1}

I I I I

G {(I k∆ k ≤

= + w ∆ )G; 1}

O O O O

e se P è invertibile, si ha G ⊇ G |w | ≥ |w |γ(G)

se

O I O I

essendo −1

G(I + w ∆ ) = (I + w G∆ G )G

I I I I

Un elevato valore del condition number può quindi anche limitare le prestazioni ottenibili.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 21

Rappresentazione dell’incertezza

Si consideri ad esempio un processo, riportato in figura, il quale opera con flussi nell’intorno

−1

del valore 100 kmol min . Si ipotizzano richieste di variazioni del flusso fino a 10 kmol

−1

min . Tali variazioni sono fornite da valvole controllate che richiedono la misura del flusso.

Supponendo che tali misure siano affette da un errore dell’1%, si ha che a fronte di una

−1

richiesta di variazione del flusso da 100 a 110 kmol min , il flusso effettivo può essere di 111

−1

kmol min . Pertanto l’errore sulla variazione richiesta è del 10%. Il modello dell’impianto,

che modella il comportamento nell’intorno del punto di lavoro, è soggetto ad errori fino al

10% in ogni canale dell’ingresso (assumendo che ogni ingresso sia un flusso regolato come

precedentemente descritto). FC

20 FT

20 Impianto

Fig. 11 – Esempio di incertezze

Essendo l’errore in ogni canale d’ingresso indipendente da quello degli altri canali di ingresso,

un possibile modello dell’incertezza (moltiplicativa in ingresso) è

}, |δ | ≤

∆ = diag{δ 0.1

i k k

k10∆ k ≤

il quale dà luogo a 1 (per effetto della normalizzazione).

i

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 22

Rappresentazione dell’incertezza

Nell’esempio precedente alcune informazioni sull’incertezza non sono state sfruttate. Ad

esempio, non si è fatto uso del fatto che l’incertezza per ogni valvola era indipendente

dall’incertezza delle altre. Se ci fossero due valvole, una descrizione corretta dell’incertezza

sarebbe

δ 0

1 |δ | ≤

, 0.1

∆ =

i i

0 δ 2

k10∆ k ≤

La descrizione usata precedentemente 1 non sfruttava questa informazione

i

strutturata; infatti è compatibile con altre descrizioni quali

1 0.1 0.1

0 0.1 √

∆ = , oppure ∆ =

i i 0.1 0.1

0 0 2

che non corrispondono ad alcuna perturbazione reale. La descrizione dell’incertezza in

modo non strutturata porta alla sintesi di controllori in generale troppo conservativi in

quanto vengono progettati affinché il sistema di controllo si comporti bene anche rispetto

a perturbazioni che non possono mai accadere.

Nella realtà si può essere a disposizione di informazione riguardante l’incertezza sia di tipo

strutturato che non strutturato. Ad esempio si può essere a conoscenza che alcuni para-

metri del modello matematico (nello spazio di stato) variano in intervalli noti (informazione

altamente strutturata) ed inoltre che lo stesso modello diventa inaccurato ad alta frequenza

a causa di ritardi non modellati, isteresi, risonanze (informazione non strutturata).

Allo scopo di poter rappresentare contemporaneamente incertezza strutturata e non, si è

introdotto uno schema di controllo esteso nel quale il processo esteso ha tre classi di ingressi

e di uscite.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 23

Rappresentazione dell’incertezza

Con riferimento all’esempio precedente, si ipotizza che il processo sia dotato di due ingressi

e tre uscite e che sia descritto, senza le servo-valvole, dal modello nominale G (s). Ogni

0

servo-valvola è rappresentata dalla funzione di trasferimento nominale V (s) ed è soggetta

0

ad un’incertezza moltiplicativa del 10%, già descritta, a tutte le frequenze. In aggiunta

alla precedente incertezza si considera in ingresso al processo la presenza di un’incertezza

moltiplicativa ∆ non strutturata ad alta frequenza.

3 Servo-valvole Impianto

z 3

z (s)

¢ z

1

± 3 4

1 y

(s)

V 1 1

w

0 1 y

(s)

G

I 2

0 y

(s)

V 1 3

w

0 2

±

2 z 2

Rappresentazione di un processo con incertezze

Si suppone che ∆ non abbia nessun effetto a pulsazioni inferiori a ω , mentre il suo effetto

3 0

cresce all’aumentare della frequenza in modo tale che σ̄(G (I + ∆)) sia limitato da un

0

guadagno costante (mentre σ̄(G ) decresce a zero ad alta frequenza).

0

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - IV 24

Rappresentazione dell’incertezza

Si hanno le seguenti rappresentazioni dell’incertezza

c s s

≤ ≤ |r(s)|, −

σ̄(G (jω)) , σ̄(∆ ) con r(s) = 1 b 1+

0 3 3

ω ω ω

0 0

con b (s) la funzione di trasferimento di un filtro di Butterworth normalizzata del terzo

3

ordine. L’andamento di r(jω) è riportato in figura.

( )

log j!

r ! log !

0 0

Andamento del limite dell’incertezza non strutturata

|δ | ≤ |δ | ≤

I limiti su δ e δ rimangono gli stessi 0.1, 0.1. Portando fuori tutte le incertezze

1 2 1 2

si ha  

δ̃ 0 0 0

1 0 0

0 δ̃

 

1 ˜

| | ≤ | | ≤ k k ≤

∆= , δ̃ 1, δ̃ 1, ∆ 1

1 2 3

 

0 0 ˜

 

3

0 0

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi MIMO; misura del guadagno; il problema generale di controllo; il processo esteso; lower linear fractional transformation e upper linear fractional transformation; incertezza fuori dal processo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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