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Poli e Zeri

• Un sistema multivariabile, anche se in forma minima, può avere poli e zeri coincidenti.

Caratteristica dei sistemi MIMO.

• La molteplicità dei poli e degli zeri è data dalla molteplicità con cui compaiono rispet-

tivamente nelle ψ (s) e η (s).

i i

Pertanto nell’esempio precedente il polo in -2 è semplice (molteplicità 1), un polo in -1 ha molteplicità

2 e un polo in -1 è anch’esso semplice. L’unico zero in -2 è semplice.

2

ψ (s) = (s + 1) (s + 2) ψ (s) = (s + 1) η (s) = 1 η (s) = (s + 2)

1 2 1 2

• Il grado del polinomio dei poli p(s) è detto grado di McMillan e definisce la dimensione

della realizzazione minima di G(s) .

(ad es. 4 per la G(s) precedente)

• I poli di un sistema MIMO sono facilmente determinabili per ispezione, infatti coinci-

dono con i poli delle singole funzioni di trasferimento g (s). Il loro numero e la loro

ij

molteplicità non sono invece di facile determinazione mentre possono essere importanti

nell’applicazione di teoremi sulla stabilità (es. Nyquist).

• Non si può dire nulla in generale sugli zeri.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 15

Poli e Zeri - Caso quadrato

La determinazione dei poli e degli zeri si semplifica in un importante caso particolare.

Corollario

Se la G(s) è quadrata, si ha z(s)

det[G(s)] = c p(s) 4

per qualche costante c.

Metodo diretto per individuare i poli e gli zeri di un sistema quadrato, a meno di cancel-

lazioni .

Si consideri il sistema quadrato rappresentato dalla matrice di funzioni di trasferimento

!

s−1 0

s+1

G(s) = s+2

0 s−1

il cui determinante, −

(s 1) (s + 2) s +2

det[G(s)] = =

(s + 1) (s 1) s +1

dopo le semplificazioni, non rivela la presenza di un polo e uno zero coincidenti in s = 1.

In generale, nel caso quadrato, si possono solo avere informazioni parziali se si hanno poli

e zeri coincidenti. In tali casi è opportuno passare alla forma di Smith-McMillan.

∗ Infatti nonostante ψ (s) e η (s) siano coprimi per ogni i, si possono avere cancellazioni nel det[G(s)].

i i

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 16

Poli e Zeri

Si potrebbe essere tentati di definire zero di G(s) come quella frequenza alla quale cor-

risponde uno zero di una delle g (s), ma:

ij

• anche se questa frequenza rimane “nascosta” in qualche particolare uscita anche se

presente in ingresso (si annulla il termine corrispondente g (s)), non rimarrà nascosta

ij

in tutte le uscite;

• in generale non si ha la caratteristica desiderata che gli zeri – cosı̀ definiti – di una G(s)

−1

invertibile coincidono con i poli di G (s).

In generale, dalla forma di Smith-McMillan è chiaro che per ogni zero z (in assenza di un

0

polo coincidente con lo zero z ) il rango normale r di G(s) deve cadere e quindi

0 ∃u 6 = 0 tale che G(z )u = 0

0 0 0

Questa proprietà può essere utilizzata per caratterizzare gli zeri di una matrice di funzioni

di trasferimento.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 17

Poli e Zeri

Si hanno i seguenti risultati utili per la determinazione degli zeri di trasmissione.

Corollario

Se z non è un polo di G(s), allora z è uno zero di trasmissione di G(s) se e solo se

0 0

rango )) < rango generico

(G(z (G(s))

0 6

Se inoltre la G(s) è quadrata con det[G(s)] = 0, se z non è un polo di G(s) allora

0

z zero di trasmissione det[G(z )] = 0

0 0 4

Nell’esempio considerato, la contemporanea presenza di uno zero e un polo in s = 1 rende

la G(1) indefinita quindi 6

non esiste u = 0 tale che G(1)u = 0

0 0

T

mentre con u = [1 0] si ha

0 ( ! )

s−1 s−1

0

1 0

s+1 s+1

[G(s)u ] = =

=

0 s=1 s+2 0 0

0 0

s−1 s=1

s=1

e pertanto z = 1 è uno zero.

0

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Poli e Zeri

L’esempio precedente ci fornisce una possibile caratterizzazione di uno zero di trasmissione

anche in presenza di un polo coincidente con esso.

Corollario

Una matrice razionale G(s) con rango colonna pieno, ha uno zero di trasmissione in

s = z se esiste un vettore razionale u(s) tale che u(z ) sia finito diverso da zero e

0 0

lim = 0

[G(s)u(s)]

s→z 0 4

Il caso rango riga pieno richiede invece 0

lim G (s)u(s) = 0

s→z 0

∗ 6

Se si considerano vettori polinomiali u(s) si richiede solo che u(z ) = 0

0

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 19

Poli e Zeri

Esempio. Sia 1

 

1 s−a

G(s) = 0 1

 

−1

0

mentre la presenza del polo in s = a è evidente, la contemporanea presenza di uno zero

coincidente con il polo non lo è.

Scegliendo −1

−1

diverso da zero

, u(a) =

u(s) = − 0

s a

inoltre  

0

− ⇒

s a

G(s)u(s) = lim = 0

[G(s)u(s)]

 

  s→a

−(s − a)

quindi z = a è uno zero di G(s).

0

La forma canonica di Smith-McMillan è  

1 0

s−a

∼ −

G(s) 0 s a

 

 

0 0

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 20

Poli e Zeri

Si noti che mentre l’individuazione dei poli di un sistema è abbastanza diretta, per gli zeri

non solo non è evidente la loro individuazione ma neanche la loro esistenza.

Ad esempio, i sistemi non quadrati hanno raramente zeri. Infatti se si pensa agli zeri,

eccetto particolari situazioni, come quei valori complessi per i quali si ha una caduta di

rango della matrice delle funzioni di trasferimento, è evidente come “genericamente” è

abbastanza improbabile che più minori siano nulli contemporaneamente.

Ad esempio, per le seguenti G(s) non esistono valori di s tali da avere una riduzione di

rango rispetto al rango generico 

 s+3

s+1

s+2 s+4

s+1 s+3 s+1

1 

G(s) = , G(s) = 

s+2 s+4 s+5 s+6 

 s+3 1

s+4 s+2

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 21

Zeri: proprietà bloccanti

Si ricorda che, a partire da condizioni iniziali nulle, l’uscita è data da

Y (s) = G(S)U (s)

Se si sollecita il sistema con un ingresso contenente una frequenza coincidente con uno zero

del sistema, l’uscita non conterrà tale frequenza.

u

Ad esempio, scelto u(s) = si ha

0

s−z 0

y(s) = G(s)u(s) + evoluzione libera

G(z )u R u(p )

0 0 i i

X

= + evoluzione libera = 0

+

− −

s z s p

0 i

i

per una scelta particolare delle condizioni iniziali.

Più in generale, definita con (A, B, C, D) una realizzazione minima di G(s) e detto u un

0

λt

vettore costante arbitrario, l’uscita corrispondente all’ingresso u(t) = u e (con λ non un

0

−1

polo di G(s)) e alla condizione iniziale x = (λI A) Bu è pari a

0 0

λt

y(t) = G(λ)u e

0 proprietà bloccanti) degli zeri di

Sulla base di questo risultato, le capacità filtranti (dette

trasmissione possono essere facilmente evidenziate nel caso in cui non si abbia un polo

coincidente con lo zero z di trasmissione. In tal caso esiste un vettore non nullo u tale che

0 0

z t

G(z )u = 0 e quindi l’uscita corrispondente all’ingresso u(t) = u e sarà identicamente

0

0 0 0

nulla.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 22

Realizzazioni

La matrice di funzioni di trasferimento G(s) è legata ad una realizzazione (A, B, C, D) tramite

la ben nota relazione −

C Adj(sI A)B

−1

G(s) = C(sI A) B + D = + D

det(sI A)

Essendo la C Adj(sI A)B una matrice polinomiale, si ha che ogni polo di G(s) è un

autovalore di A. Il vice-versa è vero se e solo se la realizzazione è raggiungibile e osservabile .

Th. Sia (A, B, C, D) una realizzazione minima di G(s) e sia p(s) il polinomio dei poli. Si ha

• dim(A) = grado di p(s) = grado di McMillan

• ≡

autovalori di A poli di G(s) 4

Tra le tante possibili realizzazioni una delle più semplici, ma non minima, si ottiene realiz-

×

zando la G(s) per colonne. Detta g (s) l’i-esima colonna di G(s) (m `),

i n (s)

i

g (s) = + δ

i i

d (s)

i

con −1 k

k 1 k · · ·

d (s) = s + d s + + d i

i i

i i i

il denominatore comune di g (s), n (s) un vettore di polinomi di grado strettamente minore

i i

di k e δ un vettore di costanti.

i i

∗ In tal caso la realizzazione è minima.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 23

Realizzazioni

Definendo con v (s) il j-esimo elemento di n (s)

ji i

−1 −2 k

1 k 2 k · · ·

v (s) = v s + v s + + v i

i i

ji ji ji ji

si ha la seguente realizzazione della colonna g (s)

i −1

k k

 

 

 1

···

v v v

0 1 0 0 i i

0 1i

1i 1i

. .

. ... −1

k k

..

.. .. 1

···

v v v

0 i i

 

 

 2i

2i 2i

, C =

, B =

A = ... ... ...

i

i

i  

 

 ···

0 0 1 0  

 

 −1

k k 1 −1

k k

1

−d −d · · · −d 1

i i · · ·

v v v

i i

i

i i mi

mi mi

La realizzazione di G(s) sarà {A }

A = diag , A , . . . , A , C = , C , . . . , C

[C ]

1 2 1 2

` `

{B }

B = diag , B , . . . , B , D = , δ , . . . , δ

[δ ]

1 2 1 2

` `

e risulterà controllabile per costruzione, ma non necessariamente osservabile, e quindi non

minima. Esistono algoritmi per eliminare i modi naturali inosservabili e ottenere una realiz-

zazione minima.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 24

Zeri nello spazio di stato

Data una realizzazione minima (A, B, C, D) di G(s) è possibile caratterizzare gli zeri di

trasmissione tramite la matrice di sistema

− −B

sI A

Q(s) = C D

Lemma ∗

z è uno zero di trasmissione se e solo se

0 rango di )] < rango generico di

[Q(z [Q(s)]

0 4

Nel caso di non coincidenza polo/zero, si usa la seguente relazione

− −B

− −B

I 0 sI A

sI A =

−1 −1

−C(sI − −

C D

A) I 0 C(sI A) + D

− −B

sI A

= 0 G(s)

Se z non è un autovalore di A – e quindi polo di G(s) – la prima matrice è non singolare in

0

s = z pertanto le altre due matrici devono avere lo stesso rango in s = z . Inoltre, essendo

0 0

z I A invertibile, si ha che in s = z la matrice G(s) cade di rango sse la matrice di sistema

0 0

cade di rango.

∗ In altri termini la matrice di sistema cade di rango se valutata in corrispondenza di uno zero.

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 25

Zeri nello spazio di stato

Nel caso particolare di sistemi quadrati, effettuando il determinante di entrambi i lati

dell’uguaglianza, si ottiene −

det[Q(s)] = det[sI A] det[G(s)]

la quale fornisce, nel caso det[G(s)] funzione razionale non nulla, un metodo alternativo per

l’individuazione degli zeri di un sistema (nel caso SISO è banale).

Inoltre se G(s) (e quindi Q(s)) ha rango colonna pieno, in corrispondenza di uno zero (di

trasmissione) z si ha una perdita di rango e quindi

0

x 0 x 0

− −B

z I A 0 0

0 6

= , =

C D u 0 u 0

0 0

x e u vengono definiti rispettivamente direzione nulla dello stato e dell’ingresso associati

0 0

allo zero z .

0

∗ 6 6

L’osservabilità della realizzazione garantisce u = 0 mentre x = 0 deriva dall’ipotesi di rango colonna pieno.

0 0

L. Lanari (Università di Roma “La Sapienza”) – Sistemi MIMO - Parte 1 26

Zeri nello spazio di stato: interpretazione

Sia z uno zero di G(s) con le associate direzioni nulle dello stato e dell’ingresso x e

0 0

u (individuate tramite la matrice di sistema di una realizzazione minima di G(s)). Se si

0 6

inizializza il sistema con stato iniziale x(0) = x = 0 e si applica l’ingresso

0

z t 6 ≥

u(t) = e u = 0, t 0

0 0

le evoluzioni dello stato e dell’uscita di (A, B, C, D) saranno

z t 6

x(t) = e x = 0

0 0

≡ ∀t ≥

y(t) 0 0

z t z t

Per verificare il risultato, si noti che x(t) = e x e u(t) = e u , sfruttando la definizione di

0 0

0 0

direzioni nulle, soddisfano l’equazione di stato

← −

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (z I A)x = Bu

0 0 0

z t z t

e quindi dall’unicità delle traiettorie, x(t) = e x è l’evoluzione da x con u(t) = e u .

0 0

0 0 0

Sfruttando il secondo insieme di relazioni

Cx + Du = 0

0 0

si dimostra che in corrispondenza alla scelta (x , u(t)) precedente l’uscita è identicamente

0

nulla.

∗ z t z t z t

Ax(t) + Bu(t) = (Ax + Bu )e = [Ax + (z I A)x ]e = z x e = ẋ(t)

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi MIMO; definizione di sistema MIMO (Multiple Inputs/Multiple Outputs); interconnessioni in serie e interconnessioni in parallello; i poli e gli zeri di un sistema MIMO; la forma canonica di Smith; forma canonica di Smith - McMillan; proprietà bloccanti degli zeri.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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