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Concetto di guadagno – Generalità

Nei sistemi SISO è stato visto come le prestazioni di un generico sistema di controllo

a retroazione dipendono dalla funzione d’anello e in modo particolare dal suo modulo

(guadagno d’anello).

Si ricorda che per un sistema SISO stabile asintoticamente, il guadagno (statico) di un

sistema, caratterizzato da F (s), può essere definito come il valore di regime permanente a

cui tende la risposta indiciale (i.e. al gradino unitario)

K = lim y (t) = F (s)| = F (0)

F δ s=0

−1

t→∞

In modo analogo e nelle stesse ipotesi, applicando un segnale sinusoidale u(t) = sin(ωt), a

regime permanente si ottiene |F 6

y (t) = (jω)| sin(ωt + (F (jω))

RP

da cui si ricava il guadagno in ω |Y (jω)| |F

= (jω)|

|U (jω)|

Si vogliono estendere questi concetti al caso MIMO.

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Guadagno in un sistema MIMO – Generalità

Un primo problema sorge notando che un sistema MIMO non ha un unico guadagno (statico)

Ad esempio il sistema statico (2 ingressi e 2 uscite)

1 0

P (s) = 0 2

ha un guadagno che varia tra 1 e 2 a seconda della direzione dell’ingresso.

In effetti se si applicano i due ingressi a gradino u (t) o u (t) con

a b

1 0

1 0

→ →

u (t) = δ (t) u (s) = oppure u (t) = δ (t) u (s) =

s

−1 −1

a a b b 1

0 1

0 s

si ottengono le risposte a regime permanente (guadagno statico)

δ (t) 0

−1

y (t) = oppure y (t) =

a b

0 2δ (t)

−1

Ovviamente, se 1

0

1+s

P (s) = 2

0 1+0.5s

Si ottiene lo stesso risultato valutando P (0).

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Guadagno in un sistema MIMO – Generalità

Si consideri come ulteriore esempio il sistema rappresentato da

5 4

P (s) = 3 2

e gli ingressi ! !

1 1

√ √

1 0 0.6

2 2

u = , u = , u = , u = , u =

1 2 3 4 5

1 1 −0.8

0 1 −

√ √

2 2

∗ ku k

tutti aventi la stessa norma euclidea = 1. Le uscite y = P y sono pari a

2

i ! !

1

9

√ √ −0.2

5 4 2 2

, y = , y =

y = , y = , y =

1 2 3 4 5

5 1 0.2

3 2 √ √

2 2

tutte diverse tra di loro (l’uscita dipende dalla direzione dell’ingresso) e con valori della

norma euclidea diversi

ky k ky k ky k ky k ky k

= 5.83, = 4.47, = 7.61, = 1, = 0.28,

1 2 2 2 3 2 4 2 5 2

(il guadagno dipende dall’ingresso).

∗ ≤ ∞

Si ricorda che le norme ` con 1 p < sono definite da

p 1

!

n p

X p

kvk |v |

=

p i

i

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Richiami sulle norme

Per i sistemi MIMO, gli ingressi e le uscite sono vettori e si devono quindi “sommare” le

ampiezze degli elementi di ogni vettore con l’uso di qualche norma. ≤ ∞

Si possono, per i vettori, definire le norme ` (o norme di Hölder) con 1 p < come

p 1

!

n p

X p

kvk |v |

=

p i

i

Ad esempio le norme più usate sono per p = 1

n

X

kvk |v |

= 1-norma

1 i

i

o la norma euclidea per p = 2 1

!

n 2

X 2

|v |

kvk = norma 2 o euclidea

2 i

i

che definisce la minima distanza tra due punti.

Un’altra norma importante è la norma ` definita come

kvk |v | ∞

= max norma o max-norma

∞ i

1≤i≤n

Le tre norme introdotte sono dette equivalenti in quanto soddisfano le disuguaglianze

kvk ≤ kvk ≤ kvk

n

∞ ∞

2 √

kvk ≤ kvk ≤ kvk

n

2 1 2

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Richiami sulle norme

Il concetto di norma fornisce una misura della grandezza. Poiché le matrici rappresentano

trasformazioni lineari tra vettori, per definire una misura di tale trasformazioni è opportuno

“normalizzare” tale misura affinché il risultato non dipenda dal vettore che viene trasfor-

mato .

Un modo per estendere il concetto di norma alle matrici consiste nell’associare a una norma

kvk,

di vettore la grandezza norma di matrice indotta

kAvk

kAk kAvk

= sup = sup

kvk kvk=1

v6 =0

proprietà submoltiplicativa (o di consistenza)

la quale gode della kABk ≤ kAk kBk

Si ottengono le seguenti norme di matrice indotte

X

kAk |a |

= max massima somma per colonna

1 ij

j i

X

kAk |a |

= max massima somma per riga

∞ ij

i j

Per i sistemi lineari con matrice di funzioni di trasferimento G(s) vale anche

kG(s)k = sup σ̄(G(jω))

∞ ω

∗ Anche se il vettore trasformato viene normalizzato, come nell’esempio precedente, il risultato varia a seconda

della direzione.

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Richiami sulle norme

Usando ad esempio la norma euclidea, per vettori complessi,

p H H

kxk = x x (x indica il vettore coniugato trasposto)

2

la norma di matrice indotta è la norma di Hilbert (o norma spettrale)

kGuk q

2 H

kGk kGk

= = sup λ (G G)

= σ̄(G) =

s max

2 kuk

u6 =0 2 2

dove λ (A) = max (A)| indica il raggio spettrale. Quindi σ̄ denota il massimo auto-

max i i

H H

valore di G G (o di GG ). ∗

Si noti che una norma (tale quindi da soddisfare le 4 proprietà di una norma ) è detta norma

di matrice se inoltre soddisfa la proprietà submoltiplicativa. Le norme indotte sono quindi

norme di matrici.

Esempio. Per la matrice

1 2

A = 3 4

le diverse norme valgono kAk kAk kAk

= 6, = 7, = 5.3723

1 2

∗ kvk ≥ kvk ⇔ kαvk |α|kvk; kv ≤ kvk kwk.

Le proprietà sono: 0; = 0 v = 0; = disuguaglianza triangolare + wk +

† kAk |a |,

Esistono anche le norme di matrice generalizzate, come la = max che non soddisfano la

max i,j ij

proprietà submoltiplicativa.

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Guadagno in un sistema MIMO – Generalità

Se G rappresenta un sistema MIMO, la norma spettrale spettrale di G è il massimo guadagno

del sistema al variare dell’ingresso in tutte le direzioni

kGuk 2 kGuk

sup = sup = σ̄(G)

2

kuk kuk

u6 =0 =1

2 2

8 7.34

7

5 4

P (s) = 3 2

2 6

|| Indicando con u(1) e u(2) le due

u 5

|| componenti dell’ingresso, il rapporto

/ 4 u(2)/u(1) rappresenta la direzionalità

2

|| 3 dell’ingresso. Al variare di tale

y

|| direzionalità si ha l’andamento

2 kyk

di /kuk riportato in figura

2 2

1 e il suo valore massimo è σ̄(P ).

0

−5 0 5

u(2)/u(1)

Il valore σ̄(P ) è uno dei valori singolari della matrice P .

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Decomposizione ai valori singolari (SVD)

Definizione Una matrice (complessa) si dice unitaria se

−1

H

U = U 4

Gli autovalori di una matrice unitaria hanno valore assoluto pari a 1 e i suoi valori singolari

sono uguali a 1. ×

Definizione Una matrice complessa G (m `) si dice fattorizzata tramite la decomposizione

ai valori singolari (o singular value decomposition – SVD) se

H

G = U ΣV (SVD)

× × ×

con U (m m) e V (` `) matrici unitarie e Σ (m `) contenente una matrice diagonale

Σ di valori reali non negativi σ (in ordine decrescente)

i

d

Σ

d ≥

Σ= , se m `

0 ≤

Σ 0

Σ= , se m `

d {σ }

con Σ = diag , . . . , σ , k = min(`, m)

1

d k

≥ ≥ · · · ≥ ≥

σ σ σ 0, k = min(`, m)

1 2 k 4

I valori σ vengono definiti valori singolari di G.

i

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Decomposizione ai valori singolari (SVD)

×

I valori singolari di G (m `) sono

• ≥

se m ` q H

σ = λ (G G), i = 1, . . . , `

i i

• ≤

se m ` q H

λ (GG ), i = 1, . . . , m

σ = i

i

Hanno particolare interesse il più grande (σ ) e più piccolo (σ ) valore singolare indicati

1 k

(o σ ).

rispettivamente con σ̄ (o σ ) e σ

max min

La scomposizione non è unica mentre i valori singolari lo sono

0 0H 0 0 −jθ

(G = U ΣV con U = U e e V = V e ). H H

Si noti inoltre che, essendo U e V matrici unitarie, V V = I e U U = I, valgono le

H H H H H H H H H

GG = (U ΣV )(U ΣV ) = (U ΣV )(V Σ U ) = U ΣΣ U

H H H H H H H H H

G G = (U ΣV ) (U ΣV ) = (V Σ U )(U ΣV ) = V Σ ΣV

le quali possono essere riscritte (post-moltiplicando rispettivamente per U e V )

H H

(GG )U = U (ΣΣ )

H H

(G G)V = V (Σ Σ)

∗ −1 −1

H H

Si ricorda che U e V sono matrici unitarie e quindi U = U e V = V .

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Decomposizione ai valori singolari (SVD)

Le due relazioni precedenti indicano che H

• le colonne di U sono degli autovettori di G G

H

• le colonne di V sono degli autovettori di GG

e pertanto le colonne di U vengono definiti autovettori singolari destri mentre le colonne di

V autovettori singolari sinistri. Le relazioni precedenti permettono anche di affermare che i

valori singolari sono le radici quadrate dei k = min(m, `) più grandi autovalori di entrambe

H H

le matrici G G e GG .

Ad esempio, la SVD della matrice  

 

0 0 0 0 H

H

3 0 9 12 A = 25

A = dove AA = e A

 

 

4 0 12 16

è uguale a 

 

−0.6 −0.8 5

0 H

H −0.48 0

0.6 0.64 , V =1

, Σ =

A = U ΣV , con U =   

 −0.48 0

0.8 0.36

e pertanto A ha un solo valore singolare non nullo pari a 5 (in quanto il rango di A è 1) e

H {25,

la norma spettrale di A è σ̄(A) = 5. Si noti che λ (AA ) = 0, 0}.

i

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Decomposizione ai valori singolari (SVD)

H ⇔

Riprendendo l’esempio e ricordando che P = U ΣV P V = U Σ

5 4

P (s) = 3 2

8

−0.8718 −0.4899

7.34

7 u u

U = = 1 2

−0.4899 0.8718

2 6

||

7.3434 0 σ̄ 0

u 5 Σ = =

|| 0 0.2724 0 σ

/ 4

2

|| −0.7937 0.6083

3

v v

V = =

y 1 2

−0.6083 −0.7937

|| 2 Att. u(1) e u(2) sono le componenti dell’ingresso

1 0.27

0 mentre u e u sono le colonne di U

−5 0 5 1 2

u(2)/u(1)

1 8

0.8 6

Ingresso (a sinistra)

0.6 4

0.4 Uscita (a destra) 2

0.2 u

u(2) y(2) 1

0 0

−0.2 u

−2 2

P v = σ̄u

v

1 1 1

−0.4 v −4

2

−0.6 P v = σu

2 2 −6

−0.8

−1 −8

−1 −0.5 0 0.5 1 −5 0 5

u(1) y(1)

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Decomposizione ai valori singolari (SVD)

×

Se la matrice A è quadrata (m m) e non singolare, la decomposizione ai valori singolari di

−1 H

A è legata a quella di A = U ΣV tramite la relazione

−1 −1 H

A = V Σ U

e l’ordine dei valori singolari è invertito

1 1 1

−1 −1 −1

≥ ≥ ≥

σ (A ) = σ (A ) = . . . σ (A ) =

m

1 2

σ (A) σ (A) σ (A)

m m−1 1

In particolare si ha 1 1

−1 −1

σ̄(A ) = e σ(A ) =

σ(A) σ̄(A)

Infine una proprietà utile è ≤

σ̄(AB) σ̄(A)σ̄(B)

Una rappresentazione alternativa della decomposizione ai valori singolari di una matrice G

×

(m `) a rango r è r

X H

H

G = U ΣV = σ u v

i i i

i=1

i termini da r + 1 a k = min(m, `) hanno valori singolari nulli e quindi non danno contributo

alla somma.

Il rango di una matrice può essere definito come il numero di valori singolari non nulli; il

rango non è alterato se si pre/post-moltiplica una matrice per una matrice non singolare.

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Guadagno in un sistema MIMO

Ritornando ai sistemi MIMO, è stata definita come massimo guadagno del sistema al variare

dell’ingresso in tutte le direzioni la quantità

kGuk 2 kGuk

sup = sup = σ̄(G)

2

kuk kuk

u6 =0 =1

2 2

minimo guadagno del sistema al variare dell’ingresso in

e in modo simile si può definire il

tutte le direzioni come kGuk 2 kGuk

inf = inf = σ(G)

2

kuk kuk

u6 =0 =1

2 2

I valori singolari di una matrice delle risposte armoniche G(jω) sono chiamati guadagni

e in generale dipendono dalla frequenza (o pulsazione ω).

principali

Si ha quindi −1 kG(jω)U

kG 1 (jω)k

(jω)Y (jω)k ≤ ≤

, e σ̄(ω)

kY kU

(jω)k σ(ω) (jω)k

ponendo Y (jω) = G(jω)U (jω) si ottiene

kG(jω)U (jω)k

≤ ≤

σ(ω) σ̄(ω)

kU (jω)k

la quale evidenzia come il guadagno (funzione di ω), o modulo, di un sistema multivari-

abile sia compreso nella fascia individuata dal più piccolo e più grande guadagno principale.

Rispetto al caso SISO si avrà un intervallo di guadagni, per ogni pulsazione, limitato supe-

riormente e inferiormente.

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Guadagno in un sistema MIMO

Come già fatto notare in un esempio, dalla H

G = U ΣV H

definendo con u e v le colonne rispettivamente di U e V e ricordando che V V = I (matrice

i i

unitaria), si ha ⇔

GV = U Σ Gv = σ u i = 1, . . . , k = min(m, `)

i i i

In altri termini il guadagno del sistema è esattamente il guadagno principale σ se l’ingresso

i

è parallelo a v .

i {v }

Per questo motivo l’insieme , v , . . . , v è chiamato insieme delle direzioni principali

1 2 `

dell’ingresso di G. In particolare il guadagno maggiore (o maggiore amplificazione) σ̄ = σ 1

si ottiene nella direzione di v , mentre il guadagno minore (o minore amplificazione) σ = σ

1 k

viene ottenuto se l’ingresso è parallelo a v . Si ricorda che le direzioni principali sono

k

H H

ortogonali tra di loro (v v = δ essendo V V = I).

j ij

i

In modo analogo si può notare che, se l’ingresso è parallelo a v , allora l’uscita è parallela a

i

{u }

u (dalla relazione precedente). L’insieme , u , . . . , u è chiamato insieme delle direzioni

m

1 2

i

principali dell’uscita di G e i vettori u sono ortogonali tra di loro.

i

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Guadagno in un sistema MIMO – Esempio

Si consideri il sistema rappresentato dalla matrice di funzioni di trasferimento G(s).

40

30

(dB) 20

principali  

10 10(s+1) 1

s +0.2s+100 s+1

2

G(s) =

0  

5(s+1)

s+2

Guadagni s +0.1s+10 (s+2)(s+3)

2

−10

−20

−30 −1 0 1 2

10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

Applicando l’ingresso u(1) = u(2) = sin(3.1t) si hanno gli andamenti delle due uscite.

y(1) y(2)

u u

5 5

0 0

−5 −5

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

tempo (s) tempo (s)

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Guadagno in un sistema MIMO – Esempio

I guadagni principali non forniscono indicazioni su quale uscita viene amplificata/attenuata.

30

20

(dB)

principali 10 

 10(s+1) 1

0 s +0.8s+100 s+1

2

G(s) = 

 5(s+1)

s+2

Guadagni −10 s +2.5s+10 (s+2)(s+3)

2

−20

−30 −1 0 1 2

10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

Applicando l’ingresso u(1) = u(2) = sin(ωt) si hanno gli andamenti delle due uscite per

{3,

ω = 6, 8}.

2 2 2

y(1) y(1) y(1)

u u u

1 1 1

0 0 0

−1 −1 −1

−2 −2 −2

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

tempo (s) tempo (s) tempo (s)

2 2 2

y(2) y(2) y(2)

u u u

1 1 1

0 0 0

−1 −1 −1

−2 −2 −2

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

tempo (s) tempo (s) tempo (s)

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Guadagno in un sistema MIMO – Esempio

Si consideri il sistema 2 ingressi/2 uscite caratterizzato dalla realizzazione

−0.21 0.2 0.01 0

A = , B = , C = I , D = 0

2×2 2×2

−0.21

0.2 0 0.01

la cui matrice di funzioni di trasferimento è

0.01 s + 0.21 0.2

G(s) = 0.2 s + 0.21

(s + 0.01)(s + 0.41)

I guadagni principali sono, in funzione della pulsazione ω, riportati in figura.

20

10

(dB) 0

principali −10 → ∞

Si noti che per ω

−20 i guadagni principali tendono

Guadagni −30 a coincidere (σ (ω) = σ (ω))

1 2

−40

−50

−60 −3 −2 −1 0 1

10 10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

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Guadagno in un sistema MIMO – Esempio

Alla pulsazione s = 0, si ha

1 0.21 0.2

G(0) = 0.2 0.21

0.41

che ha come guadagni principali e relative direzioni principali (dell’ingresso e dell’uscita)

! !

1

1

√ √

2 2

e σ (0) = 0.024 (−32.4dB), u = v =

σ (0) = 1, u = v = 2 2 2

1 1 1 1 1

√ √

2 2

T

pertanto il guadagno principale σ = 1 è legato alla direzione [1 1] , mentre σ = 0.024 è

1 2

T

legato alla direzione [1 1] . In altri termini l’ingresso u (t) = 2δ (t)v ha una scarsa

√ −1 2

b

influenza sull’uscita rispetto a u (t) = 2δ (t)v come illustrato in figura.

−1

a 1

1 0.03

0.8

y(1) y(1) 0.02

0.6

−> −>

0.4 0.01

a b

u u

0.2

0 0

0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500

Tempo Tempo

1 0

0.8

y(2) y(2) −0.01

0.6

−> −>

0.4 −0.02

a b

u u

0.2

0 −0.03

0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500

Tempo Tempo

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Guadagno in un sistema MIMO

La decomposizione ai valori singolari fornisce informazioni importanti per i sistemi non

6

quadrati (m = `).

Ad esempio in un sistema con 2 ingressi e 3 uscite, la terza direzione principale dell’uscita

individua la direzione dell’uscita nella quale il sistema non può essere controllato.

Mentre in un sistema con 3 ingressi e 2 uscite, la terza direzione principale dell’ingresso

individua la direzione nella quale l’ingresso non ha nessun effetto.

Esempio Sia la matrice dei guadagni statici

1 2 3

G(0) = 4 5 6

H

con scomposizione G(0) = U ΣV H

 −0.4287 0.8060 0.4082

−0.3863 −0.9224 9.508 0 0 −0.5663 −0.8165

0.1124

G(0) =  

−0.9224 0 0.7729 0

0.3863 −0.7039 −0.5812 0.4082

L’ingresso 

 0.4082

−0.8165

u(t) = δ (t) = v δ (t)

−1 −1

3

 

0.4082

non fornisce nessun contributo a regime in quanto v appartiene al nucleo di G e quindi

3

Gv = 0.

3

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Guadagno in un sistema MIMO

Gli esempi precedenti hanno messo in evidenza come il guadagno di un sistema può variare

considerevolmente con la direzione dell’ingresso. I sistemi con questa caratteristica hanno

una “forte direzionalità” e questa può essere misurata tramite il condition number, funzione

della frequenza, σ̄(G)

cond(G) = σ(G) ∗

In analisi numerica, il condition number viene usato per indicare la difficoltà ad invertire

una matrice. Si ricorda che 1

σ(G) = −1

σ̄(G )

e quindi −1

cond(G) = σ̄(G)σ̄(G )

Un condition number elevato indicata valori singolari elevati sia per G che per la sua inversa.

In generale per un sistema, un elevato condition number può indicare una difficoltà a con-

trollare il sistema. Se per un processo tutti i guadagni principali coincidono, ad esempio

quando P (jω) è unitaria, allora cond(P ) = 1. Se cond(P ) 1, il guadagno della funzione

d’anello K(s)P (s) può essere difficile da plasmare nell’intorno della pulsazione di attraver-

samento. Si noti però che il condition number non è invariante rispetto a scalature. Una

descrizione dello stesso sistema con unità di misura diverse porta a un diverso condition

number.

∗ ⇔

mal-condizionato elevato condition number

Sistema ⇔

Sistema ben-condizionato basso condition number.

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi MIMO; il concetto di guadagno; la norma di matrice indotta; norma spettrale; decomposizione ai valori singolari (SVD); esempio di guadagno in un sistema MIMO.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

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