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Interconnessione in Serie - Esempio 2

u u y u y y −

s 1 2

= = =

1 2

1 2 S −

(s) (s) : F (s) = =1

F F 1 1

2 1 s +1 s +1

1

S

F(s) : F (s) =

2 2 −

s 1

Att. ordine diverso rispetto all’esempio 1 −

(s 1) 1 1

F (s) = F (s)F (s) = F (s)F (s) = = un solo polo

2 1 1 2 −

(s + 1) (s 1) s +1

Stesse realizzazioni dei singoli sotto-sistemi dell’esempio 1

−1 −1

A B C 0 0

1 1 2

−2

C D C 1

A = = , B = = , C = =

1 1 2

0 A 0 1 B 1

2 2

Test di Hautus per λ = 1

2

−2 1 0

− ⇒

A λ I B = 2 = n, λ

rg = rg raggiungibile

2 2

0 0 1

 

−2 1

A λ I

2 ⇒

0 0

rg = 1 < n = 2, λ inosservabile

= rg 2

C −2 1

⇒ l’ordine di interconnessione in caso di cancellazione è importante

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 7

Interconnessione in Serie - Proprietà strutturali

u u y u y y

= = =

1 2

1 2

(s) (s)

F F

1 2 F(s)

Se nell’interconnessione in serie di F (s) = N (s)/D (s) e F (s) = N (s)/D (s) si verificano

1 1 1 2 2 2

cancellazioni che coinvolgono fattori comuni tra N (s) e D (s) (cancellazione nell’ordine

1 2

zero/polo) oppure tra D (s) e N (s) (cancellazione polo/zero) si generano dinamiche

1 2

nascoste. Rispetto allo schema di figura:

• se uno zero di F (s) cancella un polo di F (s) si genera una dinamica non raggiungibile

1 2

caratterizzata dall’autovalore nascosto coincidente con il polo di F (s) cancellato;

2

• se un polo di F (s) cancella uno zero di F (s) si genera una dinamica inosservabile

1 2

caratterizzata dall’autovalore nascosto coincidente con il polo di F (s) cancellato.

1

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 8

Interconnessione in Parallelo

y

u 1 1

S ẋ (t) = A x (t) + B u (t)

1 1 1 1 1

S :

1 1

y

u y (t) = C x (t) + D u (t)

+ 1 1 1 1 1

+ ẋ (t) = A x (t) + B u (t)

S 2 2 2 2 2

S :

2

2

u y y (t) = C x (t) + D u (t)

2 2 2 2 2

2 2 S

relazioni di interconnessione: y = y + y , u = u = u

1 2 1 2

Procedimento analogo

ẋ A x + B u A x + B u

1 1 1 1 1 1 1 1

ẋ = = =

ẋ A x + B u A x + B u

2 2 2 2 2 2 2 2

B

A 0 x

1 1 1 u = Ax + Bu

+

= B

0 A x

2 2 2

x 1

C C + (D + D )u

y = y + y = C x D x + C x + D x = 1 2 1 2

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x 2

= Cx + Du

Sistema interconnesso caratterizzato da

A B

0

1 1

C C

A = , B = , C = , D = D + D

1 2 1 2

0 A B

2 2

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 9

Interconnessione in Parallelo

Dall’espressione della matrice A (diagonale a blocchi) del sistema interconnesso si ha

l’importante relazione [

} }

aut{A} = aut{A aut{A

1 2

In generale si ha S

Il sistema interconnesso in parallelo ha come autovalori

l’unione degli autovalori

S

dei sotto-sistemi che lo compongono

i

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 10

Interconnessione in Parallelo

Funzione di trasferimento

y

u 1 1 y (s)

(s)

F 1

S : F (s) =

1 1 1

y

u u (s)

+ 1

u y + y (s)

2 2 2

(s)

F S : F (s) =

2 2

2 u (s)

2

F(s)

y(s) y (s) + y (s) y (s) y (s) y (s) y (s)

1 2 1 2 1 2

F (s) = = = + = + = F (s) + F (s)

1 2

u(s) u(s) u(s) u(s) u (s) u (s)

1 2 S

La funzione di trasferimento F (s) del sistema interconnesso in parallelo

è data dalla somma delle funzioni di trasferimento F (s)

i

S

dei singoli sotto-sistemi che lo compongono

i

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 11

Interconnessione in Parallelo - Esempio

y

u 1 1

(s)

F −

s 1 2

1 S −

: F (s) = =1

y

u 1 1

+ s +1 s +1

1

u y +

2 2 S : F (s) =

(s)

F 2 2 s +1

2 F(s)

S −1, −2,

: A = B = 1, C = D = 1

1 1 1 1 1

Realizzazioni S −11,

: A = B = 1, C = 1, D = 0

2 2 2 2 2

s 1 1 s 1

F (s) = F (s) + F (s) = un solo polo

+ = =1

1 2 s +1 s +1 s +1 s +1

−1 0 1

−2 1

A = , B = , C = , D = D = 1

1

−1

0 1

−1

Test di Hautus per λ =

0 0 1

− ⇒

A λI B

rg = rg = 1 < n = 2, λ non raggiungibile

0 0 1

 0 0

A λI ⇒

0 0

rg = rg = 1 < n = 2, λ inosservabile

 

C −2 1

Dinamica di ordine 1 (dimensione del sotto-sistema) non raggiungibile e inosservabile carat-

−1

terizzata da un autovalore in

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 12

Interconnessione in Parallelo - Proprietà strutturali

y

u y

u

1 1 1 1

S

(s)

F 1

1 y

u

y

u +

+

u +

y +

2 2 S

(s)

F

2 2

u y

2 2 S

F(s)

Se F (s) e F (s) hanno un polo p in comune, allora, mettendo in evidenza tale polo

1 2 i N (s) N (s)

N (s) N (s)

1 2

1 2

= =

F (s) = , F (s) =

1 2

0 0

− −

D (s) (s p )D D (s) (s p )D

(s) (s)

1 2

i i

1 2

0 0

N (s) N (s)D (s) + N (s)D (s)

N (s) 2 1 2

1 2 1

⇒ + =

F (s) = F (s) + F (s) =

1 2 0 0 0 0

− − −

(s p )D (s) (s p )D (s) (s p )D (s)D (s)

i i i

1 2 1 2 S

con il numero di poli finale minore di uno rispetto alla somma del numero dei poli di e

1

S . In generale si può dimostrare che

2 Se F (s) e F (s) hanno poli in comune allora si genera

1 2

una dinamica contemporaneamente non raggiungibile e inosservabile

o, equivalentemente, S S

Se e hanno autovalori in comune allora si genera

1 2

una dinamica contemporaneamente non raggiungibile e inosservabile

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 13

Interconnessione in Retroazione

y

u y

u ẋ (t) = A x (t) + B u (t)

1 1 1 1 1 1 1

+ S :

S 1 y (t) = C x (t)

1

- 1 1 1

ẋ (t) = A x (t) + B u (t)

y u 2 2 2 2 2

S

2 2 :

2

S y (t) = C x (t)

2 2 2

2 S (caso D = D = 0)

1 2

Retroazione negativa −

relazioni di interconnessione: u = u y , y = y = u

1 2 1 2

Scegliendo

x (t)

1

stato: x(t) = x (t)

2 S

e calcolando ẋ(t), si ottiene la rappresentazione con lo spazio di stato di

− −

A x + B (u y ) A x B C x + B u

ẋ 1 1 1 2 2 1

1 1 1 2

1 = =

ẋ = A x + B y A x + B C x

ẋ 2 2 2 1 1

2 2 2 1

2

−B

A C x B

1 1 2 1 1

= + u = Ax + Bu

B C A x 0

2 1 2 2

x 1

C 0

y = y = C x = = Cx

1

1 1 1 x 2

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 14

Interconnessione in Retroazione

Sistema interconnesso caratterizzato da

−B

A C B

1 1 2 1

C 0

A = , B = , C = , D =0

1

B C A 0

2 1 2

In generale si ha [

6 } }

aut{A} = aut{A aut{A

1 2

e quindi il sistema interconnesso avrà, in generale , autovalori diversi dagli autovalori dei

singoli sotto-sistemi.

∗ Come illustrato di seguito, se vi sono cancellazioni nella funzione d’anello F (s)F (s), la dinamica non

1 2

necessariamente nascosta, corrispondente a tali cancellazioni, rimane inalterata per il sistema ad anello

chiuso.

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 15

Interconnessione in Retroazione

Funzione di trasferimento

y

u y

u 1 1 y (s)

+ 1

(s)

F S : F (s) =

1 1

1

- u (s)

1

y u y (s)

2

2 2 S : F (s) =

(s)

F 2 2 u (s)

2 2

F(s) − −

y(s) = y (s) = F (s)[u(s) y (s)] = F (s)[u(s) F (s)u (s)]

1 1 2 1 2 2

= F (s)[u(s) F (s)y(s)]

1 2

⇒ [1 + F (s)F (s)]y(s) = F (s)u(s)

1 2 1 F (s)

y(s) 1

F (s) = =

u(s) 1 + F (s)F (s)

1 2

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 16

Interconnessione in Retroazione Unitaria

S: sistema ad anello chiuso

y

u u y

1 1 S : sistema ad anello aperto

+ 1

S

1

- ẋ (t) = A x (t) + B u (t)

1 1 1 1 1

S :

1 y (t) = C x (t)

1 1 1

S (caso D = 0)

Retroazione unitaria negativa 1 −

relazioni di interconnessione: u = u y , y = y

1 1 1 S

Lo stato del sistema interconnesso coincide con quello del sistema ad anello aperto .

1

− −

ẋ = ẋ = A x + B (u y ) = A x B C x + B u

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= (A B C )x + B u = Ax + Bu

1 1 1 1

y = y = C x = Cx

1 1 1

Sistema interconnesso caratterizzato da

A = A B C , B = B , C = C

1 1 1 1 1

con, in generale, 6 }

aut{A} = aut{A

1

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 17

Interconnessione in Retroazione Unitaria

Funzione di trasferimento

y

u u y

1 1

+ (s)

F

1

- y (s)

1

S : F (s) =

1 1 u (s)

1

F(s) y(s) F (s)

1

F (s) = =

u(s) 1 + F (s)

1

Caso reazione positiva y

y u

u +

+ (s)

(s) F

F

1 1

-

+ -1

y(s) F (s)

1

F (s) = = −

u(s) 1 F (s)

1

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 18

Interconnessione in Retroazione Unitaria – Esempio 1

y

u u y

1 1

+ (s)

F

1

- F(s)

• S instabile, ad esempio

1 −

F (s) 2/(s 1) 2 2

2 1

⇒ F (s) = = = =

F (s) =

1 − − −

s 1 1 + F (s) 1 + 2/(s 1) s 1+2 s +1

1

S stabile asintoticamente

• S stabile asintoticamente, ad esempio

1 − −

K(s 1) F (s) K(s 1)

1

⇒ F (s) = =

F (s) =

1 2 2 −

(s + 1) 1 + F (s) s + s(2 + K) + 1 K

1

S −2

– è stabile asintoticamente se < K < 1;

S −2;

– è stabile semplicemente se K = 1 o K =

S

– è instabile negli altri casi.

Fondamenti di Automatica – Sistemi Interconnessi 19


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (LATINA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti automatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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