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13-9

13.2. SISTEMI VIBRANTI A 2 GDL

• il campo di forze è conservativo, per cui

∂F

∂F y

x = (13.51)

∂y ∂x

e la matrice [K ] risulta simmetrica;

F

• il campo di forze non è conservativo, per cui

∂F ∂F

x y

6 = (13.52)

∂y ∂x

e la matrice [K ] non risulta simmetrica;

F

In entrambi i casi, tuttavia, i valori di λ sono comunque le radici del polinomio

4 2 −

m m λ + (m k + m k ) λ + (k k k k ) = 0 (13.53)

11 22 11 T 22 22 T 11 T 11 T 22 T 12 T 21

ovvero 4 2

aλ + bλ + c = 0 (13.54)

ovvero

a = m m (13.55)

11 22

b = m k + m k (13.56)

11 T 22 22 T 11

c = k k k k (13.57)

T 11 T 22 T 12 T 21

Le generiche radici sono date dalla relazione

s 2

b c

b

21|2,3|4 − ± −

λ = (13.58)

2a 2a a

ove a > 0 dal momento che la matrice di massa è definita positiva.

Campo di forze conservativo

Si possono presentare due casi:

• la matrice [K ] è definita positiva, ovvero

T −

p = 1; p = k > 0; p = k k k k > 0 (13.59)

0 1 T 11 2 T 11 T 22 T 12 T 21

con b > 0 e c > 0. Le radici del polinomio caratteristico (13.58) risultano

21|2,3|4

λ < 0 (13.60)

essendo nella (13.58)

c > 0 (13.61)

a

per cui i quattro autovalori sono tutti immaginari, come illustrato in figura 13.7(a), e il moto libero

risultante è semplicemente stabile; è realistico pensare che si annulli per effetto dell’inevitabile

smorzamento strutturale.

• la matrice [K ] non è definita positiva, ovvero o

T

p = k < 0 (13.62)

1 T 11

13-10 CAPITOLO 13. SISTEMI IMMERSI IN CAMPI DI FORZA

(a) Stabile per ac > 0. (b) Instabile per ac < 0.

Figura 13.7: Autovalori di un sistema conservativo.

oppure −

p = k k k k < 0 (13.63)

2 T 11 T 22 T 12 T 21

oppure entrambe le condizioni sono verificate. Nell’ipotesi che p < 0 avremo che nella (13.58)

2

a < 0 (13.64)

c

e quindi

21|2

λ > 0 (13.65)

23|4

λ < 0 (13.66)

La prima radice porta a due valori di λ reali ed opposti, come illustrato in figura 13.7(b), che

danno luogo per la soluzione positiva a un fenomeno di instabilità statica (divergenza) essendo la

soluzione del tipo

λt

{z (t)} = Z e (13.67)

Campo di forze non conservativo

Accade che ∂F

∂F y

x 6 = (13.68)

∂y ∂x

e la matrice [K ] risulta non simmetrica.

T

Ricordando che le radici del polinomio caratteristico sono date dalla (13.58), ovvero

1

21|2,3|4 −b ±

λ = ∆ (13.69)

2a

con 2

b c

− (13.70)

∆= 2a a

se risulta che

∆ < 0 (13.71)

13-11

13.2. SISTEMI VIBRANTI A 2 GDL

(a) Instabile per ∆ < 0. (b) Instabile per matrice [R ] non

T

definita.

Figura 13.8: Autovalori di un sistema non conservativo.

si ottiene −1

∓i tan (|∆|/b) ∓iα

1 e e

p p p

21|2,3|4 2 2

|∆| |∆| |∆|

−b ±

λ = i = b + = b + (13.72)

2a 2a 2a

e quindi s s ! !!

1 1 α

α

p p

iα/2

2 2

± ±

|∆|e ± |∆|

λ = b b + i sin = (ψ + iψ ) (13.73)

+ = + cos 1 2

1|2 2a 2a 2 2

s s ! !!

1 1 α

α

p p

−iα/2

2 2

± − ± −

|∆|e ± |∆|

λ = b b i sin = (ψ iψ )

+ = + cos 1 2

3|4 2a 2a 2 2 (13.74)

Le radici sono illustrate in figura 13.8(a). Ricordando la soluzione generale (13.67), sappiamo che, come

più volte mostrato, ciascuna coppia di radici coniugate, quando vengono imposte le condizioni iniziali,

fornisce una soluzione puramente reale

(ψ +iψ )t −(ψ +iψ )t (ψ −iψ )t −(ψ −iψ )t

{z (t)} = Z e +conj Z e + Z e +conj Z e (13.75)

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

delle quali quella con parte reale positiva è esponenzalmente espansiva (instabile), mentre l’altra è espo-

nenzialmente contrattiva (asintoticamente stabile). Ovvero il moto libero risultante è ellittico e instabile

con pulsazione ψ . Il fenomeno, in aeroelasticità, prende il nome di flutter.

2

Se invece

∆ > 0 (13.76)

e c< 0 (13.77)

si avrà b < ∆ e quindi, essendo

1

21|2,3|4 −b ±

λ = ∆ (13.78)

2a

avremo due soluzione reali opposte e due immaginarie coniugate, con quella reale positiva che porta

alla divergenza, in analogia con quanto illustrato in figura 13.7(b) per la possibile instabilità dei sistemi

conservativi.

13-12 CAPITOLO 13. SISTEMI IMMERSI IN CAMPI DI FORZA

Figura 13.9: Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano.

Gli altri casi portano a soluzioni armoniche stabili, differenti solo nei valori delle frequenze proprie

da quello già trattato nel caso di campo di forze conservativo.

Banale è poi il caso in cui la matrice [R ] sia definita negativa, o non definita, come illustrato

T

in figura 13.8(b). Il sistema sarà soggetto a fenomeni di instabilità dinamica, con ampiezze crescenti

esponenzialmente nel tempo.

13.2.2 Instabilità aeroelastica della “sezione tipica”

La dinamica di un corpo aerodinamico deformabile immerso in un fluido rappresenta un problema di

notevole complessità. Tuttavia, l’essenza dei fenomeni che lo coinvolgono può essere descritta efficace-

mente da un modello piuttosto semplice e tuttavia rappresentativo di sistemi di particolare importanza

in aeronautica e in meccanica in genere, detto “sezione tipica”. Questo modello, descritto in figura 13.9,

è costituito da un profilo alare che si muove nel suo piano; di esso si considerano solo i gradi di libertà di

traslazione in direzione perpendicolare alla corrente asintotica e di rotazione attorno all’asse di beccheg-

gio. In prima approssimazione, può essere ritenuto rappresentativo di un’ala ad elevato allungamento

senza freccia, o della sezione di un ponte sospeso, o di una superficie aerodinamica di automobile da

corsa. 4

Le equazioni semplificate che descrivono la dinamica del sistema di figura 13.9 sono:

mẍ + r ẋ + k x = L cos ψ + D sin ψ (13.79)

x x

2 2

J θ̈ + r l θ̇ + k l θ = M (13.80)

x x

dove ψ è l’angolo tra la velocità relativa V della vena e la direzione della corrente indisturbata V ,

r ∞

supposta costante.

Si noti che, nel puro moto rotatorio, ogni punto della superficie del profilo possiede una velocità di

trascinamento diversa, quindi la velocità relativa V varia da punto a punto del profilo. Non sarebbe

r

5

quindi lecito utilizzare l’approssimazione stazionaria delle forze aerodinamiche, dal momento che que-

4 Le equazioni qui riportate si basano sull’assunto che il punto nel piano della sezione a cui si riferiscono le coordinate

libere sia simultaneamente il baricentro ed il centro di taglio della sezione tipica. Di conseguenza, le matrici di massa

e di rigidezza sono diagonali, cosa abbastanza rara e, d’altra parte, non sempre desiderabile nelle normali costruzioni

aeronautiche.

5 Con il termine approssimazione stazionaria si intende che di un modello dinamico si considera solo la parte statica,

ovvero si assume che il sistema risponda istantaneamente ad un ingresso con la sola risposta statica. Per fare un esempio

meccanico, è come se, di un sistema ad un grado di libertà, retto dall’equazione

mẍ + rẋ + kx = f (13.81)

a condizione che sia asintoticamente stabile, si considerasse solo la parte

kx f (13.82)

=

Questa approssimazione è sicuramente drastica in assoluto, ma può essere ritenuta ragionevole, ad esempio, se il sistema

p k/m.

viene forzato da una forzante armonica di frequenza ω 13-13

13.2. SISTEMI VIBRANTI A 2 GDL

sta presuppone l’esistenza di un angolo di incidenza definito per tutto il profilo; senonché, è possibile

dimostrare che riferendosi alla velocità di trascinamento di un punto P del profilo alare, in genere vicino

1

6

al bordo d’attacco , posto a una certa distanza b dall’asse di rotazione, è possibile utilizzare ancora

1

l’approssimazione stazionaria.

In pratica, per il calcolo delle forze aerodinamiche, si utilizza l’angolo di incidenza instazionario

calcolato con la velocità relativa di P .

1

Le forze aerodinamiche, al pari delle forze meccaniche ed in totale analogia con i sistemi elettro- ed idromeccanici studiati

nei paragrafi precedenti, sono descrivibili sotto forma di sistemi dinamici, che, ad esempio, per un profilo alare consentono di

descrivere i coefficienti di forza e momento in funzione della storia temporale dell’angolo di incidenza. In altre parole, sono

descritte dall’uscita di un sistema dinamico il cui ingresso è l’angolo di incidenza. Per molte applicazioni pratiche, ogni volta

che la dinamica dell’aerodinamica è caratterizzata da costanti di tempo molto più piccole di quelle degli ingressi, nel nostro

caso legati al movimento della struttura e quindi, in prima battuta, alle frequenze proprie del sistema meccanico, il sistema

dinamico che descrive le forze aerodinamiche può essere approssimato nella forma stazionaria, ovvero considerandone solo

la parte statica.

La stima delle costanti di tempo delle forze aerodinamiche si basa sul concetto di frequenza ridotta; ovvero, nell’ipotesi

che la rilevanza della dinamica dell’aerodinamica che interessa il corpo sia legata al tempo in cui una particella di fluido

interagisce con il corpo stesso, ovvero alla lunghezza caratteristica del corpo nella direzione del flusso (la corda c per un

profilo alare, o meglio la semicorda secondo una certa letteratura) divisa per la velocità di riferimento del flusso (V ),

si definisce la frequenza ridotta come il numero adimensionale che esprime il rapporto tra la pulsazione del movimento e

questa misura caratteristica della velocità dell’aerodinamica:

ωc

frequenza ridotta = k = (13.83)

2V ∞

L’approssimazione stazionaria è comunemente accettata per frequenze ridotte inferiori a 0.01, ma c’è chi fa salire questo

numero fino a 0.1 ed oltre.

6 Alcuni autori, utilizzando la teoria dei profili sottili applicata ad una lamina piana in moto oscillatorio armonico, fanno

cadere questo punto a 3/4 della corda, quindi in posizione opposta al centro aerodinamico che, per la medesima teoria, cade

ad 1/4 della corda. Tuttavia, i risultati ottenuti in questo modo sono a volte in contrasto con l’evidenza sperimentale. La

motivazione sostanziale è legata al fatto che l’approssimazione stazionaria delle forze e del momento aerodinamico non è in

grado di descriverne la dipendenza dalla sola velocità di rotazione del profilo, perché non contiene l’informazione associata

a questo ingresso; sono necessarie approssimazioni di ordine superiore, ad esempio l’approssimazione quasi-stazionaria.

Quest’ultima parte dalla definizione dei coefficienti aerodinamici come risposta di un sistema dinamico

C (s) = H (s) α (s) (13.84)

A

Se la soluzione di interesse è caratterizzata da una bassa frequenza ridotta, è ragionevole supporre che uno sviluppo in serie

attorno alla frequenza nulla possa descriverne, in prima battuta, la dinamica. Quindi

2

∂H 1 ∂ H

∼ 2

H (s) H (0) + s + s (13.85)

= 2

∂s 2 ∂s

s=0 s=0

Si verifica che la parte reale della funzione complessa H (s) è simmetrica rispetto all’asse immaginario, mentre la parte

immaginaria è antisimmetrica; quindi, se la funzione è regolare nell’intorno di 0, la si può valutare in 0 assieme alle sue

derivate rispetto a s, ottenendo numeri reali. Ma quando si moltiplica la (13.85) per α (s), si ha che sα (s) nel dominio

2

del tempo corrisponde a α̇ (t), mentre s α (s) nel dominio del tempo corrisponde a α̈ (t); quindi, dal momento che la

funzione di trasferimento H e le sue derivate sono costanti in quanto valutate a frequenza nulla, l’approssimazione della

relazione (13.84) ottenuta mediante la (13.85) può essere rappresentata nel dominio del tempo mediante come

2

∂H 1 ∂ H

C (t) H (0) α (t) + α̇ (t) + α̈ (t) (13.86)

=

A 2

∂s 2 ∂s

s=0 s=0

Se ci si ferma al termine di ordine 0 si ottiene l’approssimazione stazionaria; le approssimazioni ottenute considerando

termini di ordine superiore vanno sotto il nome generale di approssimazione quasi-stazionaria.

L’errore che si ottiene considerando anche l’effetto dell’incidenza associata a θ̇ nell’approssimazione stazionaria è

essenzialmente dovuto al fatto che si sta scrivendo qualcosa del tipo

b 1

C (t) H (0) α (t) + θ̇ (t) (13.87)

=

A V ∞

che, come si può notare, è ben diverso dalla (13.86) arrestata al primo ordine: innanzitutto θ̇ è solo una porzione di α̇,

inoltre manca completamente l’informazione su ∂H/∂s. Ciò nonostante, l’uso della (13.87) per frequenze ridotte molto

piccole da una parte è ritenuto accettabile, dall’altra è desiderabile perché consente di introdurre smorzamento di natura

aerodinamica anche sulla coordinata libera di rotazione, pur conoscendo soltanto i coefficienti aerodinamici stazionari.

13-14 CAPITOLO 13. SISTEMI IMMERSI IN CAMPI DI FORZA

Figura 13.10: Composizione delle velocità del vento V e del corpo ẋ a dare l’angolo di incidenza

cinematico ψ.

Varrà quindi

V = ẋ + b θ̇ (13.88)

t 1

r 2

2 (13.89)

V = V + ẋ + b θ̇

r 1

∞ !

ẋ + b θ̇

1

−1

ψ = tan (13.90)

V ∞

Se si considerano piccole perturbazioni di x e θ attorno all’equilibrio, valgono le consuete approssimazioni

ẋ + b θ̇

ẋ + b θ̇ 1

1 ∼ −

− (13.91)

sin ψ = =

V V

r ∞

V ∞ ∼

=1 (13.92)

cos ψ = V r

L’angolo di incidenza che si utilizza per il calcolo dei coefficienti aerodinamici secondo l’approssimazione

stazionaria è quindi, ad ogni istante di tempo, dato dalla somma dell’angolo di incidenza cinematica

ψ, ottenuto considerando l’angolo formato dalla velocità relativa, per composizione della velocità di

traslazione del corpo e della velocità del vento, con una direzione di riferimento sul corpo, e dell’angolo

di incidenza geometrica θ, legato alla rotazione della linea di riferimento rispetto al vento asintotico,

ovvero ẋ + b θ̇

1

∼ −

α = ψ + θ + θ (13.93)

= V ∞

per cui il sistema di equazioni differenziali che descrive il moto della sezione tipica diventa

1

ẍ ẋ C (α) cos ψ + C (α) sin ψ

m 0 r 0 k 0 x L D

x x 2

ρV S

+ + =

2 2 r cC (α)

0 J 0 r l 0 k l θ

θ̈ θ̇ 2 M

x x (13.94)

Dopo aver linearizzato attorno alla posizione di equilibrio, che per semplicità si assume essere α = 0,

e considerando un profilo simmetrico quale il NACA0009 di figura 13.11, per il quale i coefficienti di

portanza e di momento rispetto al centro aerodinamico sono nulli per α = 0, mentre il coefficiente di

resistenza presenta un minimo, si ottiene:

=0 ẋ + b θ̇

dC

z }| { 1

L

∼ −

α C (0)

C (α) cos ψ + C (α) sin ψ C (0) + (13.95)

= D

L D L dα V ∞

α=0

dC M

∼ + α (13.96)

C (α) C (0)

=

M M dα

{z }

| α=0

=0 13-15

13.2. SISTEMI VIBRANTI A 2 GDL

Figura 13.11: Curve C -α, C -α e C -α del profilo NACA 0009.

L D M

13-16 CAPITOLO 13. SISTEMI IMMERSI IN CAMPI DI FORZA

Sostituendo ad α la sua espressione (13.93) in funzione delle coordinate libere, e riordinando i termini

delle equazioni, le forze di campo linearizzate possono essere scritte, in forma matriciale, come

 

1 b

1

C + C (0) C + C (0)

1 D D

L/α L/α ẋ

F  

V V

2 ∞ ∞

− ρV S

=  

∞ cb

c

M θ̇

2  

1

C C

M/α M/α

V V

∞ ∞

1 −C x

0 L/α

2

− (13.97)

ρV S

∞ −cC θ

0

2 M/α ≡

dove per praticità si è usata la notazione C dC/dα, per cui

 

1 1

r + C + C (0)

ρV S C + C (0) ρV Sb

x ∞ D ∞ 1 D

L/α L/α

2 2

 

[R ] = (13.98)

T  

1 1

2

ρV ScC r l + ρV Sb cC

∞ x ∞ 1

M/α M/α

2 2

 

1 2

k ρV SC

x L/α

2

 

[K ] = (13.99)

T  

1 2

2 − ρV ScC

0 k l

x M/α

2

Instabilità legate allo smorzamento aerodinamico

Dall’analisi delle matrici (13.98, 13.99) si deduce la possibilità di avere instabilità dinamica per il grado

di libertà flessionale se

1

ρV S C + C (0) < 0, (13.100)

r + ∞ D

x L/α

2

mentre il profilo sarebbe instabile per quanto concerne il grado di libertà torsionale se

1

2

r l + ρV Sb cC < 0. (13.101)

x ∞ 1 M/α

2

Se nessuna delle condizioni (13.100, 13.101) è verificata, la matrice [R ] risulta definita positiva.

T

Come è noto, per i profili alari normalmente usati si ha C > 0 per piccoli angoli di incidenza,

L/α

lontano dall’incidenza di stallo. Sempre nell’ipotesi di angoli di incidenza lontani da quello di stallo, il

coefficiente di momento, quando è riferito al centro aerodinamico del profilo, ovvero C = C , per

M M CA ≡

definizione non dipende dall’angolo di incidenza; quindi, per piccoli angoli di incidenza C 0.

M CA/α

Se viceversa il punto al quale sono riferite le coordinate libere si trova in posizione arretrata rispetto

al centro aerodinamico, detta e la distanza tra tale punto ed il centro aerodinamico, il coefficiente di

momento C nel generico punto di riferimento si ricava dalla relazione

M

1 1 1

2 2 2

ρV ScC (α) = ρV ScC + ρV SeC (α) (13.102)

M M CA L

2 2 2

e quindi, dato che ci occorre solo la sua derivata rispetto all’angolo di incidenza,

e

C = C (13.103)

M/α L/α

c

Ne consegue che un’instabilità associata ad un eventuale smorzamento aerodinamico negativo è impro-

babile, ma il fenomeno potrebbe avvenire per profili con elevata sezione frontale (ad esempio, travi a

semplice o doppio T, ecc.).

Flutter

Tuttavia, analizzando la matrice [K ], dove si è fatto uso della (13.103), il termine

T 1

1 2 2 2

2 −

− ρV ScC = k l ρV SeC (13.104)

k = k l x

T 22 x M/α L/α

∞ ∞

2 2


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: sistemi immersi in campi di forza; freno a disco; campo di forze aerodinamico; sistemi vibranti a due gradi di libertà; instabilità aeroelastica della sezione tipica.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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