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Sistemi di equazioni lineari

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Caratteristica di una matrice; matrici orlate: teorema di Kronecker; condizione di equivalenza tra caratteristica e rango di una matrice. Equazioni lineari in più incognite e interpretazione geometrica; sistemi di equazioni lineari: matrice dei coefficienti,... Vedi di più

Esame di Matematica Generale docente Prof. M. Castellani

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Lezione 31

Equazioni lineari

Definizione

Si chiama equazione lineare nelle variabili x x un’equazione del

, . . . n

1

tipo a x a x a x b

+ + . . . + =

n n

1 1 2 2

dove a a a b Il numero b si dice termine noto mentre il

, , . . . , R.

n

1 2

a

vettore a a si dice vettore dei coefficienti.

= (a , , . . . , )

n

1 2

Si tratta di un’equazione di primo grado nelle variabili x x x che

, , . . . , n

1 2

può essere scritta in forma compatta

ha, xi b.

=

Problema: trovare l’insieme delle soluzioni. Se esso è infinito, darne

una caratterizzazione. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 31 12 / 24

Lezione 31

Equazioni lineari

Interpretazione grafica dell’insieme delle soluzioni

Nel caso di due variabili, le soluzioni di una equazione lineare è

una retta nel piano a x a x b.

+ =

1 1 2 2

Nel caso di tre variabili, le soluzioni di una equazione lineare è un

piano nello spazio tridimensionale

a x a x a x b.

+ + =

1 1 2 2 3 3

Nel caso di n variabili con n 3 l’insieme delle soluzioni prende il

>

nome di iperpiano. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 31 13 / 24

Lezione 31

Equazioni lineari a

Il vettore dei coefficienti fornisce alcune informazioni sull’iperpiano:

ha, xi

è perpendicolare all’iperpiano b,

= ha,

a xi

il verso di indica la zona di spazio per cui b.

>

6

H HH

ha, ha,

xi xi

b b

= >

H HH

H HH H HH

a H

HH H

-

HH H HH H

ha, xi b

< HH H dsm

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Lezione 31

Sistemi lineari

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un sistema di m

equazioni lineari

 a x a x a x b

+ + . . . + =

n

11 1 12 2 1n 1

 a x a x a x b

+ + . . . + =

 n

21 1 22 2 2n 2

 .. .. .. ..

.. .

. . . .

 a x a x a x b

+ + . . . + =

 mn n m

m1 1 m2 2

Ad ogni sistema lineare possiamo associare tre matrici

∈ M(m,

A n) detta matrice dei coefficienti,

∈ M(m,

b 1) detto vettore dei termini noti,

∈ M(m,

B n 1) detta matrice completa.

+ dsm

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Lezione 31

Sistemi lineari A b

La matrice dei coefficienti ed il vettore dei termini noti sono

 

a a a b

. . .

11 12 1n 1

a a a b

. . .

21 22 2n 2 

 

A b

e

= = 

 

. .

.. ..

.

. ..

. 

 .

. . . 

 

 b

a a a

. . . m

mn

m1 m2

mentre la matrice completa

 

a a a b

...

11 12 1n 1

a a a b

... 2

21 22 2n

 

B = (A|b) =  

.. .. .. ..

..

 

. .

. . .

 

a a a b

. . . mn m

m1 m2

Con la notazione matriciale il sistema lineare può essere riscritto

Ax b.

= dsm

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Lezione 31

Sistemi lineari

Ovviamente possiamo interpretare l’insieme delle soluzioni di un

sistema lineare come i punti di intersezione di m iperpiani, tuttavia è

per noi maggiormente utile vedere un sistema lineare come CL di

vettori colonna.

Esempio. Il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite

 −

2x x 2x 1

+ =

1 2 3

 3x x x 2

+ + =

1 2 3

−x − 2x x 0

+ =

 1 2 3

può esser visto come l’individuazione dell’insieme dei punti di

3

intersezione dei tre piani (tanti quante sono le equazioni) in (la

R

dimensione coincide con il numero di incognite):

− −x −

2x x 2x 1, 3x x x 2, 2x x 0.

+ = + + = + =

1 2 3 1 2 3 1 2 3 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 31 17 / 24

Lezione 31

Sistemi lineari

Se consideriamo la matrice completa associata

 

−1

2 2 1

B 3 1 1 2

=  

−1 −2 1 0

risolvere il sistema lineare equivale a chiedersi se il vettore dei termini

1 2 3

b A A A A

noti è CL delle tre colonne , e di cioè se esistono

x x x tale che

, , R

1 2 3        

−1

1 2 2

2 3 1 1

x x x

= + +

1 2 3

       

−1 −2

0 1 dsm

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Lezione 31

Sistemi lineari

Le domande che ci porremo su un sistema lineare saranno le

seguenti: b

(a) ammette soluzioni? Cioè il vettore dei termini noti CL delle

1 2 n

A A A

colonne ?

, , . . . , b

(b) In caso affermativo quante soluzioni ha? Cioè il vettore in

quante maniere diverse lo posso scrivere come CL delle colonne

1 2 n

A A A ?

, , . . . ,

(c) E sempre in caso affermativo quali sono le soluzioni?

Ci concentreremo soprattutto sui primi due punti in quanto per il terzo,

ai tempi d’oggi, ci pensa il computer a calcolarle! dsm

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Lezione 31

Sistemi lineari: Teorema di Rouchè–Capelli

Teorema (di Rouchè–Capelli)

∈ M(m,

Ax b A

Il sistema lineare con n) ammette soluzione se e

=

solo se carA carB.

= n−p

In tal caso, posto p carA le soluzioni sono , cioè le soluzioni

=

dipendono da n p parametri. Nel caso particolare in cui p n la

=

soluzione è unica.

Quindi il sistema

è impossibile se carA carB,

<

ha una sola soluzione se carA carB n cioè corrisponde con il

= =

numero delle incognite,

ha infinite soluzioni se carA carB n cioè è inferiore al numero

= <

delle incognite. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 31 20 / 24

Lezione 31

Sistemi lineari: Teorema di Rouchè–Capelli −

Il fatto che le soluzioni dipendano da n carA parametri significa che

possiamo esplicitare esattamente carA variabili in funzione delle

rimanenti n carA. Queste ultime assumono il ruolo di parametro in

quanto libere di variare in indipendentemente dalle altre.

R

Esempio

Studiare la risolubilità del sistema lineare

2x x 3x 7

+ =

1 2 3

x 2x x 6

+ =

1 2 3

La matrice completa dei coefficienti e quella completa sono

−1 −1

2 3 2 3 7

A B

e

= = .

−1 −1

1 2 1 2 6 dsm

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Caratteristica di una matrice; matrici orlate: teorema di Kronecker; condizione di equivalenza tra caratteristica e rango di una matrice. Equazioni lineari in più incognite e interpretazione geometrica; sistemi di equazioni lineari: matrice dei coefficienti, vettore delle incognite, vettore dei termini noti, matrice completa del sistema; teorema di Rouché-Capelli.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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