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Modulo IV – Algebra delle matrici

1.6 Sistemi di equazioni

Equazioni omogenee

Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari in incognite

m n

+ + + =

 a x a x ... a x 0

11 1 12 2 1 n n

 + + + =

 a x a x ... a x 0 (1.6.1)

 21 1 22 2 2 n n

...

 + + + =

 a x a x ... a x 0

m 1 1 m 2 2 mn n

Le equazioni (1.6.1) sono omogenee perché in esse non compare un termine noto.

m

Le (1.6.1) possono essere scritte in notazione matriciale come segue (1.6.2)

Ax = 0

dove è la matrice dei coefficienti

A m×n

 

L

a a a

11 12 1 n

 

L

a a a [ ]

  (1.6.3)

= =

21 22 2 n L

A a a a

  1 2 n

M M M

 

 

a a a

m 1 m 2 mn

mentre è il vettore delle incognite e un vettore di zeri, oppure anche nel

x n 0 m

modo seguente (1.6.4)

+ + + =

a x a x ... a x 0

1 1 2 2 n n

Supponiamo che la matrice dei coefficienti abbia rango . In tal caso possiamo

r

partizionare il sistema di equazioni utilizzando la (1.5.4) come segue

   

A A x =

11 12 1

    0 (1.6.5)

 A A x

21 22 2

dove il vettore contiene le prime incognite e il vettore le ultime .

x r x n-r

1 2

Per risolvere il sistema eliminiamo le ultime righe, mantenendo solo le

m-r r

equazioni linearmente indipendenti nelle quali figurano incognite.

n > r

+ = (1.6.6)

A x A x 0

11 1 12 2 ×

r 1

Dato che la matrice è non singolare possiamo invertirla ottenendo

A

11 = − − (1.6.7)

1

x A A x

1 11 12 2

Usando la (1.6.7) la soluzione generale del sistema (1.6.2) può essere scritta nel

modo seguente 1-18


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta i sistemi di equazioni, come sviluppati nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: Equazioni omogenee, Equazioni non omogenee, sistema di m equazioni lineari in n incognite, termine noto, regole del prodotto di matrici partizionate.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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