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5-7

5.3. LINEARIZZAZIONE DELL’EQUAZIONE DI MOTO

Figura 5.1: Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo.

5.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero

Si consideri il sistema non vincolato illustrato in Figura 5.1, posto nel vuoto in assenza di gravità,

costituito da due masse di uguale valore m collegate da una molla di rigidezza k. Alla prima massa sia

applicata una forza esterna F diretta come la congiungente le due masse e costante in modulo, direzione

e verso.

La determinazione della soluzione di equilibrio statico ne richiede innanzitutto la definizione. La

presenza della molla, in quanto portatrice di forze dipendenti dalla posizione, fa sı̀ che si debba cercare

una soluzione statica in cui lo spostamento si mantiene costante; siccome però il sistema non è vincolato

a terra, la presenza di un sistema di forze esterne a risultante non nullo fa sı̀ che non sia possibile una

soluzione per cui si annullano le accelerazioni delle masse. Occorre quindi un’attenta analisi del problema

per definire che cosa sia possibile intendere per sua soluzione di equilibrio statico.

Il problema ha due gradi di libertà; si considerino le posizioni assolute delle due masse, x e x ;

1 2

l’equazione di equilibrio dell’intero sistema è

− −

F mẍ mẍ = 0 (5.39)

1 2

ma, dal momento che le forze d’inerzia del sistema sono riducibili ad una forza data dalla massa totale

per l’accelerazione del baricentro, definit come

P m x x + x

i i 1 2

x = (5.40)

=

P

CG 2

m i

si ha −

F 2mẍ = 0 (5.41)

CG

da cui si ricava l’accelerazione del baricentro

F

ẍ = (5.42)

CG 2m

che non può essere nulla perché solo le forze d’inerzia ne possono ristabilire l’equilibrio.

Dall’equazione di equilibrio alla traslazione della massa 2, a cui non è applicata la forza, si ricava

−k − −

(x x ) mẍ = 0 (5.43)

2 1 2

Si esprima lo spostamento delle masse come spostamento relativo rispetto al punto coincidente con il

baricentro a molla indeformata:

0

x = x + x (5.44)

1 CG 1

0

x = x + x (5.45)

2 CG 2

5-8 CAPITOLO 5. DINAMICA MEDIANTE LE EQUAZIONI DI LAGRANGE

da cui si ricava l’allungamento della molla

0 0

− −

∆x = x x = x x (5.46)

2 1 2 1

e, dalla definizione di baricentro,

0 0

−x

x = (5.47)

2 1

e quindi 1

0 ∆x (5.48)

x =

1 2 1

0 −

x = ∆x (5.49)

2 2

L’equazione (5.43) diventa

0

−k∆x − m (ẍ + ẍ ) = 0 (5.50)

CG 2

Si consideri, come soluzione di equilibrio statico, quella per cui gli spostamenti relativi sono costanti, e

quindi le accelerazioni relative si annullano; l’equazione (5.50) diventa quindi

−k∆x − mẍ = 0 (5.51)

CG

da cui è immediato ricavare l’allungamento della molla

F

1

− (5.52)

∆x = 2 k

Se l’utilizzo degli spostamenti assoluti delle due masse non consente un’immediata definizione di soluzione

di equilibrio di riferimento per un problema di questo tipo, un semplice cambio di variabile che porti

a considerare la posizione assoluta x del baricentro del sistema e l’allungamento ∆x della molla fa

CG

sı̀ che la soluzione di equilibrio di riferimento per la prima sia una condizione di moto uniformemente

accelerato, la (5.42), mentre per la seconda sia una soluzione di equilibrio statico, la (5.52).

5.3.2 Procedure per la linearizzazione

Se la posizione di equilibrio statico esiste, sono possibili due approcci:

• linearizzare nell’intorno di tale posizione la (5.35) in funzione della variabile q e delle sue derivate;

• ricondurre, tramite sviluppo in serie di Taylor nell’intorno di q , arrestato ai termini di second’or-

0

dine, l’energia cinetica T e la funzione di dissipazione D a forme quadratiche nella variabile q̇, e

l’energia potenziale V a un’analoga forma quadratica in q. In questo secondo caso, della (5.35)

sarà comunque necessario linearizzare la Q (q, q̇, t) rispetto alla variabile q e alla sua derivata q̇.

5.3.3 Linearizzazione diretta dell’equazione del moto

La linearizzazione diretta dell’equazione di moto consiste nello sviluppare in serie di Taylor l’equazione

stessa rispetto alla coordinata libera q e alle sue derivate, arrestando lo sviluppo ai termini del primo

ordine. Ricordando la (5.28), si nota subito che la linearizzazione delle forze d’inerzia nell’intorno di una

soluzione di equilibrio statico, per cui

q = q 0

q̇ = 0 (5.53)

q̈ = 0 5-9

5.3. LINEARIZZAZIONE DELL’EQUAZIONE DI MOTO

si riduce alla valutazione della funzione a (q) e della sua derivata prima rispetto a q nella soluzione q ,

0

in quanto lo sviluppo in serie delle forze d’inerzia è dato da

da (q)

∂T ∂T 1

d ∼ 2

− a (q ) q̈ + q̇

= 0 0 0

dt ∂ q̇ ∂q 2 dq q 0

da (q) −

− q̈ (q q )

+ a (q ) (q̈ q̈ ) + 0 0

0 0 dq q 0 2

1

da (q) d a (q) 2 −

− q̇ (q q ) (5.54)

q̇ (

q̇ q̇ ) +

+ 0

0 0 0

2

dq 2 dq q

q 0

0

ma, sostituendo i valori di riferimento dati dalle (5.53), si ottiene

∂T

d ∂T 1 da (q)

∼ 2

− · ·

(q ) 0 + 0

= 0

dt ∂ q̇ ∂q 2 dq q 0

da (q) · · −

− 0 (q q )

+ a (q ) (q̈ 0) + 0

0 dq q 0 2

d a (q)

1

da (q) 2

· · − · · −

0 ( q̇ 0) +

+ 0 (q q )

0

2

dq 2 dq

q q

0 0

= a (q ) q̈ (5.55)

0

In modo analogo si procede per le forze conservative e dissipative, e per le rimanenti azioni attive

2

df

df d f

V

V V

∼ −

(q q ) (5.56)

+

= 0

2

dq dq dq q

q 0

0

r (q) q̇ r (q ) q̇ (5.57)

= 0 ∂Q

∂Q

∼ −

(q q ) + q̇ (5.58)

Q (q, q̇, ..., t) Q (q , 0, t) +

= 0

0 ∂q ∂ q̇

q ,0 q ,0

0 0

Per quanto riguarda la Q, a partire dalla (5.34) si ricava:

∂Q (q, q̇) ∂Q (q, q̇)

∼ − −

Q (q, q̇, t) Q (q , 0, t) + (q q ) + (

q̇ q̇ )

= 0 0 0

∂q ∂ q̇

q ,0 q ,0

0 0

n f ∂~y

X f

~ ×

F (q , 0, t)

= f 0 ∂q q

f =1 0

 

n n

~

f f 2

∂ F (q, q̇) ∂~y ∂ ~y

X X

f f f

~

× −

×

+ + (q q )

F (q , 0)

  0

f 0 2

∂q ∂q ∂q

q q

f =1 f =1

0 0

q ,0

0

n ~

f ∂ F (q, q̇) ∂~y

X f f

× q̇ (5.59)

+ ∂ q̇ ∂q q

f =1 0

q ,0

0

Occorre ipotizzare che la dipendenza esplicita dal tempo, se presente, sia confinata nel termine Q (q , 0, t),

0

esprimibile come

Q (q , 0, t) = Q̂ (q , 0) + Q̃ (q , 0, t) (5.60)

0 0 0

ovvero costituito da una parte costante e da una dipendente dal tempo, quest’ultima tale da portare

ad un moto di ampiezza limitata nell’intorno della soluzione di equilibrio statico; il valore costante di

riferimento Q̂ (q , 0) è quello che in realtà occorre usare nella (5.37) per il calcolo della soluzione di

0

equilibrio statico q .

0

5-10 CAPITOLO 5. DINAMICA MEDIANTE LE EQUAZIONI DI LAGRANGE

Ne risulta, considerando anche la (5.37), l’equazione linearizzata del moto

! !

2 ∂Q (q, q̇)

d f

∂Q (q, q̇) V − −

− q̇ + (q q ) = Q̃ (q , 0, t) (5.61)

a (q ) q̈ + r (q ) 0 0

0 0 2

∂ q̇ dq ∂q

q

q ,0 q ,0

0

0 0

La (5.61) è un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, di cui è possibile l’integrazione

analitica. q come

Può convenire la definizione di una nuova coordinata libera

q = q q 0

d −

(q q ) = q̇ (5.62)

q̇ = 0

dt

2

d −

q̈ = (q q ) = q̈

0

2

dt

In questo modo, l’equazione (5.61) diventa

! !

2 ∂Q (q, q̇)

∂Q (q, q̇) d f V −

q̈ + r (q ) q̇ + q = Q̃ (q , 0, t) (5.63)

a (q ) 0 0

0 2

∂ q̇ dq ∂q

q

q ,0 q ,0

0

0 0

5.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione

Si consideri dapprima l’energia cinetica T . La (5.25) può essere sviluppata in serie di Taylor nell’in-

torno della posizione di equilibrio statico definita dalle (5.53) troncando l’espansione ai termini qua-

dratici, in quanto forniscono i contributi lineari a seguito delle differenziazioni richieste per la scrittura

dell’equazione del moto: ∂T (q, q̇) ∂T (q, q̇)

− −

T (q, q̇) = T (q , 0) + (q q ) + (

q̇ 0)

0 0

∂q ∂ q̇

q ,0 q ,0

0 0

2

2 2

1 ∂ T (q, q̇) 1

∂ T (q, q̇) ∂ T (q, q̇)

2 2

− − − −

+ (q q ) + (q q ) ( q̇ 0) + ( q̇ 0)

0 0

2 2

2 ∂q ∂q∂ q̇ 2 ∂ q̇

q ,0 q ,0 q ,0

0 0 0 (5.64)

Si deve fin da subito notare che: 1 2

·

T (q , 0) = a (q ) 0 = 0

0 0

2 2 2

1 ∂ T (q, q̇) 1

da (q) d a (q)

∂T (q, q̇) 2 2

· ·

= 0 = 0 = 0 = 0 (5.65)

2 2

∂q 2 dq ∂q 2 dq

q ,0 q q q

0 0 0 0

2

∂ T (q, q̇) da (q)

∂T (q, q̇) · ·

= a (q ) 0 = 0 = 0=0

0

∂ q̇ ∂q∂ q̇ dq

q q q

0 0 0

in quanto valutati per q̇ = 0; ovvero la (5.19) può essere riscritta come:

2 1

1 ∂ T (q, q̇)

∼ 2 2

T q̇ = a (q ) q̇ (5.66)

= 0

2

2 ∂ q̇ 2

q ,0

0

Applicando la (5.66) alla equazione di Lagrange, otteniamo:

∂T ∂T

d ∼ ∼

a (q ) q̈, =0 (5.67)

= 0

dt ∂ q̇ ∂q 5-11

5.3. LINEARIZZAZIONE DELL’EQUAZIONE DI MOTO

e quindi ∂T

∂T

d ∼

− a (q ) q̈ = m q̈ (5.68)

= 0 0

dt ∂ q̇ ∂q

In modo del tutto analogo si può ricondurre ad una forma quadratica anche l’energia potenziale V ,

sviluppandola secondo Taylor nell’intorno della posizione di equilibrio statico:

2

dV (q) d V (q)

1

∼ 2

− −

V (q) V (q ) + (q q ) + (q q ) (5.69)

= 0 0 0

2

dq 2 dq

q q

0 0

q = q q , lo spostamento subito dalla variabile indipendente rispetto

avendo definito, con la variabile 0

alla posizione di equilibrio statico 2

dV (q ) 1 d V (q )

0 0 2

V (q) = V (q ) + q + q + ... (5.70)

0 2

dq 2 dq q definisce dunque il solo moto perturbato del sistema

Con tale trasformazione di coordinate, la variabile

nell’intorno della posizione di equilibrio statico q = q . L’applicazione delle equazioni di Lagrange alla

0

funzione V (q), resa quadratica nella variabile indipendente q, porta alla:

2

dV (q) d V (q) dV (q)

dV (q)

∼ + + k

q = q (5.71)

= 0

2

dq dq dq dq

q q

q

0 0

0

in cui si è sfruttato il fatto che la derivata del termine costante V (q ), per definizione, è nulla. Il termine

0

lineare dell’energia potenziale quadraticizzata, invece, nell’equazione del moto linearizzata si annulla o

perché il sistema è conservativo e quindi, dalla (5.38), il suo annullamento è condizione per l’equilibrio,

o, in caso di sistema non conservativo, dalla definizione di soluzione di equilibrio secondo la (5.37), si

elide con il valore costante Q (q , 0) risultante dalla linearizzazione della componente generalizzata della

0

sollecitazione attiva.

Analogamente a quanto fatto per l’energia cinetica, anche la funzione di dissipazione D data dal-

la (5.30) può essere resa quadratica, sviluppandola in serie di Taylor arrestata al termine quadratico:

∂D (q, q̇)

∂D (q, q̇)

∼ − −

D (q, q̇) (q q ) + (

q̇ 0) (5.72)

D (q , 0) +

= 0

0 ∂q ∂ q̇

q ,0 q ,0

0 0

2 2

2

∂ D (q, q̇) ∂ D (q, q̇)

1 1

∂ D (q, q̇)

2 2

− − − −

+ (q q ) + (q q ) ( q̇ 0) + ( q̇ 0)

0

0

2 2

2 ∂q ∂q∂ q̇ 2 ∂ q̇

q ,0 q ,0 q ,0

0 0 0 (5.73)

In analogia con quanto osservato per l’espressione quadraticizzata dell’energia cinetica, si nota che

1 2

·

r (q ) 0 = 0

D (q , 0) = 0

0 2 ∂D (q, q̇)

dr (q)

∂D (q, q̇) 1 2

· ·

0 = 0,

= = r (q ) 0 = 0

0 (5.74)

∂q 2 dq ∂ q̇

q ,0 q q ,0

0 0 0

2

2 2

1 dr (q)

∂ D (q, q̇)

∂ D (q, q̇) d r (q) 2

· ·

= =

0 = 0, 0=0

2 2

∂q 2 dq ∂q∂ q̇ dq

q ,0 q q ,0 q

0 0 0 0

che porta alla espressione:

2 1

1 ∂ D (q, q̇)

∼ 2 2

D (q, q̇) q̇ = r q̇ (5.75)

= 0

2

2 ∂ q̇ 2

q ,0

0


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: dinamica dei sistemi di corpi rigidi mediante le equazioni di Lagrange; scrittura dell'equazione di moto del sistema; linearizzazione dell'equazione di moto; quadraticizzazione della funzione di Lagrange.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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