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4-10 CAPITOLO 4. CINEMATICA E DINAMICA DEI SISTEMI DI CORPI RIGIDI

Figura 4.6: Il manovellismo ordinario centrato.

Figura 4.7: L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il punto

0

B indica lo schema di montaggio corrispondente alla radice negativa

nell’equazione (4.27), che corrisponde ad un cambio di osservatore.

Per la scrittura delle forze d’inerzia è quindi fondamentale la capacità di descrivere la configurazione, le

velocità e le accelerazioni lineari ed angolari di ogni corpo in funzione delle coordinate libere del problema.

A tal fine, nel caso di catene cinematiche, è fondamentale la scrittura e la soluzione dell’equazione di

chiusura e delle sue derivate fino al secondo ordine.

4.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato

Si tratta di un meccanismo a catena chiusa, utilizzato per convertire il moto rotatorio in moto traslatorio

rettilineo (e viceversa). È uno dei meccanismi più utilizzati, e trova impiego, ad esempio, nei motori a

combustione interna (figura di riferimento) nelle presse, nelle pompe e nei compressori alternativi.

4.3.1 Analisi cinematica

Un motore monocilindrico è costituito da un albero motore che porta una manovella di lunghezza a, un

corsoio o pistone che scorre nel cilindro, ed una biella di lunghezza b che collega l’estremità della manovella

al corsoio. Lo schema cinematico mostrato in figura 4.6 comprende la manovella (O A), in grado di

compiere una rotazione completa, e la biella (A B), alla cui estremità B è collegato il corsoio. Si

− − −

assuma che (A B) sia maggiore di (O A), affinché l’elemento (O A) possa effettivamente compiere

un giro completo.

La scrittura dell’equazione di chiusura, come illustrato in figura 4.3.1, porta a scrivere

− − −

(A O) + (B A) = (B O) (4.22)

che in forma complessa diventa:

iα iβ i0

ae + be = ce = c (4.23)

Derivando rispetto al tempo la (4.23) si ottiene il legame tra la velocità del corsoio, ċ, e quella degli altri

membri del cinematismo:

iα iβ

iα̇ae + iβ̇be = ċ (4.24)

4-11

4.3. ESEMPIO: IL MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATO

La successiva derivazione rispetto al tempo fornisce l’espressione dell’accelerazione c̈ del punto B:

iα 2 iα iβ 2 iβ

− −

iα̈ae α̇ ae + iβ̈be β̇ be = c̈ (4.25)

La precedente equazione di chiusura (4.22) può essere riscritta nelle sue componenti:

a cos α + b cos β = c (4.26)

a sin α + b sin β = 0

in cui la seconda equazione costituisce la condizione di vincolo del punto B, ossia l’appartenenza all’asse

x. Le equazioni sopra descritte costituiscono un sistema di equazioni non lineare; gli angoli α e β

compaiono infatti come argomenti di funzioni trigonometriche. In questo primo esempio la posizione del

5

corsoio B e l’inclinazione della biella in funzione della posizione angolare della manovella divengono :

 v ! 2

u

 a

 u

 −

 1 sin α

c = a cos α + b t

 b (4.27)

!

 a

 −1

 −

β = sin sin α

 b

Per ottenere velocità ed accelerazione del punto B possiamo rispettivamente proiettare le equa-

zioni (4.24) e (4.25) sull’asse reale e su quello immaginario, che corrisponde a derivare il sistema di

equazioni (4.26):

− −

α̇a sin α β̇b sin β = ċ (4.28)

α̇a cos α + β̇b cos β = 0

che ammette la soluzione:

 −aα̇ −

ċ = (sin α cos α tan β)

 !

a cos α (4.29)

β̇ = α̇

 b cos β

Il sistema (4.28) può essere scritto in modo particolarmente significativo in forma matriciale, in quanto

è sempre lineare nelle derivate delle variabili cinematiche:

ċ −

1 b sin β sin α

= aα̇ (4.30)

−b

0 cos β cos α

β̇

Perché sia risolubile in ogni posizione, il determinante

1 b sin β −b

= cos β (4.31)

det −b

0 cos β

non deve mai annullarsi. Questa condizione è sempre verificata se b > a, perché in tal caso l’angolo β

−π/2

è limitato a valori < β < π/2. Altre scelte di variabile cinematica indipendente diversa da α non

verificano la condizione; ad esempio, se si sceglie c, il sistema (4.28) diventa

α̇

−a −b

sin α sin β 1

= ċ (4.32)

a cos α b cos β 0

β̇

5 Si noti che nella prima delle (4.27) il radicando è sempre positivo perché si è ipotizzato b > a affinché la manovella

possa compiere un giro completo. Inoltre, si è scelta la radice positiva di c come regola di montaggio del meccanismo, come

illustrato in figura 4.3.1; la scelta della radice negativa come regola di montaggio avrebbe mostrato il corsoio diretto dalla

parte opposta, corrispondente ad un cambio di osservatore. È importante sottolineare che, dal punto di vista matematico,

le due regole di montaggio sono assolutamente equivalenti; è necessario operare una scelta all’atto del montaggio, in quanto

non è possibile passare dall’una all’altra posizione durante il regolare funzionamento della macchina.

4-12 CAPITOLO 4. CINEMATICA E DINAMICA DEI SISTEMI DI CORPI RIGIDI

Figura 4.8: La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire dalla fase di aspirazione

(a sinistra).

il cui determinante

−a −b

sin α sin β −

det = ab sin (β α) (4.33)

a cos α b cos β

si annulla per α = β e per α = β + π, ovvero ai punti morti inferiore e superiore, nei quali ċ è nulla ma

la velocità angolare di biella e manovella può assumere qualsiasi valore. In tali condizioni, il sistema è

indeterminato.

La successiva derivazione porta a definire le accelerazioni:

2 2

−α̈a − − −

sin α α̇ a cos α β̈b sin β β̇ b cos β = c̈ (4.34)

2 2

− −

α̈a cos α α̇ a sin α + β̈b cos β β̇ b sin β = 0

Si noti che se si esprime la (4.34) in forma matriciale

2 2

c̈ −

1 b sin β sin α α̇ a cos α + β̇ b cos β

= aα̈ + (4.35)

2 2

−b

0 cos β cos α

β̈ α̇ a sin α + β̇ b sin β

si ottiene la stessa matrice utilizzata per la derivata prima dell’equazione di chiusura.

4.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera

All’interno della camera di dimensioni variabili delimitata lateralmente dal cilindro, inferiormente dal cie-

lo del pistone e superiormente dalla camera di combustione, si ha un andamento variabile della pressione

≤ ≤

p, determinato dall’alternarsi delle quattro fasi di funzionamento del motore: aspirazione (0 α π),

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

compressione (π α 2π), espansione (2π α 3π) e scarico (3π α 4π) dei gas combusti.

L’andamento della pressione p all’interno della camera di dimensioni variabili è normalmente rap-

g

presentato sotto forma di un diagramma avente per ascisse il volume geometrico effettivo v = v (α)

eff eff

della camera 2

D

v (α) = v + (a + b c (α)) π (4.36)

eff 2 4

ove D è il diametro del cilindro, detto anche e v è il ovvero il volume della

alesaggio, volume nocivo,

2

camera quando il corsoio, o si trova al massimo della sua corsa, posizione detta anche

pistone, punto

4-13

4.3. ESEMPIO: IL MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATO

Figura 4.9: Ciclo ideale termodinamico per unità di volume d’aria aspirata.

Dal momento che il manovellismo in esame è centrato, ovvero l’asse del corsoio passa

morto superiore.

per l’asse di rotazione del motore, questa condizione si ha per α = 0, quando a, b e c sono allineati e

quindi a + b = c.

La pressione p = p (α) risulta cosı̀ funzione implicita della rotazione della manovella α secondo il

g g

ciclo ideale di figura 4.9 nell’ipotesi di compressione ed espansione adiabatica.

Con riferimento alla figura 4.9, la fase 5-1 rappresenta l’aspirazione, la 1-2 la compressione adiabatica,

la 2-3 lo scoppio, che si suppone avvenga a volume costante con la produzione del calore Q , ove

1

Q = c (T T ) (4.37)

1 v 3 2

avendo chiamato c il calore specifico a volume costante della miscela

v

La fase 3-4 è quella di espansione adiabatica durante la quale viene prodotto lavoro meccanico, ed

infine la 4-1 e la 1-5 costituiscono la fase di scarico dei gas combusti, con la cessione nella parte iniziale

o

4-1 del calore Q a una sorgente più fredda, come richiede il II Principio della Termodinamica.

2

Sul cielo del pistone agisce pertanto la forza F (α), che rappresenta la risultante delle pressioni agenti

g

sullo stantuffo, pari a:

2 2

D D ∗

F (α) = π (p (α) p ) = π p (α) (4.38)

g g atm g

4 4

dove p (α) è la pressione relativa, in quanto non dobbiamo dimenticare che la faccia interna del cielo

g

del corsoio è sottoposta all’azione della pressione atmosferica.

4.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti

Nell’esempio corrente si supporrà poi che sull’albero motore, ossia sulla manovella, agisca un momento M r

di valore incognito, opposto alla velocità angolare dell’albero. Tale momento rappresenta la sollecitazione

interna all’albero motore dovuta ad un utilizzatore che sfrutti la potenza erogata dal motore stesso.

Per quanto riguarda le inerzie del sistema, si supporrà che sull’albero motore sia calettato un volano

con momento di inerzia J , e che il corsoio abbia massa m . Le inerzie della biella possono essere

m B

considerate, in via approssimata, attraverso due masse puntiformi, m e m poste nel centro della testa

1 2

e del piede della biella stessa:

4-14 CAPITOLO 4. CINEMATICA E DINAMICA DEI SISTEMI DI CORPI RIGIDI

Figura 4.10: Approssimazione della biella a masse concentrate.

• la massa m , idealmente posta al centro foro all’estremità, detta in cui la biella si

testa di biella,

1

connette alla manovella, si muove solidalmente con la manovella, per cui fornisce un contributo di

inerzia in aggiunta al momento di inerzia J di quest’ultima:

m

2

J = J + m a (4.39)

t m 1

• la massa m , idealmente posta al centro del foro all’estremità opposta, detta si

piede di biella,

2

muove insieme al pistone, e quindi va sommata alla massa m del pistone propriamente detto:

B

m = m + m (4.40)

c B 2

Si ricorda che la riduzione delle inerzie della biella a due masse puntiformi consente di riprodurre la

massa complessiva della biella e la posizione del baricentro di questa, ma introduce una approssimazione

per quanto riguarda il momento di inerzia baricentrico della biella, che viene ad assumere il valore

2 2

J = m l + m l (4.41)

GBapprox 1 2

1 2

anziché quello effettivo.

Con riferimento alla figura 4.10, le masse m e m si ricavano dal sistema di equazioni

1 2

m

1 1 m

1 biella

= (4.42)

−l

l m 0

1 2 2

Si fa inoltre l’ipotesi che il baricentro dell’insieme formato dalla manovella e dalla frazione m della

1

massa della biella in movimento con essa sia coincidente con il punto O, ossia con l’asse di rotazione,

come avviene nella realtà, grazie ad un opportuno contrappeso. In questo modo il risultante delle forze

d’inerzia agenti sulla manovella è nullo in quanto è nulla l’accelerazione del baricentro. Si veda, a

proposito, la figura 4.11, che illustra l’albero a gomiti, ovvero l’insieme delle manovelle, per un motore

stellare di impiego aeronautico.

4.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico

Come evidenziato in precedenza, il sistema presenta un solo grado di libertà. Facendo corrispondere una

reazione vincolare a ciascun grado di vincolo, ed una azione attiva libera al grado di libertà residuo, nelle

equazioni di equilibrio vengono evidenziate 8 reazioni vincolari e il momento incognito M . Tali azioni e

r

reazioni sono poste in evidenza nello schema di figura 4.12, detto diagramma di corpo libero

Il sistema è costituito da tre corpi rigidi ed è pertanto possibile scriverne le equazioni di equilibrio.

4-15

4.3. ESEMPIO: IL MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATO

Figura 4.11: Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella.

Figura 4.12: Le forze agenti sul sistema.

4-16 CAPITOLO 4. CINEMATICA E DINAMICA DEI SISTEMI DI CORPI RIGIDI

• Corsoio:

X → −

F = 0 F + m c̈ S = 0 (4.43)

x g c Bx

X →

F = 0 Φ + S = 0 (4.44)

y B By

X →

M = 0 M = 0 (4.45)

B B

• Biella: X →

F = 0 S + S = 0 (4.46)

x Ax Bx

X →

F = 0 S + S = 0 (4.47)

y Ay By

X →

M = 0 S l sin ϕ + S l cos ϕ = 0 (4.48)

B Ax Ay

• Manovella:

X →

F = 0 S + S = 0 (4.49)

x Ox Ax

X →

F = 0 S + S = 0 (4.50)

y Oy Ay

X → −M − −

M = 0 J α̈ S a sin α + S a cos α = 0 (4.51)

O r t Ax Ay

Si ricorda che la sommatoria nelle equazioni (4.43-4.51) deve comprendere anche il sistema delle forze

d’inerzia del corpo considerato.

Il sistema costituito dalle 9 equazioni scalari (4.43-4.51) è determinato nelle 9 incognite: S , S ,

Ox Oy

S , S , S , S , M , Φ e M ; può essere risolto equazione per equazione, in cascata. Innazitutto,

Ax Ay Bx By B B r

la (4.45) fornisce immediatamente la coppia di reazione esercitata dal cilindro sul pistone. La (4.43)

consente di ricavare la reazione S :

Bx

S = F + m c̈ (4.52)

Bx g c

La (4.46) e la (4.52) consentono di ricavare la reazione S :

Ax

S = (F + m c̈) (4.53)

Ax g c

La (4.48) e la (4.53) consentono di ricavare la reazione S :

Ay

S = tan ϕ (F + m c̈) (4.54)

Ay g c

La (4.47) e la (4.54) consentono di ricavare la reazione S :

By

S = tan ϕ (F + m c̈) (4.55)

By g c

La (4.44) e la (4.55) consentono di ricavare la reazione Φ :

B

Φ = tan ϕ (F + m c̈) (4.56)

B g c

La (4.49) e la (4.53) consentono di ricavare la reazione S :

Ox

S = F + m c̈ (4.57)

Ox g c

La (4.50) e la (4.54) consentono di ricavare la reazione S :

Oy

S = tan ϕ (F + m c̈) (4.58)

Oy g c

La (4.51), la (4.53) e la (4.54) consentono di ricavare il momento M :

r

−J

M = α̈ + (F + m c̈) a (sin α + tan ϕ cos α) (4.59)

r t g c 4-17

4.3. ESEMPIO: IL MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATO

La scelta di quale insieme di corpi rigidi sia più opportuno prendere in considerazione nella scrittura

delle equazioni di equilibrio dipende dalle grandezze da determinare. L’approccio appena presentato è

necessario qualora si dovessero calcolare tutte le reazioni vincolari. Se tuttavia solo alcune delle incognite

devonop essere calcolate a priori, mentre la determinazione del resto della soluzione può essere evitato, è

possibile semplificare notevolmente il problema mediante una opportuna scelta di quali equazioni scrivere

e un opportuno partizionamento del sistema.

Se ad esempio si desidera calcolare direttamente la reazione Φ , è sufficiente scrivere l’equazione

B

di equilibrio dei momenti agenti sul solo corsoio, scegliendo come polo il punto B, da cui si ricava

l’equazione (4.45), e quindi scrivere l’equazione di equilibrio dei momenti agenti sul corsoio e sulla biella,

scegliendo come polo il punto A, da cui si ricava

−l sin ϕ (F + m c̈) + l cos ϕΦ = 0 (4.60)

g c B

ovvero direttamente la (4.56).

Se invece si desidera calcolare direttamente il momento attivo M , si può ricorrere al teorema dell’e-

r

nergia cinetica, in quanto il momento M è l’unica azione incognita che partecipa al bilancio di potenze.

r

L’energia cinetica è

1

2 2

J α̇ + m ċ (4.61)

T = t c

2

la cui derivata è

dT = J α̇α̈ + m ċc̈

t c

dt −

= (J α̈ m c̈a (sin α + tan ϕ cos α)) α̇ (4.62)

t c −

dove si è fatto uso della prima delle (4.29), con β = 2π ϕ, mentre la potenza delle forze attive, escluse

le forze d’inerzia, è

−M −

Π = α̇ F ċ (4.63)

r g

ovvero −M

Π = α̇ + F a (sin α + tan ϕ cos α) α̇ (4.64)

r g

Eguagliando la (4.62) e la (4.64), e semplificando α̇ in entrambi i membri, si ricava direttamente la (4.59),

ovvero il momento M .

r


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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