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La densità elettronica: sintesi di Fourier (1)

una funzione f(x) può essere espansa,

nell'intervallo 0-a, in una somma di seni e

coseni di multipli di 2πx/a. (v.nota)

Se la funzione è una funzione periodica con

periodo a, tale espansione rappresenta in

maniera completa la funzione f(x).

Nota: nell’intervallo considerato la funzione deve essere scomponibile

in un numero finito di tratti entro i quali sia continua e monotòna

La densità elettronica: sintesi di Fourier (2)

Consideriamo un cristallo monodimensionale

(proiettiamo l'intera struttura sull'asse a) e

ρ(x)

otteniamo una funzione della sola

coordinata x, funzione periodica con periodo 1.

Lo sviluppo in serie di Fourier di tale funzione è

pertanto ∞

ρ = π + π

( x ) ( A cos 2 nx B cos 2 nx )

n n

=

n 0

+∞

∑ π

2 inx

ρ =

( x ) C e

equivalente a: n n

− ∞ 8

La densità elettronica: sintesi di Fourier (3)

∑ π

2 ihx

= j

F f e

h j

j

equivalente a: +∞

1 ∑

( ) π

π 2 inx

∫ ρ =

= ρ 2 ihx ( x ) C e

F a x e dx con n n

h − ∞

0

+∞ +∞

1 1

∑ ∑

π π π +

∫ ∫

= =

2 inx 2 ihx 2 i ( n h ) x

F a C e e d x a C e d x

h n n n n

− ∞ − ∞

0 0

La densità elettronica: sintesi di Fourier (3)

+∞ +∞

1 1

∑ ∑

π π π +

∫ ∫

= =

2 inx 2 ihx 2 i ( n h ) x

F a C e e d x a C e d x

h n n n n

− ∞ − ∞

0 0

1 1 1

π +

∫ ∫ ∫

= π + + π +

2 i ( n h ) x

e dx cos 2 ( n h ) x

dx i sin 2 ( n h ) x

dx

0 0 0

esempio:

n+h = 7 9

La densità elettronica: sintesi di Fourier (4)

L'integrale di tale funzione, ovvero il valore dell'area sotto il

profilo della funzione, è ovviamente nullo. Ciò è vero per

ogni altro valore di n+h, tanto per i termini in seno

quanto per quelli in coseno. Solo per n + h = 0, ovvero

−h,

per n = si ha che il valore dell'integrale è 1

F

= = h

F aC C

h h

h a

La densità elettronica: sintesi di Fourier (5)

+∞

F ∑ π

2 inx

ρ =

= h ( x ) C e

C n n

h a − ∞

1

x F e i

2

a

( ) π

h

ρ = h

∑ h x

1 ∑ − π

ρ = ihx

2

( )

x F e

h

h

a 10

La densità elettronica: sintesi di Fourier (6)

1 ∑ − π

ρ = 2 ihx

x F e

( ) h

h

a

Abbiamo cioè ottenuto l'importante risultato di

dimostrare che i coefficienti dei vari termini dello

ρ(x)

sviluppo di in serie di Fourier sono proprio i

fattori di struttura. Nel caso più generale della

ρ(xyz)

funzione si avrà:

1 ∑ ∑ ∑ − π + +

ρ = 2 i ( hx ky lz )

xyz F e

( ) hkl

h k l

V

La densità elettronica: sintesi di Fourier (7)

1 ∑ ∑ ∑ − π + +

ρ = 2 i ( hx ky lz )

( )

xyz F e

hkl

h k l

V

per una struttura CENTROSIMMETRICA la fase può essere solo 0 o π:

1 ∑ ∑ ∑

ρ π

= + +

( xyz ) F cos 2 ( hx ky lz )

hkl

h k l

V 11

La densità elettronica: sintesi di Fourier (8)

1 ∑ ∑ ∑ − π + +

ρ = i hx ky lz

2 ( )

( xyz ) F e

hkl

h k l

V

1 ∑ ∑ ∑

ρ π

= + +

( xyz ) F cos 2 ( hx ky lz )

hkl

h k l

V

Queste espressioni realizzano, nel caso delle

strutture cristalline, lo stadio in cui le diverse

onde diffratte si ricompongono a formare

l‘”immagine”.

Tale ricomposizione viene realizzata

analiticamente (non avendo una “lente” per i

raggi X)

La densità elettronica: sintesi di Fourier (9) 12

Il problema della fase

Sfortunatamente, come suggerisce la figura precedente, i

intensità dei raggi

dati in nostro possesso riguardano la

diffratti; conosciamo pertanto solo il modulo dei fattori di

e non il fattore F nella sua completezza.

struttura hkl

Questo impedisce la applicazione diretta delle espressioni

trovate per calcolare la densità elettronica).

Tale incompleta conoscenza del fattore di struttura, noto

|F | ϕ

nel suo modulo ma non nella sua fase ,

hkl hkl

costituisce il "problema della fase", il problema centrale

della cristallografia strutturale.

Il problema della fase si riduce, più semplicemente, al

problema del segno nel caso di strutture

centrosimmetriche. Il fattore di struttura è, in quel caso,

un numero reale e la indeterminazione sulla fase (0

π)

oppure si riduce ad una indeterminazione del segno

(positivo o negativo) del fattore di struttura.

trasformata anti-trasformata

“struttura” di Fourier di Fourier 13

intensità

fasi

fasi

intensità 14

Esercizio

Calcolare la densità elettronica per una struttura

monodimensionale usando (a) i moduli dei fattori di struttura e

le fasi; (b) i moduli dei fattori di struttura corretti e tutte le fasi

uguali a zero; (c) le fasi corrette e tutti i moduli dei fattori di

struttura uguali a 50. Fate il calcolo delle somme di Fourier tra x

= 0 e x = 1

Indici di Miller Modulo del fattore di struttura Fase (°)

100 52 180

200 57 180

300 96 0

400 59 180

500 10 180

600 45 0

700 14 180

800 0 ?

900 17 0

10,0,0 6 180

Esercizio

ρ π

=

( x ) F exp(

i 2 hx )

h 00

h

= 0 e x = 1

Indici di Miller Modulo del fattore di struttura Fase (°)

100 52 180

200 57 180

300 96 0

400 59 180

500 10 180

600 45 0

700 14 180

800 0 ?

900 17 0

10,0,0 6 180 15


PAGINE

18

PESO

1.03 MB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Cristallografia della prof.ssa Elena Buonaccorsi, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: il contenuto della cella elementare; la densità elettronica e la Sintesi di Fourier; la determinazione della struttura del Rutilio; il problema della fase.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze geologiche
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Cristallografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Bonaccorsi Elena.

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