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Rappresentazione parametrica di una curva

Una curva nello spazio si rappresenta parametricamente con un

sistema del tipo: =

 x x (

t )

 = ∈ ⊆

y y (

t ) t I R

.

 =

z z (

t )

Dove x(t), y(t),z(t) sono tre funzioni reali della variabile t definite in un

intervallo I di R.

Esempio

Le equazioni:  2

=

x t

rappresentano una = −

y t

curva C in forma  =

z 2 sent

parametrica. I punti di C 

si ottengono

assegnando a t tutti i

possibili valori reali.

L’origine appartiene a C

mentre (4,-2,2) non

appartiene a C perché

non si ottiene per alcun

valore di t.

Rappresentazione parametrica di una superficie

Una superficie S si rappresenta parametricamente con un sistema di

due parametri

=

 x x (

u , v )

 2

= ∈ ⊆

y y (

u , v ) (

u , v ) I R .

 =

z z (

u , v )

Mentre in forma cartesiana si rappresenta con un’equazione

f(x,y,z)=0.

Rappresentazione cartesiana di una curva

Una curva C si può rappresentare in forma cartesiana

con un sistema del tipo

=

 f ( x , y , z ) 0

 =

g ( x , y , z ) 0

Ad esempio una retta nello spazio si può scrivere come

intersezione di due piani.

Cilindri

Si chiama superficie cilindrica (o cilindro) una

superficie S che è unione di rette tutte parallele

ad una stessa retta. Tali rette si chiamano

generatrici del cilindro. Una curva C contenuta

in S e che incontra tutte le generatrici del cilindro

si chiama direttrice di S.

Osservazione

In generale un’equazione del tipo f(x,y)=0 (in cui

manca la variabile z) nello spazio rappresenta un

cilindro avente le generatrici parallele all’asse z.

Una direttrice di tale cilindro è ad esempio la

curva di equazioni f(x,y)=z=0. Analogamente le

equazioni del tipo f(x,z)=0 rappresentano un

cilindro parallelo all’asse y e le equazioni del tipo

f(y,z)=0 rappresentano un cilindro parallelo

all’asse x.

Rappresentazione parametrica di un cilindro

Se (l,m,n) sono i parametri direttori della generica generatrice g mentre

=

 x x (

t )

 = ∈ ⊆

y y (

t ) t I R

 =

z z (

t )

sono le equazioni parametriche della curva direttrice C allora l’equazione del cilindro

associato alla coppia (g,C) si ottiene eliminando il parametro reale t tra le due

equazioni della generica generatrice condotta per il punto P(x(t), y(t), z(t)) sulla curva

C. Occorre eliminare t tra le due equazioni − − −

x x (

t ) y y (

t ) z z (

t )

= = .

l m n

Con la convenzione che se il denominatore è nullo allora il numeratore è nullo.

Esempio

Determinare l’equazione del cilindro avente come

 2

=

x 3

t

direttrice la curva C di equazioni:  = +

y t 1

 = − +

z t 1

e generatrici parallele al vettore v(1,2,1)

2 − −

− + −

y t 1

x 3

t z t 1

Soluzione: = = .

1 2 1

Continuazione dell’esempio

Eliminando t dalle due equazioni

 

2 2 − +

− = − − − = − − y 2 z 1

2 ( x 3

t ) y t 1 2 x y 6

t t 1

⇒ ⇒ =

t

 

− − = + − − = − 3

y t 1 ( z t 1

) 2 y 2 z 3

t 1

 

2

− + − +

 

y 2 z 1 y 2 z 1

− = − −

 

2 x y 6 1

 

3 3

2

− − + = − +

3 x y z 2 ( y 2 z 1

)

Rappresentazione parametrica di

un cilindro

Sia r una retta con parametri direttori (l,m,n) e sia L una curva di

equazioni parametriche

=

 x x (

t )

 = ∈ ⊆

y y (

t ) t I R

 =

z z (

t )

Il cilindro S avente le generatrici parallele ad r e come direttrice L è il

luogo delle rette di equazioni parametriche

= +

 x x (

t ) sl

 = +

y y (

t ) sm

.

 = +

z z (

t ) sn

Esempio

Il cilindro con direttrice L: (x,y,z)=(-t, 3t, sen t) e

generatrici parallele al vettore (0,1,-1) ha

equazioni parametriche

(x,y,z)=(-t,3t+s,sen t-s).

Viceversa la superficie di equazioni

parametriche (x,y,z)=(2t+s, -t-5s, cos t)

rappresenta un cilindro avente per direttrice L:

(x,y,z)=(2t,-t,cos t) e generatrici parallele al

vettore v( 1,-5,0).

Coni

Una superficie conica o cono è una superficie costituita dall’unione di

rette passanti per un punto fisso V. Le rette considerate sono dette

generatrici del cono, il punto V si chiama vertice, ogni curva che

incontra tutte le generatrici in qualche punto diverso dal vertice si

chiama direttrice del cono.

Se (x ,y ,z ) sono le coordinate del vertice V, mentre

0 0 0 =

 x x (

t )

 = ∈ ⊆

y y (

t ) t I R

 =

z z (

t )

Le equazioni parametriche della curva direttrice L, allora l’equazione

del cono associato alla coppia (V, L) si ottiene eliminando il

parametro t tra le due equazioni:

Coni

Equazioni che − − −

x x y y z z

0 0 0

= = ossia

rappresentano la − − −

x (

t ) x y (

t ) y z (

t ) z

0 0 0

generica

generatrice VP = + −

 x x s ( x (

t ) x )

0 0

del cono con  = + −

y y s ( y (

t ) y )

.

 0 0

vertice del cono  = + −

z z s ( z (

t ) z )

 0 0

,y ,z )

V(x e

0 0 0

P(x(t),y(t),z(t))

punto mobile su

L.

Esempio

Determinare il cono avente per direttrice la parabola di

 equazione

=

 x t

 2

=

y t

 =

z 0

e vertice V(-1,0,2). Soluzione: −

+ − + − −

y 0 y

x 1 z 2 x 1 z 2 z 2

= = ⇒ = =

;

+ − + − −

2 2

t 1 0 2 t 1 2 2

t 0 t

E si ottiene (2x+z) +2y(z-2)=0.

2

Equazioni parametriche del cono

Un cono di vertice V(x ,y ,z ) e direttrice L:

 0 0 0

(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) ha equazioni parametriche:

= + −

 x x s ( x ( t ) x )

0 0

 = + −

y y s ( y (

t ) y )

 0 0

 = + −

z z s ( z (

t ) z )

 0 0

Ad esempio il cono di vertice V(1, 0,-1) e direttrice

(x,y,z)=(t,-t, 3t) ha equazioni:

(x,y,z)=(1+s(t-1),s(-t),-1+s(3t+1)).


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Equazione della sfera. Centro e raggio di una sfera. Intersezioni tra un piano ed una sfera. Circonferenza nello spazio. Ricerca del centro e del raggio. Piano tangente ad una sfera in un suo punto. Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto. Quadriche. Equazione di una quadrica. Matrice associata ad una quadrica. Classificazione affine delle quadriche. Rappresentazione parametrica di una curva. Rappresentazione parametrica di una superficie. Rappresentazione cartesiana di una curva. Cilindri. Rappresentazione parametrica di un cilindro. Coni.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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