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Continuazione dell’esempio

è una circonferenza di raggio

Γ 14 9 5 26

2 2

= − = − =

r R CC ' 4 49 14 

π

Inoltre la retta per C ortogonale a è: = +

 x 1 3

t

 1

= +

s : y 6

t

 2

π

E interseca nel punto  3

= +

z 2

t

 2

 

40 13 135 Γ.

che è il centro di

C ' , ,

 

 

49 98 98

Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto

Γ= π

Sia S∩ la circonferenza intersezione della

π, Γ.

sfera S con il piano e sia P un punto di La

0

Γ

retta tangente a in P è l’intersezione del piano

0

π con col piano tangente ad S in P .

0

Quadriche

Consideriamo una funzione f(x,y,z) delle tre variabili x, y, z e la

corrispondente equazione

f(x,y,z)=0 (1).

Alle soluzioni (x,y,z) dell’equazione (1) corrispondono punti dello

spazio a 3 dimensioni riferito ad un sistema di coordinate x,y,z, il cui

insieme costituisce il diagramma della superficie di cui la (1) è

l’equazione.

Una superficie si dirà algebrica se f è un polinomio nelle variabili x,

y, e z. Il grado del polinomio è l’ordine della superficie algebrica.

Definizione Una quadrica è una superficie algebrica del II ordine.

Equazione di una quadrica

2 2 2

= + + + + + + + + + =

f ( x , y , z ) a x a y a z 2 a xy 2 a xz 2 a x 2 a yz 2 a y 2 a z a 0

11 22 33 12 13 14 23 24 34 44

Quando il I membro dell’equazione è uguale al prodotto di due

polinomi di I grado, la quadrica si dice riducibile e risulta

composta da due piani rappresentati uguagliando a zero i

polinomi di I grado. Nel caso opposto la quadrica si dice

irriducibile. Ovviamente la sfera è un caso particolare di

quadrica. Le quadriche dipendono da 9 parametri essenziali in

quanto nell’equazione completa di una quadrica compaiono 10

coefficienti definiti a meno di un fattore di proporzionalità, quindi

le quadriche dello spazio sono .

9

Matrice associata ad una quadrica

Le quadriche riducibili sono quante le coppie di piani quindi .

6

La matrice di ordine 4 simmetrica associata alla quadrica è:

 

a a a a

11 12 13 14

 

a a a a

 

12 22 23 24

=

A  

a a a a

13 23 33 34

 

 

a a a a

 

14 24 34 44  

x

L’equazione matriciale di una quadrica è  

y

 

t = =

XAX 0 dove X  

z

 

 

1

 

Classificazione affine delle

quadriche

=

A 0

44 ≠

A 0

44

Rappresentazione parametrica di una curva

Una curva nello spazio si rappresenta parametricamente con un

sistema del tipo: =

 x x (

t )

 = ∈ ⊆

y y (

t ) t I R

.

 =

z z (

t )

Dove x(t), y(t),z(t) sono tre funzioni reali della variabile t definite in un

intervallo I di R.

Esempio

Le equazioni:  2

=

x t

rappresentano una = −

y t

curva C in forma  =

z 2 sent

parametrica. I punti di C 

si ottengono

assegnando a t tutti i

possibili valori reali.

L’origine appartiene a C

mentre (4,-2,2) non

appartiene a C perché

non si ottiene per alcun

valore di t.

Rappresentazione parametrica di una superficie

Una superficie S si rappresenta parametricamente con un sistema di

due parametri

=

 x x (

u , v )

 2

= ∈ ⊆

y y (

u , v ) (

u , v ) I R .

 =

z z (

u , v )

Mentre in forma cartesiana si rappresenta con un’equazione

f(x,y,z)=0.

Rappresentazione cartesiana di una curva

Una curva C si può rappresentare in forma cartesiana

con un sistema del tipo

=

 f ( x , y , z ) 0

 =

g ( x , y , z ) 0

Ad esempio una retta nello spazio si può scrivere come

intersezione di due piani.

Cilindri

Si chiama superficie cilindrica (o cilindro) una

superficie S che è unione di rette tutte parallele

ad una stessa retta. Tali rette si chiamano

generatrici del cilindro. Una curva C contenuta

in S e che incontra tutte le generatrici del cilindro

si chiama direttrice di S.

Osservazione

In generale un’equazione del tipo f(x,y)=0 (in cui

manca la variabile z) nello spazio rappresenta un

cilindro avente le generatrici parallele all’asse z.

Una direttrice di tale cilindro è ad esempio la

curva di equazioni f(x,y)=z=0. Analogamente le

equazioni del tipo f(x,z)=0 rappresentano un

cilindro parallelo all’asse y e le equazioni del tipo

f(y,z)=0 rappresentano un cilindro parallelo

all’asse x.

Rappresentazione parametrica di un cilindro

Se (l,m,n) sono i parametri direttori della generica generatrice g mentre

=

 x x (

t )

 = ∈ ⊆

y y (

t ) t I R

 =

z z (

t )

sono le equazioni parametriche della curva direttrice C allora l’equazione del cilindro

associato alla coppia (g,C) si ottiene eliminando il parametro reale t tra le due

equazioni della generica generatrice condotta per il punto P(x(t), y(t), z(t)) sulla curva

C. Occorre eliminare t tra le due equazioni − − −

x x (

t ) y y (

t ) z z (

t )

= = .

l m n

Con la convenzione che se il denominatore è nullo allora il numeratore è nullo.

Esempio

Determinare l’equazione del cilindro avente come

 2

=

x 3

t

direttrice la curva C di equazioni:  = +

y t 1

 = − +

z t 1

e generatrici parallele al vettore v(1,2,1)

2 − −

− + −

y t 1

x 3

t z t 1

Soluzione: = = .

1 2 1

Continuazione dell’esempio

Eliminando t dalle due equazioni

 

2 2 − +

− = − − − = − − y 2 z 1

2 ( x 3

t ) y t 1 2 x y 6

t t 1

⇒ ⇒ =

t

 

− − = + − − = − 3

y t 1 ( z t 1

) 2 y 2 z 3

t 1

 

2

− + − +

 

y 2 z 1 y 2 z 1

− = − −

 

2 x y 6 1

 

3 3

2

− − + = − +

3 x y z 2 ( y 2 z 1

)


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Equazione della sfera. Centro e raggio di una sfera. Intersezioni tra un piano ed una sfera. Circonferenza nello spazio. Ricerca del centro e del raggio. Piano tangente ad una sfera in un suo punto. Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto. Quadriche. Equazione di una quadrica. Matrice associata ad una quadrica. Classificazione affine delle quadriche. Rappresentazione parametrica di una curva. Rappresentazione parametrica di una superficie. Rappresentazione cartesiana di una curva. Cilindri. Rappresentazione parametrica di un cilindro. Coni.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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