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Lezione 22

Criterio del rapporto

Teorema (Criterio del rapporto)

Sia ∞

X a

n

n=1

una serie a termini positivi tale che

a

n+1

lim = `;

a

n→+∞ n

se 1 allora la serie diverge,

` >

se 0 1 allora la serie converge,

` <

se 1 niente si può dire sul carattere della serie.

` = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 22 9 / 15

Lezione 22

Criterio di Leibniz

Per le serie a segno alterno, cioè del tipo

X n a

(−1) n

n=1

≥ ∈

con a 0 per ogni n abbiamo il seguente criterio.

N,

n

Teorema (Criterio di Leibniz)

Sia ∞

X n a

(−1) n

n=1 {a }

una serie a segno alterno con la successione definitivamente

n

positiva, infinitesima e decrescente. Allora la serie converge. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 22 10 / 15

Lezione 22

Studio del carattere di una serie

Domanda: come si utilizzano gli strumenti?

Si tratta di farsi le domande giuste.

Il termine generale è infinitesimo? Se non lo è la serie diverge o è

1 irregolare e di solito non ci serve sapere altro. Se lo è si va al

punto successivo.

Il segno del termine generale è positivo (almeno definitivamente)?

2 Se lo è usiamo o il Teorema del confronto asintotico oppure il

Criterio del rapporto. Se non lo è siamo nei guai, a meno che non

sia una serie a segno alterno, nel qual caso abbiamo solamente il

Criterio di Leibniz. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 22 11 / 15

Lezione 22

Studio del carattere di una serie

Esempio

Determinare il carattere delle serie

∞ n

2

X

(a) ,

n

n 2

+

n=1

∞ n

4

X

(b) ,

n−2

9

n=1

∞ n

X

(c) ,

n

3

n=1

∞ 2

n

X

(d) .

3

1 2n

+

n=1

Tutte e quattro le serie sono a termini positivi e quindi regolari: o dsm

convergono o divergono.

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 22 12 / 15

Lezione 22

Studio del carattere di una serie

La prima serie ha il termine generale non infinitesimo poiché

n n 1

2 2 lim

lim 1

lim = =

= n

n

n

n

n 2 1

+ +

1

2 + n→+∞

n→+∞ n→+∞ n

n 2

2

e quindi diverge.

La seconda è una serie geometrica (camuffata) poiché

∞ ∞ ∞ ∞ n

n n n

4 4 4 4

X X X X

· ·

81 81

= = = .

−2 n

n−2 n · 9 9

9 9 9

n=1 n=1 n=1 n=1

4 1 ed inoltre è

Chiaramente la serie converge in quanto q <

= 9

uno dei rari casi in cui possiamo calcolare il valore; infatti

∞ !

n

4 1 9 324

X

· − −

81 1 81 1

81 = .

= =

4

9 5 5

1 9 dsm

n=1

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 22 13 / 15

Lezione 22

Studio del carattere di una serie

La terza verifica la condizione necessaria infatti

n

lim 0.

=

n

3

n→+∞ n

Proviamo ad utilizzare il Criterio del rapporto dove a :

=

n n

3

n+1 n

n 1 n 1 1

a 3

+ +

n+1 n+1

3 ·

lim lim lim

lim = = = =

n n+1

a n 3n 3

3

n→+∞

n→+∞ n→+∞

n→+∞ n n

3

1 1 la serie converge.

Essendo il limite <

3

La quarta verifica la condizione necessaria infatti

2 2

n n 1

lim lim lim 0

= = =

3 3 2n

1 2n 2n

+

n→+∞ n→+∞ n→+∞ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 22 14 / 15


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Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Serie numeriche: definizioni, somme [math]n[/math]-ime, carattere di una serie, condizione necessaria per la convergenza. Serie particolari: serie geometrica e serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto (asintotico), criterio del rapporto. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Esempi ed applicazioni dei criteri.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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