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1

1.1 Funzioni analitiche ∞ ⊂ ∈

Si consideri una funzione f di classe C in un intervallo aperto I Sia x I.

R. 0

Si dice serie di Taylor centrata in x = x della funzione f la serie di potenze

0

∞ (n)

f (x )

0

X n

(x x ) . (1.1)

0

n!

n=0

Valgono allora le seguenti osservazioni:

1) non è detto che la serie (1.1) converga in un intorno di x (cioè abbia raggio di

0

convergenza non nullo);

2) anche se la serie converge in un intorno di x potrebbe non convergere a f (x).

0

La seconda osservazione segue facilmente considerando il classico esempio dato

−1/x 1

da f (x) = e per x > 0 e f (x) = 0 per x 0. Si mostra facilmente (verificarlo !)

∞ (n) ≥

che f è di classe C e f (0) = 0 per ogni n 0. Quindi la serie (1.1) con x = 0

0

converge, per ogni x alla funzione identicamente nulla, e non a f .

R,

La prima osservazione è meno immediata e si basa sul seguente risultato:

Lemma di Borel Data una qualsiasi successione numerica a e x esiste una

R,

n 0

∞ (n)

∈ ≥

funzione f C (R) con f (x ) = a per ogni n 0.

0 n n

·

Allora, prendendo ad esempio a = n! n , la serie di Taylor (1.1) per la corrispon-

n

dente funzione avrà raggio di convergenza nullo.

Queste considerazioni motivano la seguente definizione. ∞

⊂ ∈

Definizione 1.1.1 (Funzioni analitiche). Sia I aperto e f C (I). Si dice

R

che f è analitica in x I se la sua serie di Taylor centrata in x converge a f (x)

0 0

per ogni x in un intorno di x . Si dice che f è analitica in I se è analitica in ogni

0

x I.

0 Ad esempio, le funzioni polinomiali sono le più semplici funzioni analitiche in R.

Più in generale potrebbe dimostrarsi che ogni serie di potenze di centro x e raggio

0 −

di convergenza r > 0 definisce una funzione analitica nell’intervallo aperto (x

0

r, x + r) (quindi, non solo in x , come è ovvio).

0 0

Il seguente risultato fornisce una condizione sufficiente, sulla crescita delle derivate,

affinché una data funzione di classe C sia sviluppabile in serie di Taylor convergente

in un assegnato intervallo aperto. ∞ −

Teorema 1.1.2. Sia f una funzione di classe C nell’intervallo (x δ, x + δ).

0 0

Supponiamo che esista una costante M tale che

(n) n

|f ≤ ∀x ∈ − ∀n

(x)| M , (x δ, x + δ), = 1, 2, . . . (1.2)

0 0 ∈ −

Allora la serie di Taylor di f centrata in x converge a f (x) per ogni x (x

0 0

δ, x + δ).

0 −1 −1/x

1 (n) (n)

suggerimento: verificare, per induzione, che f (x) = p (x )e per x > 0 e f (x) = 0

2n

per x 0, per un opportuno polinomio p di grado 2n.

2n 2

Dimostrazione. Sia n (k)

f (x )

0

X k

(x) =

P x

n,x 0 k!

k=0

il polinomio di Taylor di f centrato in x , di ordine n. Per la formula di Taylor con

0

∈ ∈

il resto di Lagrange esiste ξ (x , x) se x > x , o ξ (x, x ) se x < x per cui

n 0 0 n 0 0

n+1

|x − |)

1 (M x

0

(n+1) n+1

|f − |f − | ≤

(x)|

(x) P (ξ )||x x , (1.3)

n,x n 0

0 (n + 1)! (n + 1)! n

|x−x |)

∞ (M

P 0

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato la (1.2). Poiché la serie n=0 n!

→ ∞.

converge, l’ultimo termine in (1.3) tende a zero per n Questo prova la con-

(x) a f (x) e conclude la dimostrazione.

vergenza di P

n,x 0 x

Il precedente risultato può applicarsi per provare che la funzione esponenziale e

e le funzioni trigonometriche sin x, cos x sono analitiche in R.

x (n) x x +δ

|f ≤ ∈

Ad esempio, posto f (x) = e , osserviamo che (x)| = e e per x

0

x +δ

(x δ, x + δ). Pertanto (1.2) è verificata con M = e + 1, da cui f (x) =

0

0 0

x

∞ e n

0

P − ∈ −

(x x ) per ogni x (x δ, x + δ). Siccome δ è arbitrario la serie

0 0 0

n=0 n! x ∈

converge a e per ogni x R.

Riportiamo qui alcuni sviluppi di Taylor notevoli, con il corrispondente intervallo

2

di validità : ∞ ∞ n

1 (−1)

X X

x n 2n+1

∀x ∈ ∀x ∈

e = x , sin x = x ,

R; R;

n! (2n + 1)!

n=0 n=0

∞ ∞

n

(−1) 1

X X

2n n

∀x ∈ ∀x ∈

cos x = x , = x , (−1, 1);

R; −

(2n)! 1 x

n=0 n=0

∞ ∞

n−1 n

(−1) (−1)

X X

n 2n+1

∀x ∈ ∀x ∈

log(1+x) = x , (−1, 1], arctg x = x , [−1, 1].

n 2n + 1

n=1 n=0

1.2 Soluzioni analitiche di equazioni differenziali

Una applicazione classica delle serie di potenze si incontra nella ricerca di soluzioni

analitiche di equazioni differenziali. Illustriamo il cosiddetto metodo di integrazione

per serie con un esempio molto semplice.

Si consideri il problema di Cauchy

( 0

x = ax

x(0) = x .

0

2 Come esercizio, si eseguano tutte le verifiche. Per la funzione log(1 + x) conviene integrare

1

termine a termine da 0 a x lo sviluppo di e applicare il Teorema di Abel per recuperare pure

1+t 1

l’estremo x = 1; per arctg x integrare da 0 a x lo sviluppo di e applicare il Teorema di Abel

2

1+t

per ciascuno dei due estremi. 3

∞ n

P

Cerchiamo la soluzione nella forma x(t) = b t , in un intorno di 0. Dovrà

n

n=0

allora essere innanzi tutto b = x . Sostituendo nell’equazione l’espressione per x(t)

0 0

e derivando termine a termine si ottiene

∞ ∞

X X

n−1 n

nb t = a b t .

n n

n=1 n=0

Uguagliando i coefficienti dei termini dello stesso grado si ricava b = ab = ax ,

1 0 0

2 3 n ≥

b = ab /2 = a x /2, b = ab /3 = a x /3!, . . .. Quindi, b = a x /n!, n 0, da

2 1 0 3 2 0 n 0

cui ∞ n

a

X n at

x(t) = x t = x e ,

0 0

n!

n=0

come il lettore già sapeva.

Si osservi che la derivazione termine a termine è giustificata, a posteriori, all’interno

dell’intervallo di convergenza (che in questo caso è tutto R).

In generale è evidente che le eventuali soluzioni non analitiche non si potranno

trovare con questo metodo.

Ad esempio, si consideri l’equazione differenziale lineare di ordine n

0

(n) (n−1)

x + a (t)x + . . . + a (t)x + a (t)x = f (t), (1.4)

n−1 1 0

− ⊂

dove le funzioni a (t), j = 0, . . . , n 1, sono analitiche in un intervallo aperto I R.

j

Allora, siccome il prodotto e la somma di funzioni analitiche sono ancora funzioni

analitiche, se f non è analitica in un dato punto t I, nessuna soluzione x(t) di

0

(1.4) sarà analitica in t .

0 ∞

k

Si osservi che, tuttavia, se f è di classe C o C in un intorno di t allora tutte

0

k+n

le soluzioni saranno di classe C o, rispettivamente, C in un intorno di t . Per

0

n

vedere questo, si noti che x è per ipotesi di classe C , perché si possano eseguire

in senso classico le operazioni di derivazione in (1.4). Allora, se ad esempio f è di

1 (n) 1

classe C risulta dall’equazione stessa che x è di classe C e quindi x è di classe

n+1

C . In modo simile si ragiona in generale.

Il seguente teorema ci dice che un risultato simile, di regolarità delle soluzioni, vale

anche nel caso analitico.

Teorema 1.2.1. (Teorema di ipoellitticità analitica) Siano a (t), j = 0, . . . , n−

j

1, funzioni analitiche in un intervallo aperto I Allora, se f è analitica in un

R.

dato punto t I, ogni soluzione x(t) di (1.4) è analitica in t .

0 0

1.3 Funzioni periodiche e serie di Fourier

Una funzione f : si dice periodica di periodo T > 0 (o anche T -periodica)

R R ∈

se f (x + T ) = f (x) per ogni x Se f ha periodo T allora anche i multipli kT ,

R.

k = 1, 2 . . . , sono periodi. Si dice che T è il periodo minimo se non esiste alcun

0

periodo T < T . Nel seguito ci concentreremo su funzioni periodiche di periodo 2π e

4

rimandiamo al paragrafo 1.7 per una discussione dei cambiamenti da apportare alle

formule nel caso generale.

I più importanti esempi di funzioni 2π-periodiche sono le funzioni trigonometriche

sin x, cos x e, più in generale, le funzioni cos(kx), sin(kx), con k = 1, 2, . . .. Cosı̀ le

loro combinazioni lineari, ossia i polinomi trigonometrici

n

X ∈

α + α cos(kx) + β sin(kx), α , α , β (1.5)

R,

0 0

k k k k

k=1

hanno pure periodo 2π. È chiaro che le funzioni del tipo (1.5) non esauriscono la

classe di funzioni 2π-periodiche, perché quelle sono tutte analitiche mentre esistono

evidentemente funzioni 2π-periodiche discontinue. Tuttavia, in un senso che precis-

eremo in seguito, ogni funzione 2π-periodica e integrabile sull’intervallo [−π, π] può

rappresentarsi come somma di una serie del tipo

X

a + a cos(kx) + b sin(kx), (1.6)

0 k k

k=1

per opportuni coefficienti a , a , b , detti coefficienti di Fourier della funzione f .

0 k k

Essi possono calcolarsi a partire dalla uguaglianza

X

f (x) = a + a cos(mx) + b sin(mx), (1.7)

0 m m

m=1

ragionando nel modo seguente. Si moltiplicano entrambi i membri di (1.7) per

3

cos(kx), e si integra su [−π, π]. Ammettendo di poter integrare termine a termine

e tenendo conto delle identità (verificarle!) 

2π se m = k = 0,

π 

Z  6

cos(mx) cos(kx) dx = (1.8)

π se m = k = 0,

−π  6

0 se m = k;

e π

Z ∀k,

sin(mx) cos(kx) dx = 0 m, (1.9)

−π

si trova π

Z

1

a = f (x) dx, (1.10)

0 2π −π

π

Z

1 ≥

f (x) cos(kx) dx, k 1. (1.11)

a =

k π −π

3 questo si può fare, ad esempio, se la serie converge uniformemente su [−π, π], ma anche sotto

condizioni meno restrittive 5

Analogamente, moltiplicando la (1.7) per sin kx e integrando termine a termine,

tenendo conto di (1.9) e delle identità (

π 6

Z π se m = k = 0,

sin(mx) sin(kx) dx = (1.12)

6

0 se m = k;

−π

si ottiene π

Z

1 ≥

b = f (x) sin(kx) dx, k 1. (1.13)

k π −π

In generale, data una funzione f 2π-periodica e integrabile su [−π, π] la serie (1.6),

con a , a , b dati dalle formule (1.10),(1.11),(1.13), è detta serie di Fourier di f .

0 k k

Osserviamo infine che nelle formule per i coefficienti di Fourier si potrebbe in-

tegrare su un qualsiasi altro intervallo di lunghezza 2π. Infatti per ogni funzione g

a+2π π

R R

2π-periodica e integrabile su [−π, π] risulta g(x) dx = g(x)dx. Lasciamo

−π

a

la verifica di questo fatto come esercizio per il lettore.

1.4 Interpretazione geometrica di una serie di Fourier

In questo paragrafo intendiamo presentare una interpretazione geometrica piuttosto

illuminante dello sviluppo in serie di Fourier. La motivazione è ben illustrata da

questo passo di Maurice Fréchet (1906):

“Un gran numero di elementi che intervengono in matematica sono completa-

mente determinati da una serie infinita di numeri reali o complessi: ad esempio, una

serie di Taylor è determinata dalla successione dei suoi coefficienti [...]. Si possono

cosı̀ considerare i numeri della successione che determina ciascuno degli elementi

come le coordinate di questo elemento visto come punto di uno spazio (E ) avente

ω

dimensione numerabile. Ci sono molti vantaggi a lavorare cosı̀. Prima di tutto, il

vantaggio che appare sempre quando si usa il linguaggio geometrico, che favorisce

l’intuizione a causa delle analogie a cui esso dà luogo.”

Iniziamo quindi con un po’ di terminologia.

Sia E uno spazio vettoriale reale. × →

Diciamo che una applicazione (·|·) : E E è un prodotto scalare

R

semidefinito se è

• bilineare: ∀x, ∈ ∀α, ∈

(αx + βy|z) = α(x|z) + β(y|z) y E, β R

∀x, ∈ ∀α, ∈

(z|αx + βy) = α(z|x) + β(z|y) y E, β R;

• ∀x, ∈

simmetrica: (x|y) = (y|x), y E.

• ≥ ∀x ∈

semidefinita positiva: (x|x) 0, E.

·)

Diciamo che l’applicazione (·, è un prodotto scalare se, in aggiunta, è

• definita positiva: (·|·) è semidefinita positiva e inoltre (x|x) = 0 =⇒ x = 0. 6

A partire da un prodotto scalare semidefinito (·|·), si definisce una nuova funzione

k · k →

: E R, p

kxk ∈

= (x|x), x E. 4

Questa funzione è una seminorma su E, ossia soddisfa le seguenti tre proprietà :

• kxk ≥ ∀x ∈

0, E;

• kαxk |α|kxk, ∀x ∈ ∀α ∈

= E, R;

• kx ≤ kxk kyk, ∀x, ∈

+ yk + y E (disuguaglianza triangolare).

Se (·|·) è definito positivo (quindi un prodotto scalare) allora vale anche

• kxk = 0 =⇒ x = 0. k · k

In questo caso si dice che è una norma su E.

n ∈

Esempio. Sia E = ; x = (x , . . . , x ), y = (y , . . . , y ) E. Allora l’applicazione

R 1 n 1 n

definita da (x|y) = x y è un prodotto scalare semidefinito (ma non definito se

1 1 kxk |x |.

n > 1). La seminorma associata è = Invece l’usuale prodotto scalare

1

n

P x y è un prodotto scalare nel senso specificato sopra, e la norma

(x|y) = j j

j=1 nj=1 2 1/2

P

kxk x ) .

associata è quella euclidea, = ( j k · k

Fissiamo quindi un prodotto scalare semidefinito (·|·) su E, e sia la seminorma

associata. n ∈

Imitando la terminologia usuale in diciamo che due vettori x, y E sono

R

ortogonali (rispetto a (·|·)), e scriviamo x⊥y, se (x|y) = 0 (si noti che un vettore

potrebbe essere ortogonale a se stesso, ma questo non sarà un problema per i nostri

{e }, ∈

scopi). Inoltre una famiglia di vettori k , definisce un sistema di vettori

Z

+

k

ortonormali se gli e sono a due a due ortogonali e ciascuno ha seminorma uno,

k

|e 6

vale a dire (e ) = δ (per definizione, δ = 1 se j = k, δ = 0 se j = k).

j k jk jk jk

Il seguente risultato è alla base della interpretazione a cui si accennava all’inizio.

Teorema 1.4.1. Sia E uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare semidefinito

× → {e }, ∈

(·|·) : E E e sia k , un sistema di vettori ortonormali. Sia

R Z

+

k

} ⊂ ≥ ∈

E = span{e , . . . , e E. Allora per ogni n 0 e ogni f E esiste un unico

n 0 n

vettore x E tale che

n kf − kf −

xk = min zk.

z∈E

n

Precisamente, n

X |e

x = c e , con c = (f ), (1.14)

k k k k

k=0

e valgono le seguenti formule: n

X

2 2 2

kf − kf k −

xk = c ; (1.15)

k

k=0

4 le prime due sono di verifica immediata, la terza è conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-

|(x|y)| ≤ kxkkyk, ∀x, ∈

Schwarz: y E. 7

X 2 2

≤ kf k

c (disuguaglianza di Bessel). (1.16)

k

k=0 ∈

Dimostrazione. Cerchiamo gli x E che realizzano il minimo per il funzionale

n n

P ∈

kf − ∈ ∈ c e per qualche c

Φ(z) = zk, z E . Siccome x E, sarà x = R.

n k k k

k=0

Ora, 2

n n n !

X X X

− − −

f c e = f c e f c e

k k k k k k

k=0 k=0 k=0

n n

X X

2 2

k − |e

=kf + c 2 c (f )

k k

k

k=0 k=0

n n

X X

2 2 2

− |e kf k − |e

= (c (f )) + (f ) . (1.17)

k k k

k=0 k=0

Pertanto la funzione a primo membro di (1.17) ha un unico punto di minimo, che si

|e ∀k

ottiene quando c = (f ), = 0, 1, . . . , n.

k k |e

Infine, sostituendo in (1.17) c = (f ) si deduce subito (1.15), la quale a sua volta

k k

implica n

X 2 2

≤ kf k ∀n ≥

c , 0.

k

k=0

Passando al limite per n +∞ in questa disuguaglianza si ottiene (1.16).

k · k ∈

Osservazione 1.4.2. La restrizione di a E definisce una norma, cioè y

n

kyk

E e = 0 implica y = 0. Per verificare questo fatto basta esprimere y come

n 2

kyk

combinazione lineare di e e calcolare come nella dimostrazione del Teorema

k

1.4.1. n

P |e

(f )e in (1.14) è l’unico

E’ importante osservare che il vettore x = k k

k=0 5

− − ∀z ∈

vettore di E per cui (f x)⊥E (ossia (f x)⊥z, E ) . Questo fatto si

n n n

esprime dicendo che x è la proiezione ortogonale di f su E .

n

Vediamo ora come le precedenti considerazioni possano applicarsi al caso specifico

delle serie di Fourier (di funzioni, diciamo, 2π-periodiche).

Si prende come E lo spazio delle funzioni a valori reali integrabili secondo Rie-

6

mann su [−π, π] e si definisce π

Z

|g) ∈

(f = f (x)g(x) dx, f, g E. (1.18)

−π

5 − ≤ ≤ −

Verifica: basta mostrare che f x è ortogonale a tutti gli e con 0 j n. Ma (f x|e ) =

j j

n

n

P P

|e − |e − |e |e |e − |e

(f ) (x|e ) = (f ) (f )(e ) = (f ) (f )δ = 0.

j j j j j

k k k kj

k=0 k=0 ∈

Per quanto riguarda l’unicità, se esistessero due vettori x , x E con quella proprietà allora

1 2 n 2

− − − ∀z ∈ − kx − k

sarebbe ((f x ) (f x ))⊥z E , e prendendo z = x x otterremmo x = 0, da

1 2 n 2 1 2 1

cui x = x per l’Osservazione 1.4.2.

2 1

6 Si ricordi che il prodotto di due funzioni integrabili (secondo Riemann) è ancora integrabile. 8

k · k

La seminorma associata è indicata con , ossia

2

π

Z 2

2 ∈

kf k f (x) dx, f E.

=

2 −π kf k

Si osservi che la funzione f può essere non identicamente nulla pur essendo = 0

2

(prendere, ad esempio, una funzione nulla ovunque tranne in un numero finito di

7

punti) . Per questo motivo abbiamo dovuto considerare prodotti scalari che non

sono necessariamente definiti positivi.

Le formule (1.8),(1.9) e (1.12) mostrano che le seguenti funzioni costituiscono un

sistema di vettori ortonormali rispetto a questo prodotto scalare semidefinito:

1 1 1

√ √ √ ≥

, cos(kx), sin(kx), k 1. (1.19)

π π

2π √ √ √

Gli elementi del sottospazio vettoriale generato da 1/ 2π, cos(kx)/ π, sin(kx)/ π,

con k n sono i polinomi trigonometrici di grado n. Ciascuno di essi è della

forma n

X ∈

α + α cos(kx) + β sin(kx), α , α , β R.

0 0

k k k k

k=1

Ora, data una funzione f periodica di periodo 2π e integrabile secondo Riemann in

[−π, π], la sua restrizione a [−π, π] definisce un elemento di E, e si vede subito che

i prodotti scalari di f con le funzioni in (1.19) sono dati da

1

f = 2πa (1.20)

0

2π √

1

√ ≥

πa , k 1 (1.21)

f cos(kx) = k

π √

1

√ ≥

f sin(kx) = πb , k 1, (1.22)

k

π

dove π

Z

1

a = f (x) dx, (1.23)

0 2π −π

π

Z

1 ≥

a = f (x) cos(kx) dx, k 1, (1.24)

k π −π

π

Z

1 ≥

b = f (x) sin(kx) dx, k 1, (1.25)

k π −π

sono, per definizione, i coefficienti di Fourier di f .

Pertanto riconosciamo nella ridotta n-esima

n

X

S (f )(x) = a + a cos(kx) + b sin(kx), (1.26)

n 0 k k

k=1

7 kf k ⇐⇒

Si può vedere che = 0 f (x) = 0 per ogni x in cui f è continua.

2


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Jacko

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dell'autoveicolo
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Nicola Fabio.

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