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SEGNALI PERIODICI: LA SERIE DI FOURIER

1 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Rappresentazione dei segnali periodici

T o

Un segnale periodico con periodo T puo’ essere rappresentato come somma di

o

esponenziali complessi con frequenza pari ad un multiplo intero della

=1/T

frequenza fondamentale (f ) e con opportuna ampiezza e sfasamento

o 0

iniziale: ∞ ∞

{ ( )

} { } { }

∑ ∑

y (

t ) = A exp j 2

π k f t + ϑ = A exp j ϑ exp j 2

π k f t

1

42

43

k o k k k o

k = −∞ = −∞

k Y

k

∞ { }

( ) = exp 2

π

y t Y j k f t

k o

= −∞

k

Lo sviluppo del segnale periodico nelle sue componenti armoniche viene detto

sono chiamati Coefficienti della Serie

Serie di Fourier (i coefficienti complessi Y k

di Fourier).

2 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Calcolo dei coefficienti

ϑ

A

L’ampiezza e lo sfasamento iniziale degli esponenziali

k

k Y

componenti armoniche),

complessi (detti cioe’ i coefficienti complessi ,

k

si trovano con un semplice integrale: T / 2

1 1 o

{ } { }

∫ ∫

( ) exp 2 ( ) exp 2

= − π = − π

Y y t j k f t dt y t j k f t dt

k o o

T T

o o −

T T / 2

0 o  2 2

= +

( ) A a b

= exp ϑ = cos ϑ k k k

A j

Y a A

k k

k k k k 

 b

= + = sin ϑ

Y a jb =

ϑ arctan k

b A

 

k k k k k k k a

 k

3 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Dimostrazione

{ }

y(t) = exp 2

π

Y j n f t

n o

= −∞

n T / 2

1 o { }

Y ( ) exp 2

π

= − =

y t j k f t dt

o

k T

o T / 2

− o

T / 2

1 ∞

o { } { }

∫ exp 2 exp 2

π π

= ⋅ −

Y j n f t j k f t dt

n o o

T = −∞

n

o −

T / 2

o

T / 2

1 ∞

o { ( ) }

∫ exp 2

π

= −

Y j n k f t dt

n o

T n = −∞

o T / 2

− o 

 T T

/ 2 / 2 0 se ≠

1 ∞ 0 0 n k

( ( ) ) ( ( ) )

∑ ∫ ∫

cos 2 sin 2

π π =

= − + − 

 

Y n k f t dt j n k f t dt

n o o se =

Y n k

T 

n = −∞ n

o T T

/ 2 / 2

− −

0 0

n k

Se e’ diverso da l’integrale e’ nullo in quanto si integra un numero intero di

/|n-k| ).

cicli di un segnale sinusoidale (di periodo T 0

Se n=k l’integrale e’ diverso da zero in quanto si integra una costante.

4 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Simmetrie della serie di Fourier di segnali reali

Se il segnale periodico y(t) e’ reale la sua espansione in serie di Fourier gode di

simmetria complessa coniugata: =

( ) ( ) 

*

= A A

exp ϑ = exp − ϑ

Y Y A j A j k − k

k k 

k k − k − k = −

ϑ ϑ

 k − k

=

+ = − a a

a jb a jb k − k

− −

k k k k  = −

b b

 k − k

INFATTI: *

 

/ 2

T { }

o

1 ( )

* π

= − − =

 

Y y (

t ) exp j 2 k f t dt

k o

−  

T

 

o / 2

T

o [ ]

/ 2

T { } *

o

1 ( )

∫ π

= − − =

( ) exp 2

y t j k f t dt

o

T

o / 2

T

o

/ 2 / 2

T T

{ }

o o

1 1

( ) { }

∫ ∫

π π

= + − = − =

y ( t ) exp j 2 k f t dt y (

t ) exp j 2 kf t dt Y

o o k

T T

o o

/ 2 / 2

T T

− −

o o

5 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Serie di Fourier di segnali reali

Se il segnale periodico y(t) e’ reale la serie di Fourier puo’ scriversi anche come somma di

coseni e seni:  

∞ { } { { }

} { }

∑ ∑

( ) exp 2 exp 2 exp 2

= = +  + − 

π π π

y t Y j k f t Y Y j k f t Y j k f t

1

4

4

4

2

4

4

4

3

k o o k o k o

 

 

k k 1

=

= −∞ z

∞ ∞

{ } { } { { }

}

∑ ∑

*

exp 2 exp 2 2 Re exp 2

= + + − = +

π π π

Y Y j k f t Y j k f t Y Y j k f t

1

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

3

o k o k o o k o

k 1 k 1

= =

{ } { } { } { } { }

*

z z Re z j Im z Re z j Im z 2 Re z

+ = + + − =

{ } = +

= exp ϑ Y a jb

Y A j k k k

k k k { } {

( )

( ( ) ( )

)

}

{ } { { }

} Re Re cos 2

π sin 2

π

= + +

= +

Re Re exp 2

π ϑ z a ib k f t j k f t

z A j k f t k k o o

k o k ∞

∞ ( ) ( )

( )

∑ ( ) 2 cos 2

π sin 2

π

= + −

= + +

( ) 2 cos 2

π ϑ y t Y a k f t b k f t

y t Y A k f t o k o k o

o k o k =

k 1

=

k 1

L’unica armonica che non e’ moltiplicata per 2 e’ quella a frequenza T / 2

1 o

= ( )

(valore

zero che viene detta la componente continua del segnale Y y t dt

0 T

medio del segnale). 0 T / 2

− o

6 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Serie di Fourier di segnali reali pari

Se il segnale periodico y(t) e’ reale e pari:

+ + +

T / 2 T / 2 T / 2

1 1

0 0 0

j

{ } ( ) ( )

∫ ∫ ∫

π π π

= − = −

( ) exp 2 ( ) cos 2 ( ) sin 2

Y y t j kf t dt y t kf t dt y t kf t dt

k o o o

T T T

o o 0

− − −

T / 2 T / 2 T / 2

0 0 0

+ T / 2

2 0 ( )

∫ π

( ) cos 2

=

Y y t kf t dt

k o

T

o 0 Y = a .

I coefficienti della serie di Fourier sono reali: Inoltre, dovendo valere la simmetria

k k

Y = Y , Y = Y .

-k* i coefficienti della serie di Fourier sono pari:

k k -k

La serie di Fourier e’ una somma di soli coseni:

∞ ( )

( ) 2 cos 2

π

= +

y t Y a k f t

o k o

=

k 1

7 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Serie di Fourier di segnali reali dispari

Se il segnale periodico y(t) e’ reale e dispari:

+ + +

T / 2 T / 2 T / 2

1 1

0 0 0

j

{ } ( ) ( )

∫ ∫ ∫

π π π

= − = −

( ) exp 2 ( ) cos 2 ( ) sin 2

Y y t j kf t dt y t kf t dt y t kf t dt

k o o o

T T T

o o 0

− − −

T / 2 T / 2 T / 2

0 0 0

+ T / 2

2 0

j ( )

∫ π

( ) sin 2

= −

Y y t kf t dt

k o

T

o 0 Y = jb .

I coefficienti della serie di Fourier sono immaginari: Inoltre, dovendo valere la

k k

Y = Y , Y = -Y .

-k* i coefficienti sono dispari:

simmetria k k -k

La serie di Fourier e’ una somma di soli seni:

∞ ( )

( ) 2 sin 2

π

=

y t b k f t

k o

=

k 1

8 Fondamenti di Segnali e Trasmissione


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Fondamenti di Telecomunicazioni della Prof.ssa Monica Nicoli, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: segnali periodici, la serie di Fourier; serie di Fourier di segnali reali, di segnali pari e di segnali dispari; espansione in serie di Fourier, l'onda quadra, l'esponenziale complesso, il coseno, il seno; treno regolare di impulsi ideali.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria fisica
SSD:
A.A.: 2004-2005

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di telecomunicazioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Nicoli Monica.

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