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Modulo VI – Modelli dinamici

3.1 Aggiustamento parziale

Nei modelli di disequilibrio si suppone spesso che una variabile si aggiusti nel

y t valore

, in funzione dello scarto tra il

tempo, rispetto al suo valore precedente y t−1

*

desiderato (obiettivo) di quella variabile e quello effettivamente verificatosi .

y y t−1

t

Si ha allora, in termini stocastici

− = γ − + (3.1.1)

*

y y ( y y ) u

− −

t t 1 t t 1 t

γ=0 γ=1

con . Se non si ha aggiustamento mentre se questo è immediato, cioè

0≤γ≤1 −

*

la discrepanza è assorbita totalmente nel tempo .

y y t

t t 1

Lo schema (3.1.1) può derivare, secondo l'approccio nel classico, anche da

considerazioni relative ad una particolare funzione di perdita che può essere

adottata dagli operatori economici. Se essa è quadratica nella differenza tra valore

− −

*

effettivo e valore desiderato e nell'altra , si ha

y y y y

t t−1

t t

L = − + − (3.1.2)

* 2 2

(y c y y c y y

) ( ) ( )

1 2 1

t t t t t

Questa funzione di perdita può essere interpretata nel senso che l'operatore tende a

minimizzare sia il quadrato dello scarto tra valore desiderato e valore effettivo, sia

da un tempo all'altro.

il quadrato delle variazioni di y

t

L rispetto ad ed uguagliando a zero si ottiene

Derivando la y

t

+ = +

*

c y c y c y c y −

1 t 2 t 1 t 2 t 1

+ = + + −

*

( c c ) y c y ( c c ) y c y

− −

1 2 t 1 t 1 2 t 1 1 t 1

+ − = −

*

( c c )( y y ) c ( y y )

− −

1 2 t t 1 1 t t 1 γ= +

schema di aggiustamento parziale

cioè lo (3.1.1) se si pone .

c c c

( )

1 1 2

è spesso determinato come funzione

Il valore desiderato della variabile y

t

(deterministica) di una o più variabili osservate. Nel caso lineare di una sola

variabile si ha

x

t = α + β (3.1.3)

*

y x

t t

per cui, sostituendo nella (3.1.1), si ottiene

=(1−γ) +αγ+βγ + (3.1.4)

y y x u

t t−1 t t

schema del tutto simile a quella del Koyck salvo per la mancanza del residuo

=αγ =(1−γ)

, e

ritardato. Ovviamente, i coefficienti del modello (3.1.4) sono a a

0 1

=βγ

.

a

2 β=1 nella (3.1.3). A tal

In certi casi può essere utile verificare l'ipotesi nulla H :

0

uopo possiamo riscrivere la (3.1.4) nella forma 3-2

Modulo VI – Modelli dinamici

− =αγ+γ( − + (3.1.5)

y y x y x u

)+γ(β−1)

t t−1 t t−1 t t

=γ(β−1)

, sia uguale a zero, supponendo

e verificare l'ipotesi che il parametro di x a

t

γ≠1

. Osservazione 3.1 - Lo schema di aggiustamento (3.1.1) detto del primo

* come variabile esplicativa. Ci possono

ordine perché contiene y y −

t t 1

essere, ma sono scarsamente utilizzati schemi di aggiustamento di

ordine superiore al primo.

Osservazione 3.2 - Gli schemi di aggiustamento parziale sono spesso

usati per rappresentare situazioni di disequilibrio, ma non sempre essi

si adattano ai dati.

La passeggiata aleatoria

γ=0

Se lo schema (3.1.1) diventa = + (3.1.6)

y y u

t t−1 t

passeggiata aleatoria (senza deriva ). È in effetti uno schema autoregressivo

detto 1 2

{ }

del primo ordine, sebbene il processo sia non stazionario.

y

t

Talvolta lo schema (3.1.6), molto utilizzato in economia, è esteso con l'aggiunta

di una intercetta = +µ+ (3.1.7)

y y u

t t−1 t

passeggiata aleatoria con deriva .

ed in tal caso è chiamato

La combinazione dell'aggiustamento parziale con le attese adattive

*

In molte situazioni il valore desiderato nella (3.1.3) è funzione di una variabile

y t

e

attesa x t = α + β (3.1.8)

* e

y x

t t

* può rappresentare il consumo permanente, funzione lineare del

Ad esempio y t

reddito permanente atteso.

In questo caso la (3.1.4) diventa

− − γ = αγ + βγ +

e

L y x u

[

1 (

1 ) ] t t t

e sostituendovi la !?

Random walk , in inglese.

1 Drift

, in inglese.

2 3-3

Modulo VI – Modelli dinamici

=(1−λ +(1−λ

L L y L x L u

(1−λ )[1−(1−λ) ] )αγ+βγ(1−λ) )

t t t

cioè =(1−λ +(1−λ

L L y L x L u

(1−λ )[1−(1−λ) ] )αγ+βγ(1−λ) )

t t t

o ancora

=(1+λ−γ) −λ(1−γ) +(1−λ)αγ+βγ(1−λ) + −λ

y y y x u u

t t−1 t−2 t t t−1

i cui parametri sono stimati con il vincolo

= + λ − γ = − γ −

c c

1 1

1 4

⎨ = − λ − γ = − γ

c c

(

1 ) (

1 )

⎩ 2 4

ovverossia = −

c c c c

/

1 2 4 4 3-4

Modulo VI – Modelli dinamici

3.2 Aggiustamento parziale moltiplicativo

Se nelle (3.1.1) e (3.1.3) sostituiamo alle variabili i loro logaritmi, eccetto che nel

residuo, otteniamo (3.2.1)

*

y y

= γ ⋅ +

t t

ln ln u t

y y

− −

1 1

t t

= α + β (3.2.2)

*

y x

ln ln

t t

schema di aggiustamento parziale moltiplicativo .

che rappresenta uno

Sostituendo, si ottiene l'equazione

=αγ+(1−γ)ln +βγln + (3.2.3)

y y x u

ln t t−1 t t

che possiamo scrivere nella forma

= + + + (3.2.4)

y a a y a x u

ln ln ln

t 0 1 t−1 2 t t

, e parametri da stimare.

con a a a

0 1 2

Elasticità di breve lungo periodo elasticità di breve

Dalla (3.2.3) si trae immediatamente l' periodo della rispetto

y

t

alla x

t ∂ ln y (3.2.5)

= βγ =

η = t a 2

b ∂ ln x t

mentre quella di lungo periodo può essere calcolata tramite la (3.2.2), ipotizzando

=

* . Allora

che nel lungo termine sia y y

t t η =β (3.2.6)

l

Se l'aggiustamento è immediato le due elasticità sono uguali.

Un secondo modo per ottenere l'elasticità di lungo periodo è quello di ipotizzare

= , costante cioè nel tempo. In questo caso la (3.2.4) diventa

y y

t t−1 a (3.2.7)

a 1

= + +

0 2

ln ln x u

y t t t

− − −

1 1 1

a a a

1 1 1

η =

ed è a a

/(1− )=β.

l 2 1 3-5

Modulo VI – Modelli dinamici

3.3 Aggiustamento reale o nominale della moneta

Esemplifichiamo quanto illustrato in precedenza con un modello di aggiustamento

parziale per la moneta, con il quale verificare le due ipotesi seguenti:

- la moneta si aggiusta secondo lo schema (3.2.1);

- se vale la !? per la moneta, l'aggiustamento è reale (l'ipotesi alternativa è che

l'aggiustamento sia nominale).

Sia la moneta desiderata data da (3.3.1)

*

m = β + β + β

t

ln ln y r

0 1 t 2 t

p t

dove =

* quantità di moneta nominale desiderata,

m t =

p livello dei prezzi,

t =

w reddito reale,

t tasso dell'interesse.

=

r

t e a semi-elasticità

La (3.3.1) è una funzione ad elasticità costante rispetto a w

t

costante rispetto ad . Si suppone che non vi sia illusione monetaria.

r

t

Utilizzando lo schema di aggiustamento (3.2.1) in termini reali si ottiene (3.3.2)

*

/ /

m p m p

= γ ⋅ +

t t t t

ln ln u t

/ /

m p m p

− − − −

1 1 1 1

t t t t

e combinando questo con la (3.3.1) si perviene ad una relazione del tutto simile alla

(3.2.4) m

m (3.3.3)

= + + + +

t t 1

ln ln ln u

a a w a r a

t t t

0 1 2 3 p

p −

t t 1

=β γ =0,1,2 =1−γ

Dove per e .

a i a

i i 3

Se lo schema di aggiustamento (3.2.1) viene utilizzato in termini nominali si ha

*

m m

= γ ⋅ +

t t

ln ln u t

m m

− −

t t

1 1

che combinata con la (3.3.1) determina l'equazione seguente

= + + + + − + (3.3.4)

ln m a a ln w a r a ln m (

1 a ) p u

t 0 1 t 2 t 3 t 1 3 t t

dove valgono le posizioni relative alla (3.3.3). 3-6


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta gli schemi di aggiustamento, come sviluppato nel corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi: Aggiustamento parziale, Aggiustamento moltiplicativo, Aggiustamento nominale della moneta, Aggiustamento con correzione del divario.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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