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Bene o pagamento contingente. Ogni bene puo’ essere distinto, a pari caratteristica fisica, per

Definizione 3

ogni stato e per ogni data. Per es. x diventa

1 t

x

1s

Lotteria. Oggetto di scelta in data t ponderato per le probabilità. Ovvero quantità media attesa

Definizione 4

di un bene nel periodo successivo, ponderando su tutti gli stati di natura.

t

S

X

t ts t

x = π x

` = E

t 1s

t

s =1

La nozione di quantità media attesa è piuttosto ostica. Siamo più abituati alla nozione di prezzo atteso.

Es. La quantità sia la vincita alla roulette.Sia ` (rosso) il guadagno se punto sul rosso, contingente all’evento

½ t+1

2 se esce rosso, con π = 1/2

s=1

` (rosso) = t+1

0 se esce nero, con π = 1/2

s=2

E` (rosso) = (1/2)2 + (1/2)0 = 1

Analogamente. Se punto il numero singolo (n = {1, ..., 36})

½ 36 se esce n, con π = 1/36

n

` (n) = 0

0 se esce n 6 = n, con π = 35/36

0

n

E` (n) = (1/36)36 + (35/36)0 = 1

Etc. Lo zero fa eccezione, per ripagare il costo del Casinò!

La stessa nozione può essere riferita ai prezzi.

Es. Prezzo del gelato domani ½ t+1

3000 se c’è il sole, con π = 2/3

t+1 s=1

p = t+1

1500 se piove, con con π = 1/3

s=2

t+1 t+1

t+1 = π 3000 + π 1000 = 2500

Ep s=1 s=2

2 Metodo di scelta

Si può calcolare l’utilità di ciascun bene contingente e POI ponderarla per le probabilità

t

S

X t+1

t+1 t+1

)= π U (x ) (1)

EU (x

s s 1s

t

s =1

oppure calcolare l’utilità del bene già ponderato. ⎤

⎡ t

S

X ⎦

⎣ t+1

t+1 t+1 (2)

) = U π x

U (Ex s 1s

t

s =1

”Utilità attesa”. Sotto 4 assiomi viene dimostrata l’esistenza e l’unicità della (1) come rap-

Definizione 5

presentazione delle preferenze del consumatore (ovvero unicità del vettore di probabilità). Inoltre essendo ”nor-

malizzata” dalle probabilità essa è, al contrario della f. di utilità normale, cardinale.

distribuzione di probabilità attribuita ai diversi stati di natura è ”soggettiva”

• La e dipende

ancora dalle preferenze del consumatore/ investitore.

”Utilità attesa normalizzata”Presa ), U (x ), ...U (x ), la

qualunque utilità ordinale U (x

Osservazione 1 1 2 s

t+1

pondero per le probabilità e divido ogni termine per il valore totale EU (x ), ottengo 1 e quindi le funzioni di

s

utilità attesa di diversi individui sono numericamente comparabili.

t

S

X

1 t+1

t+1

1= π U (x )

s 1s

t+1

EU (x )

s t

s =1

(Cfr Varian per dettagli assiomi) 2

3 Avversione al rischio

Nel seguito chiameremo l’utilità attesa come EU , ovvero valore atteso matematico dell’utilità (anche chiamata

”speranza matematica”).

La EU costituisce un riferimento per valutare il grado di avversione al rischio degli agenti.

”Accettare la scommessa” significa accettare l’utilità che capita nello stato di natura che si

Definizione 6

verifica. Ex-ante, questo vuol dire valutare il valore medio ponderato delle utilità ottenibili nei diversi stati di

natura. E quindi ottenere nel periodo successivo EU.

Ho 1000 lire, le investo e con prob. 1/2 posso ottenere 500 o 1500. Preferisco tenermi 1000 lire

Esempio 1

anche domani e quindi ottenere U (1000) oppure preferisco il valore atteso del partecipare alla scommessa?

1 1

EU = U (500) + U (1500)

2 2

Dipende dalla forma della mia funzione di utilità. Quindi, innanzitutto (x)

”Accettare la scommessa”⇒ EU

”Non accettare la scommessa”⇒ U(Ex)

Sulla base delle proprietà della funzione di utilità possiamo definire

Avversione al rischio, se

Definizione 7 EU (x) < U (Ex)

0 00

≥ 0, U ≤ 0]

Corrisponde ad una funzione concava [U

Propensione al rischio (agente amante del rischio), se

Definizione 8 EU (x) > U (Ex)

0 00

≥ 0, U ≥ 0]

Corrisponde ad una funzione convessa [U

Neutralità al rischio, se

Definizione 9 EU (x) = U (Ex)

0 ≥ 0, U = 0] .

Corrisponde ad una funzione lineare [U

Esempi. α , α < 1. Per esempio α = 1/2.

Funzione di utilità con avversione al rischio, CONCAVA: U (x) = x

α

Funzione di utilità con avversione al rischio, LINEARE: U (x) = x , α = 1.

α

Funzione di utilità con avversione al rischio, CONVESSA: U (x) = x , α > 1. Per esempio α = 1.5.

2

1.5

U(x) 1

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

Coefficiente di avversione al rischio.

Definizione 10

Assoluto 00

U (x)

− 0

U (x)

Relativo 00 (x)

U

−x 0

U (x)

3

Uscendo dal contesto delle scommesse ed entrando nel mondo reale, il futuro è qualcosa cui non si sfugge e

dunque si è soggetti , ovvero si ”entra nella scommessa” comunque.

Premio al rischio ρ tale che

Definizione 11 EU (x) = U (Ex − ρ) (3)

rappresenta la quantità massima di moneta che si è disposti a pagare ”per uscire dalla scommessa” ed ottenere

il valore medio della scommessa EU ( x) con certezza. Vedi fig. .

Esistono quindi due definizioni.

1. Se siamo in una situazione di incertezza e vogliamo uscirne, il premio al rischio rappresenta l’ammontare

di denaro che siamo disposti a pagare per ”uscire dall’incertezza”. La definizione matematica è la (3).

2. Se siamo in una situazione di certezza, il premio al rischio è la somma di denaro che induce un agente ad

”accettare l’incertezza”. La definizione matematica è

EU (x + δ) = U (Ex)

Per variazioni ”piccole” δ ≡ ρ.

Se l’agente è amante del rischio i segni dei due coefficienti saranno opposti al caso in cui l’agente sia avverso

al rischio. Se l’agente è neutrale al rischio, i due coefficienti sono nulli.

Ili premio al rischio rappresenta per esempio l’ammontare di moneta che la società assicuratrice pretende

per assumersi il rischio al posto dell’agente, che vuole evitarlo. Si può dimostrare che

00

1 U (x)

2

ρ = − σ x 0

2 U (x)

Per es. il premio al rischio è quanto si è disposti a pagare all’assicurazione per ottenere un reddito certo in

ogni evento. C

Equivalente di certezza. E’ il reddito W tale che

Definizione 12 ∼

EU ( W ) = U [EW − ρ]

dove def

C

W = EW − ρ

4 Assicurazioni

W = ricchezza; D = danno; K = valore assicurato (K ≤ D) ; γ = premio per l’assicurazione;

π = prob. di incendio. Eventi Incendio Non Incendio

Lotterie π 1 − π

Non Ass. W − D W

Assicurarsi W − D + K − γK W − γK

Per definizione, assicurarsi vuol dire NON accettare l’incertezza e, come vedremo, cercare di ottenere la stessa

ricchezza in ogni stato di natura. Pertanto:

”Assicurarsi” equivale a ”non partecipare alla scommessa” e prendere U (W ).

”Non assicurarsi” equivale a ”partecipare alla scommessa” ovvero, ad ”accettare l’incertezza” e dunque

ricevere EU (W ).

Procedimento formale secondo la teoria economica.

Produttore: Impresa assicuratrice o venditore di assicurazione. (Per ora prendere per dato, il meccanismo

verrà imparato nei capitoli relativi alla produzione).

Ipotesi: concorrenza perfetta ⇒ libera entrata ⇒ profitti nulli (ad hoc)

Il produttore deve decidere il prezzo % della polizza rispetto al capitale da rimborsare. Secondo la soluzione

di concorrenza perfetta max prof itti = π (γK − K) + (1 − π) γK = 0

γ 4

risulta γ = π, ovvero la polizza percentuale deve essere pari alla probabilità del danno.

Consumatore: Compratore di assicurazione

Il consumatore deve ottimizzare l’utilità attesa. Egli deve ponderare l’utilità attesa dal reddito in ogni

evento: nel caso di ”incendio” e nel caso di ”non-incendio”. La sua variabile decisione è la quantità di capitale

K da assicurare rispetto al massimo danno D. La scelta di K determina il pagamento della polizza pari a γK.

L’obiettivo è dunque scegliere K per massimizzare l’utilità attesa rispetto ai due stati di natura ”incendio”

”non-incendio”. Ricordare che le probabilità dei due eventi π e quindi (1 − π) contenute nella funzione di utilità

sono ”soggettive”! max EU (Ass) = πU (W − D − γK + K) + (1 − π) U (W − γK)

K

dove (W − D − γK + K) = x e (W − γK) = x rappresentano i ”consumi” nei due stati di natura.

s=1 s=2.

Massimmizzando rispetto a K

∂EU ( x) 0 0

(W − D − γK + K) (1 − γ) + (1 − π) U (W − γK) (−γ) = 0

: πU

∂K

e risistemando la condizione del I ordine risulta

0

U γ

(W − D − γK + K)

π = (4)

0

(1 − π) U (W − γK) (1 − γ)

L’equazione (4) rappresenta la solita condizione di tangenza fra il saggio marginale di sostituzione della funzione

di utilità (a sinistra) e il rapporto dei prezzi. Questa volta i ”prezzi” sono il prezzo relativo della polizza

assicurativa rispetto al suo complementare. Perché questa volta non c’è bisogno del vincolo di bilancio? Il

vincolo di bilancio è espresso dalla somma dei prezzi dei singoli eventi, in questo caso rappresentati da

γ + (1 − γ) = 1

Poiché il vincolo è sempre pari a 1 per costruzione, lo siomette. In generale ciò equivale a dire che la somma

della valutazione della probabilità da parte del mercato (la somma dei prezzi degli eventi) deve sommare a uno,

ovviamente, essendo probabilità.

Si noti che SE le probabilità soggettive Ss=1 Ss=1

{π } = {γ }

s s

la soluzione in K porta il consumatore ad ottenere lo stesso reddito in ogni stato di natura.

Ss=1 Ss=1

(da sapere!) ”Perfetta assicurazione”: se {π } = {γ } =⇒ x = x = ... = x .

Proposizione 1 s 1 2 S

s

In questo caso la proposizione equivale a: se π = γ, K sarà tale che W − D − γK + K = W − γK.

Esaminiamo la soluzione per ricostruire il modello generale. Nel caso di ”perfetta assicurazione” la condizione

di tangenza (4) diventa 0

π U (1 − γ)

(W − D − γK + K) =1

0

(1 − π) U (W − γK) γ

ovvero il SMS fra i due stati di natura deve essere a 1 perché il consumatore vorrebbe ”uscire dall’incertezza”

ovvero avere ricchezza costante nei due casi. Si ha infatti U M

1

= −1, ovvero − = −1 (5)

SM S

2,1 U M

2

ovvero 0

U (W − D − γK + K) =1

0

U (W − γK)

Affinché questo sia vero, gli argomenti delle due utilità marginali devono essere uguali quindi risolvo l’equazione

seguente per K W − D − γK + K = W − γK

∗ = D.

risulta K

Vediamo adesso un esercizio in cui, per qualche ragione, il premio assicurativo γ sia maggiore della probabilità

del π e quindi non vi sia assicurazione perfetta. 5


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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