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Uscendo dal contesto delle scommesse ed entrando nel mondo reale, il futuro è qualcosa cui non si sfugge e

dunque si è soggetti , ovvero si ”entra nella scommessa” comunque.

Premio al rischio ρ tale che

Definizione 11 EU (x) = U (Ex − ρ) (3)

rappresenta la quantità massima di moneta che si è disposti a pagare ”per uscire dalla scommessa” ed ottenere

il valore medio della scommessa EU ( x) con certezza. Vedi fig. .

Esistono quindi due definizioni.

1. Se siamo in una situazione di incertezza e vogliamo uscirne, il premio al rischio rappresenta l’ammontare

di denaro che siamo disposti a pagare per ”uscire dall’incertezza”. La definizione matematica è la (3).

2. Se siamo in una situazione di certezza, il premio al rischio è la somma di denaro che induce un agente ad

”accettare l’incertezza”. La definizione matematica è

EU (x + δ) = U (Ex)

Per variazioni ”piccole” δ ≡ ρ.

Se l’agente è amante del rischio i segni dei due coefficienti saranno opposti al caso in cui l’agente sia avverso

al rischio. Se l’agente è neutrale al rischio, i due coefficienti sono nulli.

Ili premio al rischio rappresenta per esempio l’ammontare di moneta che la società assicuratrice pretende

per assumersi il rischio al posto dell’agente, che vuole evitarlo. Si può dimostrare che

00

1 U (x)

2

ρ = − σ x 0

2 U (x)

Per es. il premio al rischio è quanto si è disposti a pagare all’assicurazione per ottenere un reddito certo in

ogni evento. C

Equivalente di certezza. E’ il reddito W tale che

Definizione 12 ∼

EU ( W ) = U [EW − ρ]

dove def

C

W = EW − ρ

4 Assicurazioni

W = ricchezza; D = danno; K = valore assicurato (K ≤ D) ; γ = premio per l’assicurazione;

π = prob. di incendio. Eventi Incendio Non Incendio

Lotterie π 1 − π

Non Ass. W − D W

Assicurarsi W − D + K − γK W − γK

Per definizione, assicurarsi vuol dire NON accettare l’incertezza e, come vedremo, cercare di ottenere la stessa

ricchezza in ogni stato di natura. Pertanto:

”Assicurarsi” equivale a ”non partecipare alla scommessa” e prendere U (W ).

”Non assicurarsi” equivale a ”partecipare alla scommessa” ovvero, ad ”accettare l’incertezza” e dunque

ricevere EU (W ).

Procedimento formale secondo la teoria economica.

Produttore: Impresa assicuratrice o venditore di assicurazione. (Per ora prendere per dato, il meccanismo

verrà imparato nei capitoli relativi alla produzione).

Ipotesi: concorrenza perfetta ⇒ libera entrata ⇒ profitti nulli (ad hoc)

Il produttore deve decidere il prezzo % della polizza rispetto al capitale da rimborsare. Secondo la soluzione

di concorrenza perfetta max prof itti = π (γK − K) + (1 − π) γK = 0

γ 4

risulta γ = π, ovvero la polizza percentuale deve essere pari alla probabilità del danno.

Consumatore: Compratore di assicurazione

Il consumatore deve ottimizzare l’utilità attesa. Egli deve ponderare l’utilità attesa dal reddito in ogni

evento: nel caso di ”incendio” e nel caso di ”non-incendio”. La sua variabile decisione è la quantità di capitale

K da assicurare rispetto al massimo danno D. La scelta di K determina il pagamento della polizza pari a γK.

L’obiettivo è dunque scegliere K per massimizzare l’utilità attesa rispetto ai due stati di natura ”incendio”

”non-incendio”. Ricordare che le probabilità dei due eventi π e quindi (1 − π) contenute nella funzione di utilità

sono ”soggettive”! max EU (Ass) = πU (W − D − γK + K) + (1 − π) U (W − γK)

K

dove (W − D − γK + K) = x e (W − γK) = x rappresentano i ”consumi” nei due stati di natura.

s=1 s=2.

Massimmizzando rispetto a K

∂EU ( x) 0 0

(W − D − γK + K) (1 − γ) + (1 − π) U (W − γK) (−γ) = 0

: πU

∂K

e risistemando la condizione del I ordine risulta

0

U γ

(W − D − γK + K)

π = (4)

0

(1 − π) U (W − γK) (1 − γ)

L’equazione (4) rappresenta la solita condizione di tangenza fra il saggio marginale di sostituzione della funzione

di utilità (a sinistra) e il rapporto dei prezzi. Questa volta i ”prezzi” sono il prezzo relativo della polizza

assicurativa rispetto al suo complementare. Perché questa volta non c’è bisogno del vincolo di bilancio? Il

vincolo di bilancio è espresso dalla somma dei prezzi dei singoli eventi, in questo caso rappresentati da

γ + (1 − γ) = 1

Poiché il vincolo è sempre pari a 1 per costruzione, lo siomette. In generale ciò equivale a dire che la somma

della valutazione della probabilità da parte del mercato (la somma dei prezzi degli eventi) deve sommare a uno,

ovviamente, essendo probabilità.

Si noti che SE le probabilità soggettive Ss=1 Ss=1

{π } = {γ }

s s

la soluzione in K porta il consumatore ad ottenere lo stesso reddito in ogni stato di natura.

Ss=1 Ss=1

(da sapere!) ”Perfetta assicurazione”: se {π } = {γ } =⇒ x = x = ... = x .

Proposizione 1 s 1 2 S

s

In questo caso la proposizione equivale a: se π = γ, K sarà tale che W − D − γK + K = W − γK.

Esaminiamo la soluzione per ricostruire il modello generale. Nel caso di ”perfetta assicurazione” la condizione

di tangenza (4) diventa 0

π U (1 − γ)

(W − D − γK + K) =1

0

(1 − π) U (W − γK) γ

ovvero il SMS fra i due stati di natura deve essere a 1 perché il consumatore vorrebbe ”uscire dall’incertezza”

ovvero avere ricchezza costante nei due casi. Si ha infatti U M

1

= −1, ovvero − = −1 (5)

SM S

2,1 U M

2

ovvero 0

U (W − D − γK + K) =1

0

U (W − γK)

Affinché questo sia vero, gli argomenti delle due utilità marginali devono essere uguali quindi risolvo l’equazione

seguente per K W − D − γK + K = W − γK

∗ = D.

risulta K

Vediamo adesso un esercizio in cui, per qualche ragione, il premio assicurativo γ sia maggiore della probabilità

del π e quindi non vi sia assicurazione perfetta. 5

Sia U (.) = ...; W = 1000, D = 500, π = 0.10, γ = 0.15.Calcolare la scelta ottima del

Esercizio 1

consumatore rispetto alla quantità di capitale K da investire.

Soluzione. E’ sufficiente riscrivere la (5) sostituendo i parametri

0

U (1 − γ)

(W − D − γK + K)

π = 1

0

(1 − π) U (W − γK) γ

2 W − γK (1 − 0.15)

0.10 √ = 1

(1 − 0.10) 0.15

2 W − D − γK + K

1000 − 0.15K (1 − 0.15)

0.10 √ = 1

(1 − 0.10) 0.15

1000 − 500 − 0.15K + K √

1000 − 0.15K · 5.67 = 1000 − 500 − 0.15K + K

0.11 · 2

(5.67 · 0.11) · (1000 − 0.15K) = 1000 − 500 − 0.15K + K

{K = −113. 88}

La differenza è cosi grande che K < 0!, ovvero il consumatore non compra affatto l’assicurazione!!!

Se invece γ = 0.12 √

0.10 1000 − 0.12K (1 − 0.12)

√ =1

(1 − 0.10) 0.12

1000 − 500 − 0.12K + K

∗ = 170.8, che è comunque solo parte del danno D.

=⇒ K

**********

5 Ottimizzazione di portafoglio

5.1 Scelta Intertemporale con 2 stati di natura.

Consideriamo 2 periodi di tempo, come nel caso della scelta intertemporale

½ 0 presente

t = 1 futuro

consideriamo che nel periodo futuro possano verificarsi due eventi complementari e indipendenti s = 1, 2.

½ 1 stato di natura 1

s = 2 stato di natura 2

Per semplicità di notazione e per convenzione si usa un solo indice s, dove s = 0 significa il periodo presente e

s = 1 e s = 2 i due eventi. Per massimizzare l’utilità nel tempo è necessario prendere due decisioni:

(i) quanto risparmiare per il prossimo periodo;

(ii) come collocare il risparmio fra le diverse attività esistenti.

Nell’ipotesi di numero di attività finanziarie pari al numero degli stati di natura detta ipotesi di ”mercati

completi”, la scelta intertemporale ottima di consumo può essere scritta (come nel caso di scelta intertemporale

semplice) in due modi equivalenti.

Sia s = risparmio al tempo corrente investito in un’attività che frutti un tasso d’interesse r solo nello stato

s s

di natura s.

1. (PB1) Il primo caso ha un numero di vincoli pari agli stati di natura del periodo futuro (consideriamo un

solo periodo futuro suddiviso in S stati di natura) + 1 (il tempo corrente).

P

S

max u(c ) + π u(c )

0 s s

s=1

P

Ss=1 1

s.t. c + s = ω

0 s 0

1+r

s

c = ω (1 + r )

s s s

2. (PB2) Il secondo ha un solo vincolo intertemporale, perché considera tutti i possibili stati di natura futuri

in termini di valore presente. P

S

) + π u(c )

max u(c

0 s s

s=1

P P

S Ss=1

1 1

s.t. c + c = ω + ω

0 s 0 s

s=1 1+r 1+r

s s

6

Se i mercati sono completi, PB1 è equivalente a PB2.

Proposizione 2

Dimostrazione.

Consideriamo 1 solo periodo futuro, con due possibili stati di natura: s = 1, s = 2.

) + π u(c ) + π u(c )

max u(c

0 1 1 2 2

s.t. c + s + s = ω (V B t = s = 0)

0 1 2 0

c = ω + s (1 + r ) (V B s = 1)

1 1 1 1

c = ω + s (1 + r ) (V B s = 2)

2 1 2 2

e il secondo per s . Ottengo

Esplicito il primo per s

1 2 = c − ω

s

1 1 1

s = c − ω

2 2 2

e sostituisco nel (VB0) 1 1 1 1

c + c + c = ω + ω + ω

0 1 2 0 1 2

1 + r 1 + r 1 + r 1 + r

1 2 1 2

Si noti che, tanto più basso il rendimento netto nello stato di natura r , tanto maggiore sarà

Osservazione 2 s

il valore scontato a oggi del consumo (o dello stipendio) in quello stato. Ovvero c sarà tanto più costoso, in

s

termini di valore attuale, quanto più quell’evento sarà svavorevole. E’ chiaro infatti che sarà più costoso, per

esempio, comprarsi un’automobile in uno stato di natura di recessione piuttosto che in uno stato di natura di

boom economico.

5.1.1 Calcolo della soluzione

Problema generale max U (c , c , c ) = u(c ) + π u(c ) + π u(c )

o 1 2 0 1 1 2 2

c ,c ,c

o 1 2

1 1 1 1

s.a. c + c + c = ω + ω + ω

0 1 2 0 1 2

1 + r 1 + r 1 + r 1 + r

1 2 1 2

∙ ¸

1 1 1 1

L = u(c ) + π u(c ) + π u(c ) − λ c + c + c − ω − ω − ω

0 1 1 2 2 0 1 2 0 1 2

1 + r 1 + r 1 + r 1 + r

1 2 1 2

∂L : U M − λc = 0 (eq(0))

0 0

∂c

0 1

∂L : π U M − λ =0 (eq(1))

1 1

∂c 1 + r

1 1

1

∂L : π U M − λ =0 (eq(3))

2 2

∂c 1 + r

2 2

1 1 1 1

∂L + c + c − ω − ω − ω = 0 (eq(4))

: c

0 1 2 0 1 2

∂λ 1 + r 1 + r 1 + r 1 + r

1 2 1 2

Si ha un sistema di 4 equazioni nelle incognite c , c , c , λ. Possiamo risistemare le equazioni per ricalcolare le

0 1 2

condizioni di tangenza

⎧ eq(0)

⎪ : SM S = − (1 + r ) equiv. caso scelta intertemp in ”certezza”

⎨ 0,1 1

eq(1)

eq(1) (1+r )

2

: SM S = −

1,2

⎪ eq(2) (1+r )

⎩ 1

V B : Intertemporale

ovvero ⎧ U M

⎪ = − (1 + r )

− 0

⎨ 1

π UM

1 1 (1+r )

π UM 2

− = −

1 1

⎪ π UM (1+r )

2 2 1

⎩ c + p c + p c = ω + p ω + p ω

0 1 1 2 2 0 1 1 2 2

Mercati completi. Quando il numero delle attività disponibili è pari al numero degli stati

Definizione 13

di natura nel periodo futuro, è possibile trasferire la ricchezza in ognuno degli stato di natura in maniera

indipendente ed è possibile in questo modo realizzare l’assicurazione perfetta. Quando il numero delle attività è

inferiore al numero degli eventi, per esempio il caso realistico in cui gli eventi sono infiniti e le attività ”finite”,

la perfetta assicurazione non si realizza mai.

Quando invece la probabilità attribuita agli eventi da parte del consumatore è diversa da quella

Osservazione 3

attribuita dal mercato, il consumo sarà diverso in ogni stato di natura

7


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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