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⟨r(t) ⟩,

E' chiaro che il termine ·s(t) a causa della correlazione tra segnale modulato e riferimento

produrrà un risultato costante (positivo se r(t) e s(t) sono in fase, negativo se in opposizione di fase,

intermedio negli altri casi, ma in ogni caso proporzionale all' ampiezza del segnale modulato s(t)). Il

⟨r(t) ⟩

termine ·n(t) invece fluttuerà intorno a zero, a causa della completa mancanza di correlazione

tra il rumore ed il segnale di riferimento. E' ovvio che la costante di tempo su cui si media dovrà

essere inferiore ai tempi tipici di variazione dell'ampiezza del segnale (che è ciò che vogliamo

misurare) e dovrà contenere molti periodi di modulazione, in modo da poter efficacemente ridurre il

rumore. In queste condizioni, la risposta ad un segnale con ampiezza variabile sarà un segnale in

uscita variabile con sovrapposto del rumore. Se l'ampiezza varia lentamente potremo definirla come

una tensione continua lentamente variabile, e sarà possibile usare un filtro passa basso con una

frequenza di taglio molto bassa per integrare il segnale v (t), eliminando gran parte del rumore.

p

Cominciamo a vedere la risposta del lock- in nel caso semplice in cui sia il segnale che il riferimento

siano sinusoidali, e manteniamo per ora differenti le due frequenze. Avremo

√2 φ √2 φ

s(t) = V cos(ω t + ) ; r(t) = V cos(ω t + ) (3.20)

s s s R R R

e quindi ω φ φ ω φ φ

v (t) = V V cos[(ω + ) t + + ] + V V cos[(ω - ) t + - ] (3.21).

p s R s R s R s R s R s R

Il segnale all' uscita del moltiplicatore è quindi costituito da un termine alla frequenza somma ed un

termine alla frequenza differenza. Si passa ora questo segnale attraverso un filtro passa basso con

ω),

risposta in frequenza H (j con taglio a frequenze ben inferiori alla frequenza di riferimento, in

L

modo da rimuovere il termine a frequenza somma. Si ottiene una componente di battimento con

ampiezza  

|V | ω |)

= V V H (|ω - (3.22)

out s R L s R

 

Siccome il filtro è passa basso, attenuerà tutte le frequenze lontane dalla frequenza di riferimento: si

vede quindi che la combinazione del moltiplicatore più il filtro passa basso opera come un filtro

ω

passa banda intorno alla frequenza di modulazione . Tale filtro è tanto più stretto quanto più

R

bassa è la frequenza di taglio del passa basso: la larghezza di banda del passa banda equivalente è il

doppio della larghezza di banda del filtro passa basso (fig.3.9). Useremo questa proprietà per

calcolare il rumore sul segnale in uscita.

Di solito la frequenza del segnale è ident ica a quella del riferimento (essendo ambedue ottenute

φ

dallo stesso modulatore); inoltre lo sfasamento del riferimento e del segnale sono costanti (φ - =

s R

φ) e l'ampiezza del segnale di riferimento e' costante ben nota. Si ottiene allora dalla 3.22

|H

V = V (0)| cos(φ) ·V = a V (3.23).

out R L s s

L'uscita del lock- in è quindi proporzionale all' ampiezza del segnale V attraverso una costante di

s

proporzionalità a che dipende abbastanza debolmente dallo sfasamento (per piccoli sfasamenti tra

segnale e riferimento). Tutti i lock- in sono corredati di un circuito che permette di sfasare a piacere

il segnale di riferimento rispetto al segnale da misurare: ruotando un potenziometro si introduce uno

sfasamento variabile che permette di massimizzare il segnale anche se il riferimento proveniente dal

sistema di modulazione non è perfettamente in fase con il segnale proveniente dal rivelatore. Ad

esempio questo circuito permette di compensare lo sfasamento introdotto dal tempo di risposta del

rivelatore, o un errato posizionamento del sensore di posizione rispetto ai fori o alle lame del

chopper.

Il rumore in uscita è solo quello presente nella banda del filtro passa banda equivalente. Dato un

τ

filtro passa basso con costante di tempo la sua banda equivalente di rumore è 1/(4τ) e quindi la

banda equivalente di rumore del filtro passa banda sarà 1/(2τ). Se lo spettro di potenza del rumore

in ingresso al lock- in è bianco e pari a w (f), il rumore in uscita dal lock-in sarà semplicemente

n 2 w

⌠ n

⟨∆V ⟩

2 2 2

= a w df = a (3.24).

out n τ

τ

D' altra parte se la costante di tempo del filtro è si avrà un dato indipendente dal precedente

τ.

all'incirca dopo un tempo Quindi possiamo identificare la durata della misura con la costante di

τ

tempo del filtro passa basso. Il rapporto segnale rumore per un tempo di misura è quindi

V 

out

S 2τ

= = V (3.25).

s

N ⟨∆V ⟩

2 w

out n

Di solito la durata delle misure è maggiore della costante di tempo del filtro passa basso. Si

ottengono così molti dati indipendenti (un numero pari al rapporto tra durata della misura e costante

di tempo. Questi dati vengono mediati insieme per dare la miglior stima del segnale in uscita. La

miglior stima dell' errore sul segnale in uscita sarà pari alla deviazione standard diviso la radice del

τ

numero di dati indipendenti. E' evidente quindi che vale di nuovo la (3.25), con durata totale della

misura. La (3.25) è importante perché permette di calcolare il tempo di integrazione necessario per

ottenere il rapporto segnale rumore voluto una volta fissata l'entità del rumore e del segnale.

Un moltiplicatore di segnali analogici come quello necessario per realizzare l' operazione (3.18) è

fattibile, ma allo stato attuale dell'elettronica analogica introduce sensibili distorsioni del segnale. Ci

sono a questo punto due possibilità: la prima è la conversione di segnale e riferimento in forma

numerica e l'uso della tecnologia DSP (digital signal processing) per eseguire numericamente le

operazioni necessarie; la seconda è l'uso di un phase sensitive detector. La prima soluzione è

decisamente costosa e complicata. Usualmente si usa la seconda soluzione (PSD), in cui il

moltiplicatore è sostituito da un deviatore elettronico, controllato dal segnale di riferimento. Il

deviatore cambia l'amplificazione del segnale s(t) da +1 a -1, (ad esempio +1 quando il riferimento

è positivo, -1 quando è negativo) come illustrato nello schema di fig.3.10A.

Quando il segnale e' perfettamente in fase con il riferimento si ottiene in uscita semplicemente un

segnale raddrizzato (fig.3.10B), a valor medio positivo: all' uscita dal filtro passa basso avremo

quindi un segnale positivo. Nella maggior parte dei casi ci sara' un certo sfasamento tra segnale del

rivelatore e segnale di riferimento (ad esempio introdotto dal tempo di risposta del rivelatore, o dai

filtri di condizionamento del segnale). Si otterranno evidentemente le forme d'onda illustrate in

fig.3.10C.

Per ottenere quantitativamente la relazione tra segnale in ingresso e segnale in uscita descriviamo

l'operazione del deviatore elettronico come la moltiplicazione del segnale in ingresso per una onda

±1

quadra a valori e perfettamente in fase con il riferimento:

4 1 1

 

φ φ φ

r(t) = cos(ω t + ) - cos3(ω t + ) + cos5(ω t + ) - ....

 

R R R R R R

π 3 5

moltiplicando per il segnale, che supponiamo sinusoidale come nella (3.20), si ottiene

√2 1

2 V 

s ±ω φ φ ±ω φ

v (t) = cos((ω ) t + - ) - cos((3ω ) t + 3φ - ) +

p R s R s R s R s

π 3

1 

±ω φ

+ cos((5ω ) t + 5φ - ) - .... 

R s R s

5

Fig. 3.9: Funzione di trasferimento di un filtro passa basso (a sinistra) e funzione di trasferimento

che si ottiene usando il precedente passa basso all'uscita di un moltiplicatore tra segnale da misurare

e segnale di riferimento. Quest'ultima funzione di trasferimento è un passa banda con ampiezza pari

al doppio della frequenza di taglio del filtro passa basso.

Fig. 3.10: Phase sensitive detector (vedi testo per la spiegazione del funzionamento).

Assumendo come prima segnale e riferimento alla stessa frequenza, e passando v (t) attraverso un

p

filtro passa basso a frequenza ben inferiore alla frequenza di modulazione, si rimuovono tutte le

ω

frequenze 2ω , 4ω , 6 ..., ottenendo di nuovo

R R R √2

2 |H(0)|

v = cos(φ) ·V = a cos(φ) V (3.26):

out s s

π

di nuovo, a parte il diverso valore della costante moltiplicativa a, si ottiene un segnale proporzionale

al segnale di ingresso, come nel lock- in a moltiplicatore.

La differenza essenziale è che se il segnale in ingresso s(t) non è sinusoidale, il PSD darà segnale in

ω ω

uscita anche per le componenti a frequenza 3 , 5 ... . Ad esempio in fig.3.10D si mostra che

R R

ω ω

cosa succede alla componente di segnale a frequenza = 3 (terza armonica): in un periodo dell'

s R

onda quadra del riferimento capitano 3 periodi della terza armonica, con due semionde negative e

quattro positive. E' evidente che il valor medio sarà positivo, con una ampiezza pari a due sesti

ω

dell'ampiezza che si ottiene per il segnale a frequenza (solo due semionde su sei contribuiscono

R

al valor medio, mentre le altre quattro si annullano tra loro). Lo stesso ragionamento si può fare per

tutte le armoniche dispari. Il PSD risponde quindi anche alle armoniche dispari del segnale in

ingresso, con attenuazione pari all'inverso dell'ordine dell' armonica. In pratica il PSD ha una

trasmissione alle diverse frequenze del segnale in ingresso illustrata in fig.3.11: una successione di

finestre di trasmissione a tutte le armoniche dispari della frequenza di riferimento, e di ampiezza

decrescente. Non è detto che questo sia vantaggioso. Evidentemente un lock-in sensibile alla sola

frequenza di riferimento (a moltiplicatore, con segnale di riferimento sinusoidale) ha solo una

finestra alla frequenza di modulazione, ed è quindi meno soggetto a interferenze sovrapposte al

segnale.

Calcoliamo ora la risposta al rumore del PSD. E' evidente che ciascuna finestra di trasmissione avrà

una larghezza dell' ordine di 2 B , dove B è la banda del filtro passa basso. Il valore esatto della

o o

banda efficace delle finestre dipende dalla funzione di trasmissione del filtro H(ω).

La trasmissione di ciascuna delle finestre sarà invece 1/(2k+1), dove k è l'indice della finestra. Se il

rumore ha uno spettro bianco w , la fluttuazione del segnale in uscita dovuto alla k- ma finestra sarà

N a

  ⌠

2

⟨n ⟩

2 =   ⌡ H (f) w df (3.27).

k k n

2k+1

Il valore dell'integrale dipende dalla forma di H(f), ma sarà dell' ordine di B w . Siccome le

o n

differenti frequenze del rumore sono tutte scorrelate tra loro, si potranno sommare semplicemente i

∑1/(2k+1) π

2 2

valori quadratici medi, tenendo conto del fatto che = /8: si ottiene allora

 π

√ 2

= a (3.28):

⟨n ⟩

2 √ w B

n o 8

quindi la presenza delle armoniche superiori aumenta il contributo del rumore bianco di circa l'11%

(rispetto al caso sinusoidale), una quantità tutto sommato trascurabile. Il rapporto segnale rumore

all' uscita del PSD è dato quindi dal rapporto tra la (3.26) e la (3.28):

V

s

√8

(S/N) = cos(φ) (3.29)

out ____

π √ w B

n o

Fig. 3.11: Finestra di trasmissione di un Phase Sensitive Detector.

Fig. 3.12: Diagramma a blocchi di un Lock- in commerciale completo.

Questa formula è molto importante perché permette, una volta note le ampiezze del segnale da

misurare e del rumore, di calcolare la banda B da utilizzare per ottenere un dato rapporto segnale

o ∼

rumore, o, equivalentemente, la durata T della misura, essendo B 1/4T. Faremo un esempio

o

pratico di uso della (3.29) nel paragrafo 3.5.2. Per il segnale in ingresso era

V

s

(S/N) = (3.30),

in √ w f

n max

quindi il miglioramento del rapporto segnale rumore operato da un PSD nel caso di segnale

sinusoidale è dato da 

√8 cos(φ)

(S/N)

out f

= (3.31).

max

π

(S/N)

in B

o

Una semplice esperienza che si può fare in aula e che mostra la straordinaria abilità del lock- in

nell'estrarre piccoli segnali immersi nel rumore è la seguente. Si usa un LED (Light Emitting

Diode) alimentato da un generatore di tensione ad onda quadra. Questo accende e spegne il LED ad

una frequenza di modulazione che si sceglierà dell' ordine di 1 kHz. Lo stesso segnale viene

utilizzato some riferimento per il lock-in. Come rivelatore si usa un normale fototransistor al silicio

accoppiato in DC ad un amplificatore operazionale in configurazione non invertente, con guadagno

∼ 100. Il segnale del fototransistor è connesso ad un oscilloscopio ed all' ingresso del lock- in. In

assenza di segnale l'uscita del fototransistor è dominata da un segnale a 100 Hz prodotto dalle

lampade che illuminano l'aula. Questo 'rumore' è dell'ordine di 100 mV. Se si avvicina molto il LED

al fototransistor, il segnale a 1 kHz diventa superiore al disturbo delle lampade ed è evidente anche

sull'oscilloscopio. Se si allontana il LED a circa 1 m dal fototransistor, il segnale diventa invisibile

µV,

sull'oscilloscopio, ma sul lock-in si legge un segnale di circa 100 con fluttuazioni di circa 10

µV se il tempo di integrazione impostato è 1 s. Per convincersi del fatto che il lock- in stia

effettivamente estraendo il segnale del LED dal rumore dominante delle lampade basta

interrompere con una mano il percorso luminoso dal LED al fototransistor: l'uscita del lock- in andrà

gradatamente a zero. Il rapporto segnale/rumore in uscita è quindi dell'ordine di 10, mentre in

-3

ingresso era dell'ordine di 10 . Se ne conclude che il Lock- in ha permesso un miglioramento del

4

rapporto segnale/rumore di un fattore 10 .

Nel caso di segnali periodici ma non sinusoidali si potrà scrivere

∞ ∞

∑ ∑

α ωt) β ωt)

s(t) = cos(n + sin(n

n n

n = 1 n = 1

ed ∞ φ)

n

(-1) cos[ (2n+1)(ωt + ]

r(t) = 2n+1

n = 1

La tensione in uscita si potrà scrivere

∞ ∞

2 cos(2n+1)φ 2 sin(2n+1)φ

∑ ∑

⟨s(t) ⟩ α β

n n

V = r(t) = (-1) - (-1) .

out 2n+1 2n+1

π π

2n+1 2n+1

n = 1 n = 1

α β φ,

Si può dimostrare che per ogni insieme di e esiste un valore di detto di quadratura ed

n n

φ φ, φ

indicato con , che rende V = 0, ed esiste un valore di detto che rende V massimo. Se poi

Q out i out

il segnale ha una forma d'onda simmetrica (quadra, triangolare, ...) si può scegliere l'origine dei

α

tempi in modo da sviluppare il segnale in serie di soli coseni (ad esempio), ottenendo quindi = 0.

n

Allora si ha che ∞

2 sin(2n+1)φ

⟨s(t) ⟩ β

n

V = r(t) = - (-1)

out 2n+1

π 2n+1

n = 1

ed inoltre ∞

2

dV ∑

out β

n

= - (-1) cos(2n+1)φ

2n+1

π

dφ n = 1

φ φ o

evidentemente in questo caso = 0 e = 90 . Siccome abbiamo spostato l'origine dei tempi è più

i Q

corretto scrivere φ φ ±90 o

= (3.32).

i Q

La precedente equazione suggerisce un metodo efficiente per la determinazione dello sfasamento

ottimale del riferimento: si sfasa il riferimento fino a trovare segnale nullo (e questo può essere fatto

con grande precisione, perché via via che si riduce il segnale si può aumentare l'amplificazione del

sistema. Trovato uno zero soddisfacente, si introduce un ulteriore sfasamento di 90 gradi, che

permette di ottenere il massimo segnale in uscita. φ φ

Nel caso di forme d'onda non simmetriche si hanno ancora un ed un , ma la differenza tra i due

i Q

o

può essere diversa da 90 (non troppo diversa, di solito).

Notiamo infine che un segnale ad onda quadra aumenta il segnale prodotto dal PSD di un fattore

1.23, compensando l'aumento di un fattore [√1.23] del rumore.

In fig.3.12 è mostrato uno schema a blocchi di un lock-in reale.

Oltre al PSD sono di solito inclusi nel lock- in:

• Lungo il percorso del segnale da misurare amplificatori a guadagno impostabile, amplificatori

differenziali per operare con circuiti a ponte, filtri passa banda, passa basso e passa alto a media

pendenza per eliminare rumore a frequenze diverse da quella di modulazione.

• Lungo il percorso del segnale di riferimento un phase locked loop, circuito che permette di

agganciare la frequenza del segnale di riferimento anche se questo e' periodico di forma qualsiasi,

ed anche in presenza di notevole rumore. Questo circuito permette inoltre di generare segnali di

riferimento ad armoniche della frequenza di modulazione.

• All'uscita del PSD un integratore, che permette di calcolare il valor medio del prodotto su di un

tempo impostabile dall'esterno; un amplificatore in DC ed uno strumento di lettura del segnale

d'uscita. o

Esistono poi Lock-in doppi, che generano intername nte un riferimento sfasato di 90 rispetto al

riferimento proveniente dall' esperimento. Il segnale viene connesso a due PSD (o a due

moltiplicatori), uno comandato dal riferimento in fase ed uno comandato dal riferimento in

quadratura (vedi fig.3.13). Chiamiamo X l'uscita del moltiplicatore in fase ed Y l' uscita del

moltiplicatore in quadratura. Dalla (3.25) avremo subito

X = a cosφ·V ; Y = a sinφ·V (3.33)

s s

Quindi dalla misura di X e Y si ricavano ampiezza e sfasamento del segnale, senza bisogno di

massimizzarlo: _______ Y

√ 2 2

X + Y φ

V = R = ; = arctan (3.34)

s X

a

Di solito il lock- in doppio contiene un calcolatore vettoriale che esegue direttamente le operazioni

φ.

(3.34), fornendo direttamente V e

s

Notiamo che la (3.25) ha senso solo per lock-in che eseguono la moltiplicazione per un riferimento

sinusoidale, o in generale per segnale di ingresso sinusoidale. Solo in questi due casi sarà quindi

sensato utilizzare le (3.34).

Va notato inoltre il fatto che in presenza di rumore importante (ovvero nelle normali condizioni in

cui è richiesto l'uso di un lock- in) le operazioni (3.34) tendono a amplificare l' effetto del rumore,

cioè a peggiorare il rapporto segnale rumore della misura. Innanzi tutto il segnale R e' definito

positivo, per cui le fluttuazioni positive e negative dovute al rumore e sovrapposte ai segnali X e Y

si propagano su R generando fluttuazioni solo positive. Quando si media R per lunghi periodi si

ottiene quindi un contributo positivo (offset) dovuto al solo rumore, per cui si può concludere

erroneamente di aver misurato un segnale 'diverso da zero' anche in assenza completa di segnale. In

generale tutte le migliori tecniche di riduzione del rumore si basano sulla proprietà del rumore di

essere equiprobabilmente positivo e negativo, per cui no n è ragionevole mettersi in una condizione

differente, a meno che il rapporto segnale rumore della misura non sia già sufficientemente alto

(almeno 5). I calcoli dettagliati mostrano che l'offset generato dal rumore è dell'ordine di un quarto

delle fluttua zioni picco picco del segnale. Il rimedio ovvio è l'uso delle uscite X e Y del segnale,

con calcolo del valore di R solo dopo che il processo di media è stato completato.

3.5 Uso del Lock-In in esperimenti astrofisici

Illustriamo adesso due classi di esperimenti astrofisici in cui l'uso del lock- in è essenziale per

l'esecuzione delle misure.

3.5.1 Radiometria

Il radiometro è uno strumento utilizzato per misurare la brillanza assoluta di una regione di cielo. In

fig.3.14 è mostrato un tipico radiometro per misure infrarosse o radio. La radiazione proveniente

dalla regione di cielo di interesse è raccolta dallo specchio SP, che permette di inseguire la sorgente

durante il suo moto diurno, e convogliata verso il rivelatore passando attraverso un chopper a lame

speculari C. Il chopper lascia passare la radiazione proveniente dal cielo quando è aperto, mentre

riflette verso il rivelatore la radiazione proveniente da un corpo nero di riferimento B quando è

chiuso. Il segnale proveniente dal rivelatore viene connesso ad un lock- in comandato dal segnale di

riferimento proveniente dal chopper. Calcoliamo la potenza che arriva sul rivelatore quando il

chopper è aperto e quando il chopper è chiuso. La Brillanza proveniente dal cielo B arriverà allo

C

specchio SP attenuata di un fattore T (trasmissione atmosferica); a questa si sommerà una

atm

brillanza emessa dall' atmosfera pari a (1-T ) BB(T ), con T temperatura media dell' atmosfera.

atm A A

La brillanza così ottenuta sarà riflessa da S con una efficienza R (riflettività dello specchio); a

S

questa si sommerà una brillanza emessa dallo specchio pari a (1-R ) BB(T ). Tale brillanza passerà

S S

attraverso il chopper aperto, attraverso i filtri del rivelatore (efficienza E, brillanza emessa (1- E)

BB(T ) ed arriverà sul rivelatore. La potenza misurata dal rivelatore sarà quindi in totale

F    

 

   

P = AΩ (1-E) BB(T ) + E (1-R ) BB(T ) + R (1-T ) BB(T ) + T B (3.35)

 

A F S S S atm A atm C

   

Fig. 3.13: Lock- in a due fasi

Fig. 3.14: Radiometro per misure assolute della brillanza del cielo. Lo specchio SP serve ad

inseguire la sorgente in studio durante il suo moto orario; il chopper C serve per alternare sul

rivelatore il segnale proveniente dalla sorgente e quello proveniente da un corpo nero di riferimento

CN. F è un filtro che seleziona la banda spettrale di interesse, mentre R è il rivelatore completo di

sistema ottico che definisce il campo di vista e l'area sensibile del sistema.

Analogamente quando il chopper è chiuso il rivelatore misurerà una potenza

   

   

P = AΩ (1-E) BB(T ) + E (1-R ) BB(T ) + R BB(T ) (3.36)

C F C C C B

   

dove T e' la temperatura del chopper e R la riflettività delle lame, mentre T è la temperatura del

C C B

corpo nero di riferimento. Il lock-in permette di estrarre dal rumore del rivelatore l'ampiezza del

segnale che si ottiene durante la modulazione. Questo sarà una onda quadra alla frequenza del

ℜ ℜ ℜ

modulatore, con livelli P e P , dove è la responsività del rivelatore. All'uscita del lock- in

c

A

avremo quindi un segnale ℜ

S = (P - P ) (3.37)

LI A C

Il lock- in permette quindi di misurare la differenza tra le due potenze. E' evidente che tutte le

sorgenti di emissione presenti nel cammino della brillanza dopo il chopper sono presenti a chopper

aperto e a chopper chiuso, e si cancellano nella sottrazione (eq. 3.35 e 3.36). Esempio tipico è

l'emissione dei filtri o la stessa emissione del rivelatore se questo è a temperatura ambiente: questa

può essere molti ordini di grandezza superiore alla brillanza che si vuole misurare in cielo, e

nonostante ciò essere ininfluente nella realizzazione della misura, grazie alla tecnica di

modulazione, ed alla presenza di un lock- in che media a zero le fluttuazioni derivanti dal forte

background fotonico. Inoltre lo specchio di inseguimento SP ed il chopper C vengono costruiti con

lo stesso materiale e lo stesso grado di lavorazione, in modo da avere la stessa riflettività R;

mantenendoli alla stessa temperatura avranno anche la stessa emissione, e l'uso del lock- in

permetterà la reciproca cancellazione anche di questi termini. Si otterrà quindi un segnale

 

ℜ  

S = ·AΩ·E ·R (1-T ) BB(T ) + T B - BB(T ) (3.38)

LI atm A atm C B

 

La costante ·AΩ·E ·R può essere determinata montando sopra lo specchio S un secondo corpo

nero a temperatura T diversa da T . In questo modo si esegue la calibrazione del fotometro:

BB B S cal

ℜ ·AΩ·E ·R = (3.39)

BB(T ) - BB(T )

BB B

A questo punto è necessario solo stimare il contributo atmosferico.

Si suppone di solito τ

- / cosz

T = e (3.40)

atm z

τ

dove è lo spessore ottico alla lunghezza d'onda di misura allo zenith, e z è l'angolo zenitale.

z

E' possibile separare il contributo atmosferico e quello del cielo se si può inseguire la sorgente, in

modo che essa sorgendo, culminando e tramontando subisca una attenuazione atmosferica variabile.

Naturalmente questa procedura presuppone che non ci siano altre cause di variazione della

trasmissione atmosferica oltre alla variazione di spessore atmosferico attraversato dai fotoni. Nel

caso di osservazioni di radiazione di fondo, identica in tutte le direzioni, si può effettuare la

scansione zenitale semplicemente inclinando lo specchio S con la temporizzazione voluta.

τ <<

In condizioni di buona trasmissione atmosferica avremo / cosz 1, e riportando le misure di S

z LI

in funzione di 1/cosz (legge di secante), otterremo un andamento lineare:

a

S LI = + b (3.41)

ℜ ·AΩ·E ·R cosz

Valutando pendenza e intercetta della (3.41) si possono separare i due contributi (atmosferico e del

cielo): τ

a = BB(T ) ; b = B - BB(T ) (3.42)

z A C B

ricavando così la brillanza del cielo B .

C

3.5.2 : Fotometria differenziale e sottrazione dell'emissione atmosferica. A lunghezze d'onda

infrarosse l'atmosfera terrestre è molto meno trasparente che nel visibile. Ciò è dovuto in gran parte

alla presenza di molecole di vapor d'acqua, O , O , CO , CO: la radiazione infrarossa eccita

2 3 2

efficientemente transizioni vibrorotazionali di tali molecole, ed è quindi intensamente assorbita. Le

stesse transizioni molecolari producono intense righe di emissione, per cui l' atmosfera e' una

brillante sorgente luminosa infrarossa, che rende estremamente difficile la misura dei deboli flussi

di radiazione provenienti da sorgenti celesti. Osservare la radiazione da una galassia nell' infrarosso

termico presenta la stessa difficoltà di osservarne l'emissione ottica di giorno, con un telescopio ben

illuminato. E' quindi essenziale effettuare le osservazioni IR da siti particolarmente secchi e freddi,

in modo da ridurre il contenuto di vapor d'acqua presente sulla verticale del luogo. Per buone

osservazioni si deve avere un contenuto di vapor d'acqua precipitabile (cioè lo spessore d'acqua

liquida che si otterrebbe condensando tutto il vapor d'acqua presente nell' atmosfera) inferiore ad 1

mm. Per questo gli osservatori infrarossi sono situati in alta montagna o in regioni a clima desertico.

Anche in condizioni climatiche con vapor d'acqua precipitabile dell' ordine di 1 mm è possibile

compiere osservazioni infrarosse solo nelle cosiddette "finestre atmosferiche": regioni spettrali

particolarmente lontane dalle lunghezze d'onda delle transizioni del vapor d' acqua. Le più

µm, µm; µm µm.

importanti finestre atmosferiche sono tra 3 e 4 tra 7 e 14 tra 17 e 24 e oltre 800

Oltre ad una alta trasmissione nelle finestre, viene richiesta una ottima stabilità di pressione,

temperatura e contenuto di vapor d'acqua: fluttuazioni nel tempo di queste quantità generano delle

fluttuazioni dell' emissione atmosferica infrarossa (dette rumore atmosferico), che si sommano alla

emissione degli oggetti celesti da misurare, limitando la sensibilità delle misure. Per questo motivo

è prevista la costruzione di un osservatorio infrarosso in Antartide, dove si può sfruttare la

µm

straordinaria stabilità climatica, il bassissimo contenuto di vapor d'acqua (meno di 100

precipitabili), e l'assenza di insolazione durante i 6 mesi dell' inverno antartico. Per effettuare

osservazioni in bande diverse dalle sopra citate "finestre", è necessario portare il telescopio al di

sopra della maggior parte del vapor d'acqua atmosferico, montandolo su un aereo (effettuando così

osservazioni a quote comprese tra 10 e 14 km), su pallone stratosferico (operando così tra 30 e 45

km), su razzo (massima quota circa 400 km) o su satellite (quote superiori a 400 km). In fig.3.15 è

riportato l'andamento della trasmissione dell' atmosfera nell'infrarosso nei primi tre casi. In fig.4.9 è

invece riportata l'emissione atmosferica. L'operazione degli osservatori infrarossi su satellite non è

affetta dall' emissione atmosferica, e permette di eseguire osservazioni particolarmente sensibili.

A terra l' emissione atmosferica è quella di un corpo grigio a temperatura dell' ordine di 300 K ed

emissività dipendente dalla lunghezza d'onda. In buone finestre atmosferiche l'emissività non è mai

inferiore al 5 %: in tali condizioni l' emissione atmosferica è alcuni ordini di grandezza superiore a

quella della sorgente.

Per questi motivi si opera una modulazione angolare, inserendo nel telescopio infrarosso un

elemento ottico che permetta di osservare alternativamente (e velocemente, più velocemente delle

fluttuazioni atmosferiche) due regioni di cielo, una occupata dalla sorgente in studio e l'altra vuota,

di riferimento. Usualmente questo tipo di modulazione (sky chopping) si realizza facendo vibrare lo

specchio secondario nel caso di telescopi Cassegrain. Questo produce un movimento dell' immagine

della sorgente nel piano focale del telescopio. Essendo il rivelatore fissato nel piano focale,

l'immagine della sorgente entrerà ed uscirà dall'apertura di ingresso del rivelatore, lasciando il posto

all'immagine di una regione adiacente, detta di riferimento. Si realizza così una modulazione

(fig.3.16) che può essere sinusoidale (quando la direzione di osservazione si sposta tra due direzioni

estreme in modo sinusoidale) o a due campi (quando le direzioni che si alternano sono solo due ben

Fig. 3.15: Trasmissione atmosferica nell'infrarosso a tre quote differenti : alta montagna (4 Km,

curva A), aereo (12 Km, curva B), pallone stratosferico (40 Km, curva C). Da Traub e Stier, 1976,

Applied Optics, 15, 364

Fig. 3.16: Fotometria differenziale di sorgenti astronomiche realizzata grazie ad uno specchio

oscillante (vedi anche par.6.6). Lo specchio oscillante permette di osservare alternativamente con lo

stesso rivelatore la sorgente in A ed il campo di riferimento (vuoto) in B (modulazione angolare).

L'emissione atmosferica, presente in ambedue le direzioni, viene eliminata eseguendo la

demodulazione con un lock- in.

Fig. 3.17: Possibili movimenti dello specchio necessari per realizzare la modulazione sinusoidale

(sinistra), a due campi (centro) e a tre campi (destra). Sotto ogni diagramma del moto è riportato il

corrispondente segnale di riferimento, prodotto dallo specchio ed usato dal lock- in per la

demodulazione.

Fig. 3.18: Dati di rumore atmosferico a lunghezza d'onda di 1 mm misurati contemporaneamente

con modulazione a tre campi (A) e a due campi (B). Il valor medio (offset della misura) è stato

rimosso. In (C) e (D) i corrispondenti istogrammi (senza rimozione del valor medio). E' evidente

come la misura a tre campi riduca l'entità delle fluttuazioni (deviazione standard) ed anche l'offset

atmosferico (valor medio).

separate e il movimento dello specchio secondario è praticamente ad onda quadra), o a tre campi

(quando la sorgente si trova nella direzione centrale, ed alla sorgente vengono alternate due

posizioni di riferimento, una a sinistra ed una a destra della sorgente). Lo specchio oscillante

produce anche un segnale di riferimento sincrono con il movimento, usato per comandare il lock- in.

In fig.(3.17) sono mostrati il moto dello specchio ed il corrispondente segnale di riferimento nei tre

casi. All'uscita di un lock-in a PSD si otterranno nei tre casi i segnali (in assenza di rumore)

 

K ⌠ → ⌠ → → α

T/2 T

  πf

V = I( (t)) dt - I( (t)) dt ; (t) = sin2 t (3.43)

⌡ θ ⌡ θ θ

LI,sin M

0 T/2

 

T 2

 → → → 

V = K I( ) - I( + ) (3.44)

 α 

LI,2 x x

→ → → →

I( + )+I( - )

 

→ α α

x x

V = K I( ) - (3.45)

 

LI,3 x 2 α

dove x è la posizione in cielo della sorgente, I(x) è la brillanza proveniente dalla direzione x, e è

|α|

un vettore che descrive l'angolo di modulazione. è l'ampiezza di modulazione, detta beam- throw:

per ottenere dati indipendenti tra loro questa deve essere maggiore del campo di vista dello

strumento (beam-size). Se le due (o più) regioni di cielo si trovano alla stessa elevazione, e la

modulazione è sufficientemente veloce (dell'ordine di 10 Hz), l'emissione atmosferica è la stessa

nelle direzioni osservate dal rivelatore, e non contribuisce in media al segnale all' uscita del lock- in.

Ovviamente ci sono fluttuazioni rispetto a questa situazione, che producono il cosiddetto sky-noise.

In questo senso il metodo di modulazione a 3 campi e' superiore agli altri due. Infatti tutti e tre i

metodi eliminano l'offset dovuto all'emissione atmosferica quando questa è perfettamente identica

nei due o tre beam considerati. D' altra parte, in presenza di sky- noise questo non succederà, e

l'emissione atmosferica avrà dei gradienti. Se la distanza tra i beam non è troppo elevata, in prima

approssimazione potremo approssimare linearmente l' andamento dell'emissione atmosferica

nell'intorno dei campi osservati. A differenza delle altre due tecniche, la modulazione a tre campi,

per la sua simmetria, permette di annullare gradienti lineari di emissione atmosferica (basta

θ+

sostituire I(θ) = a b nella (3.45) per rendersi conto di questo), permettendo così una maggiore

indennità dallo sky-noise. In fig.3.18 sono riportati istogrammi di dati di sky-noise presi

contemporaneamente con un modulatore a 3 campi ed uno a due campi: è evidente il vantaggio di

usare la modulazione a 3 campi.

I gradienti di emissione sulla superficie dello specchio primario del telescopio (e anche le

asimmetrie della modulazione) producono un segnale sincrono con la modulazione, generando un

segnale costante diverso da zero all' uscita del lock- in (offset di misura). Per questo motivo si deve

sovrapporre allo sky-chopping una ulteriore forma di modulazione, ad esempio effettuando una

scansione lenta della direzione di osservazione x attraverso la sorgente (fig.3.19): in questo modo

l'offset resterà costante, mentre il segnale dalla sorgente produrrà un andamento caratteristico del

tipo di modulazione effettuata. In questo modo si potrà separare il contributo della sorgente

dall'offset.

Facciamo un esempio pratico di utilizzo della (3.29) in un fotometro differenziale. Supponiamo di

voler misurare l' emissione termica della polvere interstellare verso il centro Galattico, ad una

µm. -14

lunghezza d' onda di 800 A tale lunghezza d'onda le stime teoriche della brillanza sono di 10

2

W/cm /sr/µm. Supponiamo di voler raggiungere una precisione del 5 %, cioè un rapporto segnale

-13

rumore di 20, avendo a disposizione un rivelatore con un rumore di [√(w )]/ℜ = 10 W/[√Hz]

n

(questa e' la radice quadrata dello spettro di potenza del rumore del rivelatore, alla frequenza di

modulazione che utilizzeremo per eseguire fotometria differenziale sulla sorgente; il numero e'

caratteristico di un rivelatore bolometrico di buona qualità utilizzato da terra). Supponiamo che la

2

rapidità ottica del rivelatore sia 1 cm sr. La potenza raccolta dal rivelatore dipenderà dalla banda di

λ/ ∆λ

frequenze infrarosse utilizzata. Se vogliamo una buona risoluzione spettrale, ad esempio =

µm, ℜ≅ -14

1000, avremo una banda di circa 1 e quindi un segnale sul rivelatore V / 10 W. Usando

s

la (3.29) si può calcolare il tempo di integrazione necessario ad effettuare la misura con il rapporto

segnale rumore desiderato π 2

1 S

w  

2

n

T = (3.46)

 

2

V

32

4 B N

s

o

va notato il fatto che il tempo di integrazione aumenta con il quadrato del rapporto segnale rumore

desiderato e con il quadrato del rapporto tra rumore e segnale in ingresso: è quindi illusorio pensare

di poter utilizzare rivelatori molto rumorosi compensando questo difetto con l'aumento del tempo di

integrazione: questo può superare facilmente i tempi di integrazione massimi utilizzabili ad un

telescopio. Nel caso dell' esempio, infatti, si ottiene T 12000 s, non proponibile per una misura

reale fatta a terra: su questi tempi scala le fluttuazioni atmosferiche non si mediano sufficientemente

a zero, e ridurrebbero drasticamente il rapporto segnale rumore. Si deve quindi o cambiare

rivelatore (ed i migliori esistenti in questa banda hanno un rumore circa 2 ordini di grandezza

inferiore, ma vanno portati nello spazio per evitare il rumore atmosferico) o allargare la banda di

frequenze, accettando una risoluzione spettrale peggiore (ad esempio 10): questo è possibile perché

stiamo osservando una sorgente a spettro continuo. In ambedue i casi la (3.46) ci assicura che si

riuscirà ad eseguire la misura con una riduzione di 4 ordini di grandezza nel tempo di integrazione

rispetto al caso iniziale.

3.6: Il correlatore

Nelle misure precedenti abbiamo sempre ipotizzato di avere segnali periodici. Capita a volte di

dover misurare un segnale che non ha nessuna forma di periodicità: un rumore. Ad esempio, e'

interessante misurare sperimentalmente il rumore fotonico: abbiamo visto che questo è (a frequenze

relativamente basse) puro rumore bianco, senza nessuna caratteristica di periodicità. Questo rumore

provoca nel rivelatore delle fluttua zioni a carattere statistico in eccesso rispetto alle fluttuazioni

dovute al solo rumore intrinseco del rivelatore. A meno che il rivelatore non operi in condizioni di

BLIP (vedi paragrafo 2.6), le fluttuazioni di origine fotonica sono addirittura inferiori al rumore del

rivelatore: si tratta quindi di estrarre un rumore piccolo immerso in un rumore più grande con la

stessa struttura statistica. Non si può nemmeno modulare il segnale, perché inserendo un normale

chopper di fronte al rivelatore si modulerebbe la brillanza della radiazione osservata, e non le sue

fluttuazioni. Un altro esempio di misura di rumore immerso nel rumore dei rivelatori e' quello delle

fluttuazioni del campo magnetico interplanetario. Un terzo esempio e' la misura del rumore Johnson

di una resistenza a bassa temperatura (termometria di rumore), che può essere inferiore a quello del

miglior amplificatore disponibile.

La soluzione in questo caso consiste nell'uso di due rivelatori distinti e di un correlatore. Attraverso

un beamsplitter (nel caso di misure di radiazione) si fa giungere ai due rivelatori lo stesso segnale

fluttuante. Le tensioni all' uscita dei due rivelatori saranno

ℜ ℜ

v (t) = [ E s(t) + n (t)] ; v (t) = [ E s(t) + n (t)] (3.47)

1 1 1 1 2 2 2 2

dove sono le responsività dei due rivelatori, e n sono i rumori dei due rivelatori (in unità della

i i

grandezza da misurare); s(t) è il segnale fluttuante da misurare, ed E sono le efficienze con cui il

i

beamsplitter ripartisce il segnale in ingresso sui due rivelatori.

Ora non c'è nessun motivo per cui i due rumori siano correlati tra loro, essendo generati

indipendentemente all' interno dei due distinti rivelatori; per lo stesso motivo no n ci saranno

correlazioni tra i rumori n (t) ed il rumore da misurare s(t).

i


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36

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1.05 MB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Tecniche sperimentali in astrofisica del Porf. Paolo De Bernardis, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: rumore e condizionamento del segnale; il galvanometro e la misura di piccole correnti; definizione di trasduttori, amplificatori e filtri utilizzati nell'elaborazione di segnali; metodo di modulazione; demodulatore sincrono (Lock - in); radiometro e radiometria; il correlatore.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica e astrofisica
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecniche sperimentali in astrofisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof De Bernardis Paolo.

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