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Rumore

Materiale didattico per il corso di Tecniche sperimentali in astrofisica del Porf. Paolo De Bernardis, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: definizione del concetto fisico di rumore; il moto browniano; teorema di Wiener Khintchine; il rumore Johnson; il rumore di temperatura; il rumore impulsivo... Vedi di più

Esame di Tecniche sperimentali in astrofisica docente Prof. P. De Bernardis

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ESTRATTO DOCUMENTO

dv v

M = - + F(t) (2.1)

dt B τ

dove B è la mobilità del corpo nel fluido. Definendo il tempo di rilassamento = MB si può

1

riscrivere dv v

+ = A(t) (2.2)

τ

dt 1

dove A(t) è l'accelerazione istantanea applicata al corpo dalle molecole del fluido. L'integrale di

questa equazione è dato da ⌠ t

-t/τ -t/τ u/τ

v(t) = v e + e e A(u)du (2.3)

o 1 1 1

0

Per sviluppare i calcoli, faremo delle ragionevoli ipotesi su A(t):

⟨A(t) ⟩

Hp 1) = 0.

⟨A(t ⟩ ∼

Hp 2) ) A(t ) = 0 a meno che non sia t t .

1 2 1 2

⟨A(t) ⟩

2

Hp 3) ha un valore positivo ben definito.

⟨⟩

Il simbolo indica una media su un gruppo di sistemi tut ti con le stesse condizioni iniziali (v ad

o

es.). Le condizioni 1) e 2) indicano intuitivament e che gli urti molecolari sono estremamente rapidi,

τ

con un tempo di correlazione molto breve rispetto a . La 3) indica che in ogni istante c'è una certa

1

forza molecolare non trascurabile, anche se a media nulla. La (2.3) ci permette di calcolare

⌠ t

⟨v(t) ⟩ ⟨A(u) ⟩du

2 2 -2t/τ -2t/τ u/τ

= v e + 2 v e e

o 1 o 1 1

⌡ 0

⌠ ⌠

t t ⟨A(u) ⟩du

-2t/τ (u+w)/τ

+ e e A(w) dw (2.4)

1 1

⌡ ⌡

0 0

Il termine doppio prodotto si media a zero per l'Hp 1. Il termine con integrale doppio non si media a

zero, a causa del fatto che c'è un contributo finito all' integrale quando u w (vedi Hp 2). Inoltre ci

⟨v(t) ⟩ >> τ

2

si aspetta che sia diverso da zero e che in condizioni stazionarie (cioè per t ) tenda ad un

1

valore ben definito. Questo si può vedere quantitativamente riscrivendo il termine in questione

tramite le nuove variabili r = u+w e t′ = u-w. Si ottiene quindi per l'integrale doppio

 

r-t′ r+t′ dr

⌠ ⌠

2t t ⟨A( ⟩dt′

 

-2t/τ r/τ

e e ) A( )

1 1

⌡ ⌡

0 -t

 

2 2 2

I limiti dell'integrale tra quadre possono essere estesi all'infinito, essendo i contributi all'integrale

significativi solo nell'intorno di t′ 0. L'integrale così ottenuto è la funzione di autocorrelazione di

A. E' inoltre ragionevole pensare che l'integrale sia indipendente dal particolare istante centrale r

scelto (essendo una quantità media caratteristica delle fluttuazioni in studio); potremo quindi

definire una costante K r-t′ r+t′

⌠ ∞ ⟨A( ⟩dt′

K = ) A( )

⌡ -∞ 2 2

∫ 2t r/τ

Si può allora calcolare il secondo integrale e dr, ottenendo alla fine

0 1

⟨v(t) ⟩

2 2 -2t/τ -2t/τ

= v e + C ( 1 - e )

o 1 1

τ

con C = 1/2 K costante da determinare. Questa equazione è piuttosto importante, perché mostra

1

come per tempi piccoli rispetto al tempo di rilassamento il sistema si comporti in modo prevedibile

<< τ

e reversibile: se t si ha infatti

1 ⟨v(t) ⟩ ∼

2 2

v ,

o

compatibilmente con quanto aspettato dalla meccanica classica del punto materiale. Al contrario,

>> τ

per t la velocità iniziale è stata completamente smorzata dalla viscosità, e rimane solo l'effetto

1

degli urti delle singole molecole che producono fluttuazioni di velocità a valore quadratico medio

costante: ⟨v(t) ⟩

2 = C (2.6)

il moto della particella è indipendente dalle condizioni iniziali e di pura agitazione termica.

E' qui che entra in gioco la meccanica statistica, che ci assicura che in condizioni di equilibrio, nel

caso unidimensionale, ⟨v(t) ⟩

2 = C = kT/M (2.5).

Si avrà quindi kT

⟨v(t) ⟩

2 2 -2t/τ -2t/τ

= v e + ( 1 - e ) (2.6)

o 1 1

M

Questa equazione descrive quantitativamente la transizione dal moto deterministico al moto caotico.

Cerchiamo di calcolare adesso lo spostamento x della particella. Per integrare ulteriormente la (2.2)

si possono moltiplicare ambo i membri scalarmente per x, ed utilizzare le relazioni

2 2 2 2

dx 1 dv dv 1

dx d d x

2 2 2

x(t)v(t) = x = ; x = 2 ( v + x ) x = - v

2 2

dt dt dt

dt 2 dt dt 2

ottenendo 2 2 2

1 1

d x dx

2

- v = - + A x

2 τ

dt dt

2 2 1

e mediando sui sistemi (media di ensemble)

2 1 d kT

d ⟨x ⟩+ ⟨x ⟩ ⟨A ⟩+ ⟨v ⟩

2 2 2

= 2 x 2 = 2

2 τ

dt dt M

1

La soluzione della precedente equazione differenziale è

kT t

 

⟨x(t) ⟩ τ

2 2 -t/τ

= 2 - (1 - e ) (2.7)

 

1 1

τ

M 1

che di nuovo ci dà i due casi limite, deterministico all'inizio:

⟨x(t) ⟩ ⟨v ⟩t << τ

2 2 2

= (t )

1

ed irreversibile a regime: ⟨x(t) ⟩ >> τ

2 = 2 k T B t (t ) (2.8)

1

La (2.8) è l'equazione fondamentale del moto browniano, (o "random walk") che ci mostra come la

particella si allontani dalla posizione iniziale, ma con una deviazione lenta (vedi fig.2.2),

proporzionale alla radice quadrata del tempo (invece che al tempo, come avviene per il moto

classico, deterministico).

Finora abbiamo considerato il valore quadratico medio delle fluttuazioni. Vogliamo ora studiarne lo

spettro di potenza, cioè esaminare in dettaglio la ripartizione delle fluttuazioni in componenti più o

meno veloci. Per fare questo svilupperemo la variabile y in serie di seni e coseni. Se y(t) fosse una

variabile periodica, varrebbero le seguenti equazioni, che definiscono la serie di Fourier:

∑ ∑

πn πn

y(t) = a + a cos2 f t + b sin2 f t

o n o n o

⌠ 1/f

o

T = 1/f , a = f y(t) dt

o o o ⌡ o

⌠ ⌠

1/f 1/f

πn πn

o o

a = 2 f y(t) cos(2 f t) dt , b = 2 f y(t) sin(2 f t) dt (2.9)

n o o n o o

⌡ ⌡

o o

Se consideriamo una variabile y(t) casuale, stazionaria e a media nulla, si potranno utilizzare ancora

formalmente le (2.9), ma a e b saranno anche esse variabili casuali stazionarie e si dovrà utilizzare

n n

→ → ∞,

il limite per f 0 (ovvero T perché non c'è più periodicità).

o

La varianza di y(t) sarà semplicemente ⟨a ⟩ ⟨b ⟩

n2 n2

∑ ∑

⟨y(t) ⟩

2 = +

2 2

con i fattori 1/2 provenienti dalle medie dei pesi seno e coseno. Siccome y(t) è una variabile

statistica, anche la sua fase varierà casualmente, con equiprobabilità di avere termini in fase (seno)

⟨a ⟩ ⟨b ⟩.

2 2

o in quadratura (coseno) nel suo sviluppo. Avremo quindi = Si definisce lo spettro di

n n

potenza w (f) della variabile casuale y(t) come

y ∑

⟨a ⟩ ⟨b ⟩→⟨y(t) ⟩

2 n2 2

w (nf )·f = = = w (nf )·f

y o o n y o o

e facendo il limite per f 0:

o ⌠ ∞

⟨y(t) ⟩

2 = w (f) df (2.10).

⌡ y

0

Vediamo ora quale è il legame tra lo spettro di potenza e la funzione di autocorrelazione della y.

Dalle (2.9) avremo ⌠ ⌠

1/f 1/f

⟨a ⟩ ⟨y(t ⟩cos(2 π π

n2 2 o o

= 4 f ) y(t ) n f t ) cos(2 n f t ) dt dt (2.11)

⌡ ⌡

o 1 2 o 1 o 2 1 2

o o

τ

se si definiscono = t -t , e s = t +t , e la funzione di autocorrelazione di y:

2 1 2 1

ψ ⟨y(t)y(t+τ) ⟩

(τ) = (2.12)

y τ →

si può dimostrare, trasformando la (2.11) in un integrale su e s e facendo il limite per f 0 che

⌠ ⌠

∞ ∞

ψ(τ) τ) ψ τ)

w (f) = 4 cos(2πf dτ , (τ) = w (f) cos(2πf df (2.13).

⌡ ⌡

y y y

0 0

Abbiamo quindi che funzione di autocorrelazione e spettro di potenza di una variabile casuale

stazionaria sono una coppia di trasformate di Fourier. Questo è noto come Teorema di Wiener-

Khintchine (1926).

Tornando al caso del moto browniano, si può trovare la funzione di correlazione per la velocità.

Analogamente a quanto fatto per passare dalla (2.3) alla (2.4) si ha

⌠ ⌠

t t+τ

⟨v(t) ⟩ ⟨A(u) ⟩du

2 -(2t+τ)/τ -(2t+τ)/τ (u+w)/τ

v(t+τ) = v e + e e A(w) dw =

o 1 1 1

⌡ ⌡

0 0

kT

2 -(2t+τ)/τ -τ/τ -2t/τ

= v e + e (1 - e )

o 1 1 1

M

da cui si vede che a regime, in condizioni stazionarie

kT

ψ -τ/τ

(τ) = e (2.14)

v 1

M

Si ha allora l'espressione per lo spettro di potenza τ

kT 1 4 kTB

⌠ kT

∞ 1

πf τ)

-τ/τ

w (f) = 4 e cos(2 dτ = 4 = (2.15)

v 1

0 πf τ πf τ

2 2

M

M 1 + (2 ) 1 + (2 )

1 1

Dalla (2.15) è evidente che lo spettro di potenza delle fluttuazioni di velocità nel moto browniano è

piatto (e si dice rumore bianco) fino a frequenze f 1/τ , e vale

1

⟨ ⟩df

2

w (f) df = v = 4 k T B df (2.16);

v f

per frequenze superiori le velocità sono smorzate. E' anche possibile ritrovare il valore quadratico

medio della velocità: k T B

⌠ ∞

⟨v ⟩

2 = w (f)df = = kT

⌡ v

0 τ

M 1

Le (2.15) e (2.16) permettono di calcolare quantità osservabili con strumenti a risoluzione

temporale limitata: ad esempio, nel caso di osservazioni al microscopio del moto browniano, il

τ ≅

tempo di persistenza sulla retina è 0.1 s, il che equivale a dire che si è sensibili solo a

obs ≅ <<

frequenze delle fluttuazioni inferiori ad una frequenza massima f 1/τ 1/τ . Le fluttuazioni

obs obs 1

di velocità osservate saranno quindi date da τ

4 k T

⌠ 1

f

⟨v ⟩

2 obs

= w (f)df = 4kTBf = (2.17)

obs v obs

⌡ τ

0 M obs

τ >> τ

essendo , le fluttuazioni di velocità osservate sono molto inferiori a quelle intrinseche della

obs 1

particella. La mancata comprensione di questo fatto ha per lungo tempo nascosto agli osservatori la

⟨ ⟩

2

natura molecolare del moto browniano, che avrebbe dovuto generare velocità v molto maggiori di

quelle osservate (Von Nageli 1879). θ

Einstein generalizzò il suo risultato sul moto browniano (2.8) ad un qualsiasi parametro

osservabile, libero di variare nel tempo in un sistema all'equilibrio termico. Si deve avere cioè

~

⟨δθ ⟩ ⟨(θ(t) θ(0) ⟩

2 2

= - ) = 2 k T t (2.18)

t B

~ θ.

dove B è la mobilità generalizzata del sistema rispetto al parametro Se si considera la derivata di

θ rispetto al tempo (θ) si può ricavarne subito lo spettro di potenza: basta rifare il ragionamento che

dalla (2.8) ha permesso di ricavare la (2.16): si avrà cioè

. ~

⟨ ⟩df

2 = w (f) df = 4 k T df (2.19)

θ f [(θ)\dot] B

Fig. 2.3: Valore rms delle fluttuazioni di tensione per unità di banda passante prodotte dal rumore

Johnson in una resistenza. Le differenti curve si riferiscono a temperature di uso comune:

temperatura ambiente (300 K); temperatura dell'azoto liquido (77 K); temperatura dell'elio liquido

(4.2 K); temperatura ottenibile pompando sull' 3He liquido (0.3 K).

Fig. 2.4: Circuito RLC parallelo eccitato dalla corrente di rumore Di.

2.2 Il rumore Johnson

Lo stesso Einstein considerò le possibili fluttuazioni della carica elettrica in un materiale di

conduttanza G, predicendo ⟨δq ⟩

t2 = 2 G k T t (2.20)

Carica e corrente sono l' analogo elettrico di posizione e velocità nel moto browniano (mentre la

resistenza è l'ana logo della viscosità) e si possono usare le equazioni generalizzate (2.18) e (2.19).

Dalla (2.19) si può scrivere subito lo spettro di potenza delle fluttuazioni di corrente:

⟨δi ⟩df

f2

w (f)df = = 4 k T G df (2.21)

i

∆f,

e, in una banda finita ⌠

⟨δi ⟩ ⟨δi ⟩df ∆f

2 f2

= = 4 k T G (2.22)

⌡ ∆f

Ad alte frequenze le fluttuazioni spontanee di corrente saranno smorzate dalla capacità o

τ

dall'induttanza del conduttore, con costante di tempo pari a RC o R/L: si avrà cioè (vedi (2.15))

df

⟨δi ⟩df

f2

w (f)df = = 4 k T G (2.23)

i πf τ)

2

1 + (2

Le fluttuazioni di tensione ai capi dello stesso conduttore saranno semplicemente

df

⟨δV ⟩df ⟨δi ⟩df

2 2 2

= R = 4 k T R (2.24)

f f πf τ)

2

1 + (2

dove R = 1/G è la resistenza del conduttore. Questa relazione fu verificata sperimentalmente da

Johnson (1927, 1928), e interpretata teoricamente da Nyquist (1927, 1928). Le fluttuazioni

spontanee di tensione ai capi di una resistenza sono dette rumore Johnson. L'ordine di grandezza

dell'effetto si può apprezzare pensando che ai capi di una resistenza da 1 M a temperatura

ambiente (300 K) si produce un rumore Johnson di circa 100 nV/[√Hz] (fig 2.3). E' evidente che il

rumore Johnson cresce con la resistenza e la temperatura: data una certa resistenza, l'unico modo

per ridurne il rumore Johnson consiste nel raffreddarla, anche a temperature prossime allo zero

assoluto se necessario. Il capitolo 4 sarà dedicato alle tecniche di criogenia che consentono di

raffreddare apparati sperimentali in modo da ridurne il rumore termico. Johnson fu anche il primo

ad utilizzare il rumore per misurare la costante di Boltzmann. La misura fu raffinata da Ellis e

Moullin (1932).

Nyquist derivò la formula del rumore Johnson in modo indipendente, partendo da considerazioni

termodinamiche ed utilizzando due resistenze collegate da una linea di trasmissione. Preferiamo qui

riportare una dimostrazione analoga, ma utilizzante solo resistenze, condensatori e induttanze

(Pierce 1956).

La meccanica statistica classica ci assicura che in un sistema (nel nostro caso un circuito)

1

all'equilibrio termodinamico è contenuta in media una energia / k T per ogni grado di libertà del

2

sistema (secondo la meccanica quantistica questa energia decresce ad alte frequenze, ma bisogna

>> ∼

arrivare a frequenze tali che hf kT per osservare tale effetto: migliaia di GHz se T 300 K). In

un circuito con resistenze, capacità, induttanze, senza condensatori connessi direttamente in

parallelo o induttanze connesse direttamente in serie, il numero di gradi di libertà è pari al numero

di induttanze più il numero di condensatori. Infatti dalla conoscenza delle correnti iniziali nelle

induttanze e delle tensioni iniziali ai capi dei condensatori è possibile determinare tutte le correnti

successive nel circuito. Consideriamo ora due semplici circuiti RL e RC. Nel primo, una induttanza

1 2

L è in serie ad una resistenza R a temperatura T. L'energia immagazzinata nell'induttanza è / L i e

2

quindi in media si avrà 1 1

⟨δi ⟩

2

L = k T (2.25)

2 2

analogamente per il circuito con un condensatore in parallelo alla resistenza:

1 1

⟨δV ⟩

2

C = k T (2.26)

2 2

Ora l'idea è di considerare un circuito passabanda, in modo da poter studiare lo spettro di potenza

del rumore variando la frequenza di risonanza del circuito. Consideriamo quindi un circuito RLC

δ

parallelo (fig.2.4), eccitato dalla corrente di rumore i. Questo avrà una impedenza

2

(L/C)Q 1  C

|Z|

2 f

= ; f = ; Q = R (2.27)

f

  √

2 o __

o π

2

Q - +1 2 √

  L

LC

f

f

o

la corrente Johnson che scorre nel circuito sarà dipendente dalla frequenza f, e quindi si potrà

⟨δi ⟩ ⟨δV ⟩ |Z| ⟨δi ⟩

2 2 2 2

scrivere = w (f) df. La tensione di rumore ai capi del circuito sarà = , ma d'altra

f i

parte sappiamo che la tensione ai capi del condensatore deve essere quella data dalla (2.26).

Avremo allora che kT ⌠ ∞

⟨δV ⟩ |Z| ⟨δi ⟩ |Z|

2 2 2 2

= = = w (f) df

i

⌡ 0

C

e quindi 2

Q w (f) df

i

kT L ⌠ ∞

= f f

 

⌡ 2

o

0 2

C C Q - +1

 

f

f

o

Se scegliamo un filtro molto stretto intorno ad f , w (f) non varierà molto all'interno dell'integrale, e

o i

si potrà riscrivere Q d(f/f )

o

w (f ) R ⌠

i o ∞

kT = f f

⌡  

2

o

0

π 2

Q - +1

2  

f

f

o π/2.

x

L' integrale si può calcolare con la sostituzione f/f = e e vale Quindi

o

4kT →⟨δi ⟩df

f2

w (f ) = = 4 k T G df (2.28)

i o R

Abbiamo quindi ridimostrato, partendo da considerazioni di termodinamica statistica, la formula di

Johnson (2.21) per lo spettro di potenza del rumore di agitazione termica degli elettroni.

E' interessante calcolare dalle (2.22) e (2.24) quale sia la potenza di rumore disponibile da una

resistenza R a temperatura T. E' noto che dato un generatore di resistenza interna R (la nostra

resistenza in esame), si ottiene il massimo trasferimento di potenza se gli si connette un carico di

2 2

resistenza pari anche essa a R. In queste condizioni la potenza trasferita su R è P = Ri = R V /

2 2

(2R) = V /4R e quindi

Fig. 2.5: Sistema costituito da una resistenza, una antenna ed una cavità di corpo nero, utilizzato per

illustrare la relazione tra radiazione di corpo nero e rumore Johnson.

Fig. 2.6: Sistema costituito da un piccolo corpo di capacità termica C, connesso con conducibilità

termica G ad un termostato a temperatura T_0. Lungo il collegamento c'è uno scambio continuo di

fononi, che provoca delle fluttuazioni spontanee di temperatura del piccolo corpo.

⟨V ⟩

2

1

⟨P ⟩∆f →⟨P ⟩∆f ∆f

= = kT (2.29).

2 4 R

La potenza Johnson disponibile è quindi indipendente dalla resistenza considerata, e dipende solo

dalla temperatura e dalla banda. I numeri in gioco sono ovviamente molto piccoli: dell' ordine di

-21 -24

4×10 W/[√Hz] a 300 K e di 10 W/[√Hz] a 0.1 K, ma comunque osservabili.

Consideriamo ora un sistema costituito da una antenna connessa ad una resistenza, con

accoppiamento di impedenza ottimale (fig.2.5). Supponiamo inoltre che l'antenna sia all'interno di

una cavità di corpo nero a temperatura T, e che la resistenza si trovi anche essa alla stessa

temperatura. L'antenna raccoglierà dalla cavità una potenza radiativa data dalla legge di Planck

(metà, perché l'antenna può ricevere solo una polarizzazione):

2

1 f

ΩBB(f,T) <<

W df = A = AΩ kT df ; (hf kT) (2.30)

r 2

c

2

D'altra parte l'antenna trasmetterà alla cavità la potenza di rumore Johnson generata dalla resistenza:

W df = kT df (2.31)

t

Essendo i due sistemi (cavità di corpo nero e resistenza) alla stessa temperatura, si dovrà avere un

bilancio dettagliato tra W e W , per cui sarà

r t 2

f

kT df = AΩ kT df (2.32)

2

c

Da questa uguaglianza si ricava il valore della rapidità ottica per ricevitori a singolo modo, o

limitati dalla diffrazione (teorema d'antenna) λ 2

AΩ = (2.33).

D'altra parte, se si suppone nota la (2.33) (vedi ad esempio eq. (1.37)), il fatto che la potenza

raccolta dall'antenna (2.30) debba essere uguale alla potenza Johnson permette di calcolare

quest'ultima. Si ha così una dimostrazione indipendente della formula del rumore Johnson, che

mette in luce la profonda relazione che esiste tra questo e la radiazione di corpo nero. Se si evita poi

<<

la restrizione a basse frequenze hf kT, il ragionamento precedente permette di ottenere una

ragionevole generalizzazione della formula del rumore Johnson nel limite quantistico: si avrà quindi

hf

⟨w ⟩ df = df (2.34)

f hf/kT

e -1

e per la tensione si avrà analogamente hf

⟨v ⟩

2 df = 4 R df (2.35).

f hf/kT

e -1

Va sottolineato che a temperatura ambiente la (2.35) e' perfettamente equivalente alla (2.21) fino a

frequenze altissime (f 1000 GHz), per cui è inusuale nell' elettronica pratica.

Il rumore Johnson può essere usato per la determinazione delle basse temperature. Una resistenza

(possibilmente di valore ben noto e stabile) viene posta in contatto con la temperatura da misurare, e

connessa all'ingresso di un amplificatore a basso rumore a guadagno noto. La tensione di rumore

all'uscita dell'amplificatore permette di ricavare la temperatura attraverso la (2.21). Ovviamente il

rumore dell'amplificatore deve essere trascurabile o va misurato indipendentemente per correggere

il risultato della misura (ad esempio misurando il rumore per resistenze di valore diverso ed

estrapolando a resistenza 0). Il vantaggio maggiore di questo metodo è il fatto che il rumore

Johnson è indipendente dalla composizione del resistore, e fornisce una misura della temperatura

assoluta senza bisogno di calibrazioni. Le imprecisioni legate alla misura della resistenza possono

venire eliminate se si misura la potenza di rumore (vedi 2.29). Un metodo che permette di misurare

fluttuazioni di frequenza (misurabili con precisione enormemente maggiore rispetto alle fluttuazioni

di tensione) e' stato elaborato da Kamper e Zimmerman (1971) usando una giunzione Josephson in

parallelo al sensore resistivo. La giunzione oscilla ad una frequenza f = 2 e V / h dove V è la

tensione istantanea ai capi della resistenza: fluttuazioni di V sono convertite in fluttuazioni di f che

possono essere misurate con grande precisione per mezzo di contatori digitali.

2.3 Rumore di Temperatura

Molti componenti elettronici e rivelatori di radiazione hanno parametri dipendenti dalla

temperatura. Ad esempio tutte le giunzioni p-n dei semiconduttori al Ge o Si presentano una

caratteristica del tipo ηkT

eV /

i = i (e - 1)

o

quindi fortemente dipendente dalla temperatura (è dovuta alla dipendenza da T dei tassi di

diffusione e di creazione e ricombinazione dei portatori di carica). Se la giunzione è attraversata da

una corrente costante, intorno a temperatura ambiente la differenza di potenziale varia di -2.5 mV

per ogni grado di aumento di temperatura.

Ma la temperatura non è mai perfettamente stabile e questo fatto induce instabilità dei circuiti

elettronici e quindi rumore nelle misure effettuate. Particolarmente importanti sono le variazioni a

lungo termine della temperatura, che di solito inducono rumore 1/f nelle misure (vedi paragrafo

2.5). I circuiti integrati moderni utilizzano combinazioni complesse di giunzioni, connesse in modo

da compensare reciprocamente queste variazioni di caratteristiche, in un intervallo di temperature

più o meno ampio: per componenti commerciali da 0 C a 70 C; per componenti industriali da -25 a

+80 C ; per componenti militari da -55 C a +125 C. In ogni caso all' interno di questi intervalli di

funzionamento ci sono variazioni di caratteristiche che possono essere incompatibili con la

accuratezza richiesta dalle misure.

Non meno importanti sono le fluttuazioni spontanee e relativamente veloci di temperatura di piccoli

sistemi, dovute alla quantizzazione dell'energia termica in fononi. Queste fluttuazioni sono tanto

maggiori quanto maggiore è la temperatura e quanto più piccola è la capacità termica. Vedremo che

sono di grande importanza per i rivelatori di tipo termico, quali i bolometri e la cella di Golay.

Consideriamo infatti un piccolo corpo di capacità C, in equilibrio termodinamico con un termostato

∆T

a temperatura T , e collegato ad esso con conducibilità termica G. Sia la fluttuazione di

o

temperatura del corpo (fig.2.6). ∆T(t).

Dalla termodinamica si può ricavare la varianza di Per un sistema di piccoli corpi in

equilibrio a temperatura T la probabilità dello stato ad energia E è

i

-[(E i)/ kT]

e

-[(Ei)/ kT]

P = Ae =

i ∑ -[(E )/ kT]

e k

k

si può allora ricavare l' energia media ∑ -[(E )/ kT]

E e

i i

i

⟨E ⟩ = E P =

i i ∑ -[(E )/ kT]

e i

i

e quindi la capacità termica ⟩ ⟨∆E ⟩ ⟨∆T ⟩

2 2 2

d⟨E C

C = = =

2 2

dT kT kT

da cui 2

kT

⟨∆T ⟩

2 = (2.36).

C

Per ricavare lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura si deve considerare l'equazione

differenziale che descrive la temperatura del sistema. In assenza di perturbazioni si avrà

d T(t)

C + G ( T(t) - T ) = W(t) (2.37).

0

dt

dove W(t) e' l'eventuale potenza fornita al sistema. Se dobbiamo includere nella trattazione

fluttuazioni spontanee di temperatura, si dovrà ammettere che la potenza W(t) sia fluttuante,

positiva e negativa (fornita e sottratta al sistema), e completamente casuale, e quindi a spettro

∆T

bianco. Chiameremo H(t) questa potenza (Metodo di Langevin), ed indicheremo con le

conseguenti fluttuazioni di temperatura. Si potrà scrivere:

∆T(t)

d ∆T(t)

C + G = H(t) (2.38)

dt ∆T(t) ∑a πi ∑b πi

D'altra parte, sviluppando in serie di Fourier = exp(2 f t) e H(t) = exp(2 f t) e

n n n n

sostituendo nella (2.38), e ricordando che le armoniche sono indipendenti tra loro, si trova la

relazione tra i coefficienti a e b :

n n πi

a ( C 2 f + G ) = b

n n n

e quindi la relazione tra gli spettri di potenza: w

H

w (f) = (2.39).

T πf 2 2

(2 C) +G

A questo punto si può utilizzare la varianza delle fluttuazioni di temperatura (2.36), ricavando

2 df dx

k T w w

⌠ ⌠ ⌠

∞ ∞ ∞

H H

⟨∆T ⟩

2

= = w (f) df = w = =

⌡ ⌡ ⌡

T H πG

0 0 0

πf 2

C 4 CG

2 2 2 C 1 + x

(2 C) +G

da cui, sostituendo w nella (2.39) si ricava:

H


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Tecniche sperimentali in astrofisica del Porf. Paolo De Bernardis, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: definizione del concetto fisico di rumore; il moto browniano; teorema di Wiener Khintchine; il rumore Johnson; il rumore di temperatura; il rumore impulsivo o shot noise; Flicker Noise; rumore negli amplificatori; rumore fotonico.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica e astrofisica
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecniche sperimentali in astrofisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof De Bernardis Paolo.

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