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Modulo V – Modelli dinamici

2.2 Lo schema del Koyck

Se nella (2.1.1) il numero dei ritardi è infinito si ottiene lo schema

∞ (2.2.1)

= µ + δ +

y x u

t j t j t

= 0

j

chiaramente non stimabile senza porre dei vincoli sui parametri. Una forma molto

usata di restrizione è costituita dalla imposizione

j

δ δ⋅w (2.2.2)

= 0<w<1 , j = 0,1,2,…

j

già utilizzata per trattare lo schema deterministico (I-2.6.4). Se si decide di

sfruttare la (2.2.2) lo schema (2.2.1) viene trasformato nell'altro

= µ + +

j

y ( wL ) x u

t t t

=0

j

equivalente alla relazione δ

= µ + +

y x u (2.2.3)

t t t

1 wL

avendo utilizzato il fatto che la somma degli infiniti termini di una progressione

geometrica di ragione è se . In effetti l'ipotesi (2.2.2) implica

wL 1/(1−wL) 0<wL<1

soltanto che , ma il fattore non modifica la doppia disuguaglianza poiché è

0<w<1 L

ininfluente sulle costanti come indicato dalla I-(2.6.8).

del Koyck

, dal nome dello studioso che lo utilizzò

Lo schema (2.2.3) è detto

sistematicamente per primo nel 1954. si ottiene

Moltiplicando i due membri della (2.2.3) per 1−wL

µ′ δx − (2.2.4)

y = + wy + + u wu

t t−1 t t t−1

µ′ . Si noti che questa relazione è stata ottenuta senza far ricorso

con = (1−w)µ

all'algoritmo della somma degli infiniti termini di una progressione geometrica, che

quindi non è necessario per la definizione dello schema del Koyck.

Questo modello gode del pregio di sostituire agli infiniti parametri della (2.2.1) i

µ δ

soli tre parametri , e della (2.2.4); d'altro canto esso impone una precisa

w x

configurazione di impatto dinamico della sulla , basata su di un effetto

y

t t

monotonamente decrescente, come si ricava dalla (2.2.2) che impone ai coefficienti

δ di essere costantemente decrescenti. Dunque si obbligano i parametri a

j

soddisfare ad un vincolo di carattere matematico per rendere lo schema a ritardi

distribuiti infiniti (2.2.1) trattabile dal punto di vista statistico, al prezzo, però, di

x

imporre una configurazione di impatto dinamico della sulla che non è affatto

y

t t

detto corrisponda alla realtà economica. Pagina 2-7

Modulo V – Modelli dinamici

Osservazione 2.5 - Una maggiore flessibilità nello schema del Koyck

viene ottenuta permettendo allo schema a ritardi distribuiti infiniti di

iniziare con un ritardo di unità temporali, con fatto dipendere dai

b b

dati del campione. In questo caso la (2.2.3) diventa

δ

= µ + +

y x u (2.2.5)

t t b t

1 wL

e la (2.2.4) si modifica di conseguenza.

Il caso di due variabili esplicative

È di un certo interesse applicativo esaminare lo schema del Koyck quando è seguito

da due variabili esplicative. La (2.2.1) diventa, allora,

∞ ∞

∑ ∑

= µ + δ + γ +

y x z u (2.2.6)

− −

t j t j j t j t

= =

0 0

j j

che sottoponiamo alle due restrizioni seguenti

δ = δ ⋅ γ = γ ⋅

j j

w w

, , 0<w <1 , 0<w <1 , j = 0,1,2,…

1 2

j j

1 2

Si ottiene lo schema del Koyck con due variabili esplicative

δ γ

= µ + + +

y x z u (2.2.7)

t t t t

− −

1 1

w L w L

1 2

che è ancora un caso particolare del modello a funzione di trasferimento (2.1.14).

Razionalizzando la (2.2.7), cioè moltiplicando i suoi due membri per

, si osserva che sull'endogena viene a sussistere uno schema

(1−w L)(1−w L) y

1 2 t

e sul residuo uno .

AR(2) u MA(2)

t Pagina 2-8

Modulo V – Modelli dinamici

2.3 Il modello delle attese adattive

Lo schema di attese adattive è stato già esposto nel paragrafo I-(2.6) e commentato

nel caso dell'applicazione all'inflazione; in relazione alla generica variabile attesa

e , tale schema vige nella forma

x t − = − λ − ≤ λ ≤ (2.3.1)

e e e e

x x (

1 )( x x ) 0 1

− −

t t 1 t t 1

e si ottiene

Risolvendo la (2.3.1) rispetto alla x t − λ

(

1 ) (2.3.2)

=

e

x x

t t

− λ

(

1 L )

e è inserita in un modello di regressione lineare del tipo

e se la x t = µ + β + (2.3.3)

e

y x u

t t t

inserendo la (2.3.2) nella (2.3.3) si perviene alla

β − λ

(

1 ) (2.3.4)

= µ + +

y x u

t t t

− λ L

1

analoga allo schema del Koyck (2.2.3).

Osservazione 2.6 - Applicando alla (2.3.2) il procedimento iterativo che

ha condotto alla formulazione I-(2.6.4) si ottiene

∞ (2.3.5)

= − λ λ

e j

x (

1 ) x −

t t j

= 0

j

che esprime la variabile attesa con uno schema adattivo tramite una

,

combinazione lineare di tutti i valori contemporanei e passati della x

t

ponderati con pesi che decadono geometricamente. Pagina 2-9

Modulo V – Modelli dinamici

2.4 La stima del modello del Koyck

~

Supponiamo che per i residui dello schema del Koyck valgano le ipotesi

u t

stocastiche standard sotto le quali è conveniente utilizzare lo stimatore dei minimi

quadrati ordinari. Questo stimatore, tuttavia, non può essere adoperato

direttamente poiché lo schema del Koyck non è lineare nei parametri: si vede

infatti dalla (2.2.3) che la variabile esplicativa è moltiplicata per un fattore nel

δ e . È allora necessario fare uso dello

quale sussistono contemporaneamente w

stimatore dei minimi quadrati non lineari, che illustreremo nel prossimo paragrafo,

oppure di quello della massima verosimiglianza, oppure ancora di una procedura

più semplice, basata sugli , che esponiamo di seguito.

OLS

Il metodo di stima della griglia

Riscriviamo lo schema del Koyck (2.2.4) nella forma

−u µ′ −u δx (2.4.1)

y = + w(y ) +

t t t−1 t−1 t

che diventa µ′ δx (2.4.2)

z = wz + +

t t−1 t

se poniamo − (2.4.3)

z = (y u )

t t t

La (2.4.2) è un'equazione alle differenze del primo ordine, con la specificità che la

µ′ δx

è stocastica è che il termine noto è funzione del tempo tramite

variabile z +

t t

l'esplicativa .

x t

Possiamo trovare, tuttavia, la soluzione generale dell'equazione alle differenze

(2.4.2) utilizzando la procedura basata sulle sostituzioni successive

µ′ δx

z = wz + +

1 0 1 2

µ′ δx µ′(1 δ(wx

z = wz + + = w z + + w) + + x )

2 1 2 0 1 2

3 2 2

µ′ δx µ′(1 δ(w

z = wz + + = w z + + w + w ) + x + wx + x )

3 2 3 0 1 2 3

per cui per un tempo generico si ha

t − t

1 w

µ′

= + + δ

t * (2.4.4)

z w z x w≠1

t 0 t

1 w

*

dove viene calcolata ricorsivamente, in funzione del parametro w

x t Pagina 2-10

Modulo V – Modelli dinamici

=

*

x x

1 1

= +

* *

x x wx

2 2 1

= +

* *

x x wx (2.4.5)

3 3 2

... = +

* *

x x wx −

1

t t t

data dalla (2.4.3) nella (2.4.4) si ottiene l'equazione

Sostituendo l'espressione per z t − t

1 w

µ′

= + + δ ⋅ +

t * (2.4.6)

y z w x u w≠1

t 0 t t

1 w µ δ

nella quale sussistono tre parametri incogniti, , e , in funzione delle tre

z 0

*

variabili , e , i cui valori sono noti per tutto il campione

w (1−w )/(1−w) x

t t t . È allora possibile suddividere l'intervallo

subordinatamente alla conoscenza di w griglia

nel quale è compreso il parametro in una di valori, ad esempio

(0,1) 6

=

ˆ

w 0

.

1

, 0

.

15

, 0

.

20

, ..., 0

. 95

e stimare la (2.4.6) con il criterio dei minimi quadrati ordinari per ognuno dei

µ δ

valori della griglia. Si scelgono infine le stime di , e corrispondono

ŵ z che

0

all'iterazione con devianza dei residui minima (ed anche viene di conseguenza

selezionato). Nel caso in cui il valore scelto sia quello vero valgono esattamente

le proprietà usuali degli , altrimenti gli errori standard effettivi delle stime ,

OLS ẑ 0

µ δ̂

ˆ e possono anche essere diversi da quelli stimati.

grid search

In lingua inglese la procedura è detta: .

6 Pagina 2-11

Modulo V – Modelli dinamici

2.5 Il criterio di stima dei minimi quadrati non lineari

Si è osservato nel paragrafo precedente che l'equazione del Koyck (2.2.3) è non

lineare nei parametri e quindi non può essere stimata con il criterio dei minimi

quadrati ordinari. Esponiamo allora il criterio dei minimi quadrati non lineari

7

(indicati con l'acronimo ) che permette appunto di ottenere con metodo

NLLS

iterativo degli stimatori per i parametri di tale equazione e delle altre non lineari.

In generale supponiamo che sia

u = h(y ,x ;a) (2.5.1)

t t t

funzione non lineare dei parametri ed il

come nella II-(1.3.5), con h a = [a ,a ,…,a ]′

1 2 h

vettore formato dai valori delle variabili esplicative al tempo . Il criterio dei

x k t

t

minimi quadrati consiste ancora nel minimizzare la funzione

n

n

∑ ∑

= =

2 2

S ( ) u [ h ( y , ; )]

a x a (2.5.2)

t t

t

= =

t

t 1 1

ma le equazioni normali che si ottengono imponendo le condizioni necessarie sono

generalmente non lineari, a seguito della non linearità della (2.5.1). Si può

sfruttare, allora, l'algoritmo iterativo di Gauss-Newton che linearizza il vettore dei

residui intorno al valore ottenuto nell’iterazione precedente tramite lo sviluppo

u a

in serie di Taylor troncato al secondo termine

j j j + 1 j j + 1

−a (2.5.3)

u(a ) = G (a ) + u(a )

j ha per elemento generico la quantità

dove la matrice G ⎤

⎡ ∂

u (a )

= −

j t

g ⎥

⎢ (2.5.4)

ti ∂

a ⎦

⎣ i j

=

a a

i i

j

Data la forma di , che si determina all'inizio, nell’iterazione -esima l'algoritmo

G j

j

procede nel seguente modo: il vettore di parametri è calcolato nell’iterazione

a

j

precedente e quindi è noto, così come nota dalla (2.5.4); tramite la regressione

G

j + 1 j j + 1

−a

lineare (2.5.3) si calcola il vettore e quindi minimizzando la (2.5.2)

(a ) a

nella quale ora è lineare nei parametri.

u t 0 possono essere valutati soggettivamente,

Nella prima iterazione i parametri a

ad esempio pari a zero, oppure stimati mediante un altro criterio. L'algoritmo si

arresta o dopo un numero prefissato di iterazioni, oppure quando i valori dei

parametri si scostano meno di una soglia determinata preliminarmente e

soggettivamente dai valori dell’iterazione precedente.

Non linear least squar

e s

, in lingua inglese.

7 Pagina 2-12

Modulo V – Modelli dinamici

È di un certo interesse applicare questo algoritmo al modello lineare II-(1.3.1)

β

ed analizzare i risultati dell'applicazione. Il vettore dei parametri è e le

a = [β ]′

1 2

derivate (2.5.4) sono ∂ ∂

u

u = =

− −

t t

1 x

, t

β ∂

β

1 2

j

, per cui la matrice è

per ogni t G ′

⎡ 1 1 ... 1

=

G ⎥⎦

⎢ x x ... x

⎣ 1 2 n

0 β β

0 02

Ponendo uguale a zero i valori iniziali per cui è

a = [ ]′ = [0 0]′

1

0 − β − β

0 02

u (a ) = y x = y

t t t t

1

la (2.5.3) diventa nella prima iterazione

0 j 1 0 1

−a

u(a ) = G (a ) + u(a )

cioè 1 1

y = Ga + u(a )

dalla quale si traggono le stime dei minimi quadrati

⎡ ⎤

β

11 ′ ′

−1

= (

G G ) G y

⎢ ⎥

β

1

⎣ ⎦

2

uguali a quelle trovate nel paragrafo II-1.3. È stata sufficiente una sola iterazione

per addivenire a queste stime. Pagina 2-13

Modulo V – Modelli dinamici

2.6 Lo schema della Almon

Un ulteriore metodo per diminuire la numerosità dei parametri in uno schema a

ritardi distribuiti è dovuta alla Almon (1965), che considerò lo schema a ritardi

δ

distribuiti con finito (2.1.1) ed impose ai parametri di essere uguali a

m α

particolare polinomi nei nuovi coefficienti

2 r

δ α α α α (2.6.1)

= + j + j + … + j j = 0, 1,…, m , r<m

j 0 1 2 r

ben inferiore ad si diminuisce notevolmente il numero dei

Scegliendo un grado r m

parametri, che con la trasformazione (2.6.1) si riducono ad . Si ha, infatti, che

r + 2

δ α

=

0 0

δ α α α

= + + … +

1 0 1 r r

δ α α

= + 2α + 4α + … + 2

2 0 1 2 r

… 2 r

δ α α α

= + mα + m + … + m

m 0 1 2 r

δ α

cioè gli parametri sono espressi mediante gli coefficienti e quindi

m + 1 r + 1 8

µ α

l'equazione (2.1.1) viene a contenere il termine noto più le .

r + 1

Esempio 2.1 - Sia lo schema a ritardi distribuiti di ordine m = 3

µ δ δ δ δ

y = + x + x + x + x + u

t 0 t 1 t−1 2 t−2 3 t−3 t

e lo si voglia trasformare tramite le restrizioni della Almon con ; è

r = 3

δ α δ α α α δ α δ α

= , = + + , = + 2α + 4α , = + 3α + 9α

0 0 1 0 1 2 2 0 1 2 3 0 1 2

per cui, sostituendo, si ottiene

µ α α α

y = + (x + x + x + x ) + (x + 2x + 3x ) + (x +

t 0 t t−1 t−2 t−3 1 t−1 t−2 t−3 2 t−1

+ 9x ) + u

4x t−2 t−3 t

contenente 4 parametri al posto dei 5 iniziali. Si osservi come le variabili

esplicative dello schema della Almon siano ottenute come combinazioni lineari

dell'esplicativa originale, corrente e ritardata fino a 3 tempi.

Anche il modello della Almon, come quello del Koyck, può essere reso meno

rigido facendo partire lo schema a ritardi distribuiti dopo unità temporali; in

b

questo caso esso diventa (2.6.2)

m

= µ + δ +

y x u

t j t j t

=

j b PDL

Polynomial Distributed Lag

Lo schema della Almon è detto in lingua inglese: ( ).

8 Pagina 2-14

Modulo V – Modelli dinamici

e torna ad essere uguale al (2.1.1) per .

b = 0

D'altro canto anche lo schema della Almon impone una precisa conformazione

sulla ; è l'andamento illustrato nella figura 2.1

alla dinamica dell'impatto della x y

t t

che non necessariamente coincide con la realtà economica. Si noti, in tale figura,

δ δ δ

che e che .

r = 6 = = = 0

−2 −1 7 δ r =

Figura 2.1 - Distribuzione dei coefficienti assoggettata ad uno schema della Almon c

o n

6 . L’imposizione, a fini modellistici, di tale conformazione costituisce un notevole

difetto dello schema, che soltanto in parte viene mitigato dal fatto che questo può

iniziare ad un ritardo qualsiasi e non necessariamente in quello nullo.

b

Talvolta può essere utile condizionare lo schema vincolandolo ad assumere

valori nulli prima che esso inizi e dopo che esso è concluso: si impone, cioè, che sia

δ δ , come nel caso illustrato dalla figura 2.1.

= = 0

−1 m + 1

La stima del modello della Almon

Se i parametri ed sono scelti correttamente, la stima dell'equazione (2.1.1)

m r

condizionata dai vincoli (2.6.1) può essere effettuata con il criterio dei minimi

quadrati ordinari sotto le ipotesi stocastiche standard. Per applicare tale criterio

osserviamo che le equazioni (2.6.1) possono essere scritte nella forma matriciale

d = Ga (2.6.3)

dove , e è la seguente matrice di potenze

d = [δ ,δ ,…,δ ]′ a = [α ,α ,…,α ]′ G

0 1 m 0 1 r

⎡ ⎤

0 1 r

0 0 ... 0

⎢ ⎥

0 1 r

1 1 ... 1 (2.6.4)

⎢ ⎥

=

G ⎢ ⎥

... ... ... ...

⎢ ⎥

0 1 r

⎢ ⎥

m m ... m

⎣ ⎦

di ordine , detta di Van der Monde. Sostituendo nella forma

(m×1)×(r + 1) d

matriciale della (2.1.1) che scriviamo nel modo usuale

µi (2.6.5)

y = + Xd + u

dove è stata tenuta separata la costante dalle variabili esplicative, otteniamo

µi (2.6.6)

y = + XGa + u

immediatamente stimabile con il criterio dei minimi quadrati ordinari. , stimando

Alternativamente, si può evitare di effettuare la sostituzione di d

direttamente la (2.6.5) con il vincolo costituito dalla (2.6.3); allora, al fine di

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta i Ritardi distribuiti, come sviluppati nel corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi: schema della Almon, modello delle attese adattive, stima del modello del Koyck, schema dello Schiller, schema a ritardi distribuiti.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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