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Panoramica sulle tecniche di

misurazione

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 37

Possibili approcci per il calcolo del VaR

Le metodologie più diffuse per il calcolo del VaR

sono due tipi:

• “Delta-normal” o parametriche, così chiamate

perché utilizzano fattori di sensibilità (duration,

beta, delta, ecc.) per la stima del rischio;

• “Full Valuation” o di simulazione, che possono

essere:

– historical simulation

– stress test

– Montecarlo

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 38

Delta-normal

L’approccio si basa sull’assunzione che i rendimenti

delle attività finanziarie si distribuiscano

normalmente e il rendimento dell’intero

portafoglio altro non è se non una combinazione

lineare di variabili normali che si distribuisce a

sua volta normalmente.

Il rischio è generato dalla combinazione di

fattori di rischio che

esposizioni lineari a diversi

si distribuiscono normalmente e dalla loro

covarianza.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 39

Historical simulation

Consiste nell’andare indietro nel tempo, ad esempio

gli ultimi 250 giorni, ed applicare i pesi correnti

alla serie dei rendimenti storici di quelle attività.

In questo modo viene ricostruita la storia del

rendimento del portafoglio e diventa possibile,

dopo aver ordinato le variazioni di valore in ordine

crescente (a partire, quindi, da quelle più negative)

individuare il valore che consente di isolare quelle

peggiori in base al percentile prescelto (95% o

99%).

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 40

Stress-tests

Questo metodo è esattamente l’opposto

dell’historical simulation; esamina gli effetti di

variazioni molto ampie nell’andamento delle

variabili finanziarie del portafoglio.

Richiede la specificazione di uno scenario (motivo

per cui viene anche definito scenario analysis)

dove, ad esempio, si vanno a valutare gli effetti di

una variazione di 100 b.p. della curva dei

rendimenti, una svalutazione del 30% di una

divisa, ecc.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 41

Stress-tests (segue)

Le linee guida del Derivatives Policy Group prevedono

di simulare l’effetto di:

• shift parallelo della curva di ±100 bp

• twist della curva di ±25 bp

• variazione dell’indice azionario di ±10%

• movimenti delle valute di di ±6%

• variazione della volatilità di ±20%

Tutte le attività vengono rivalutate ai nuovi prezzi e,

ripetendo l’esercizio con diversi scenari, ad ognuno

dei quali viene assegnata una certa probabilità di

realizzazione, diventa possibile ottenere una

distribuzione del rendimento del portafoglio dalla

quale è possibile misurare il VaR.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 42

Metodo Montecarlo

A differenza della scenario anlaysis, nella quale la

formulazione degli scenari è sempre soggettiva, il

metodo Montecarlo copre un ampio spettro di

possibili valori delle variabili finanziarie e, altro

limite del metodo precedente, tiene conto delle

correlazioni esistenti.

Il metodo è simile a quello dell’historical simulation,

con la differenza che le variazioni di prezzo sono

create in maniera casuale con un procedimento di

tipo stocastico.

E’ senza dubbio il metodo migliore per la stima del

VaR.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 43

Il metodo del Value at Risk

L’obiettivo della misurazione è quello di ottenere un

valore numerico capace di esprimere in maniera

significativa il rischio assunto.

Poiché l’implementazione di un modello di VaR è un

processo che richiede notevoli investimenti in termini

di risorse sia umane sia tecnologiche, e poiché i costi

diventano tanto maggiori quanto più ci si sposta verso

soluzioni più sofisticate, la scelta di quale metodologia

adottare richiede una corretta valutazione del trade–off

tra significatività del risultato (precisione) e costi di

realizzazione e di gestione.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 44

delta-normal

L’approccio

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 45

Value at Risk delta normal

– L’approccio

Se si segue questo tipo di approccio, è necessario individuare i

cosiddetti fattori di rischio, cioè le variabili di mercato che

determinano la variazione di valore delle attività dei singoli

strumenti finanziari:

• tassi di interesse

• prezzi dei titoli azionari

• tassi di cambio

Ad esempio, una posizione su un titolo obbligazionario estero

viene suddivisa in due posizioni: una sul tasso di interesse

della valuta estera ed una in cambi spot sulla medesima

valuta.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 46

Il Value at Risk: problemi metodologici

I problemi metodologici da risolvere per utilizzare con

efficacia il VaR sono essenzialmente i seguenti:

• stima della volatilità;

• scelta dell’intervallo di confidenza;

• scelta dell’orizzonte temporale di riferimento;

• correlazioni tra le variabili di mercato.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 47

Il Value at Risk: stima della volatilità

Occorre determinare la variabilità del prezzo o, meglio, del

rendimento dell’attività in portafoglio intorno alla propria

variazione media.

Naturalmente ciò che occorre è la variabilità futura, non

determinabile con certezza.

I metodi che è possibile utilizzare sono essenzialmente due:

• volatilità storica: deviazione standard di rendimenti;

• volatilità implicita: con un processo di reverse

engineering, è possibile desumerla dal prezzo delle opzioni

quotate.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 48

Il Value at Risk: intervallo di confidenza

FTSE MIB - Andamento rendimenti Febbraio 2005-Marzo 2010

15,00% +10.87%

10,00%

5,00%

0,00%

-5,00% -8.6%

-10,00% 14-dic-09

14-dic-08 14-apr-09

14-dic-07 14-apr-08

14-dic-06 14-apr-07

14-dic-05 14-apr-06 14-ago-09

14-giu-09

14-apr-05 14-ago-08 14-ott-09

14-giu-08

14-ago-07 14-ott-08

14-giu-07

14-ago-06 14-ott-07

14-giu-06

14-ago-05 14-ott-06

14-giu-05 14-ott-05 14-feb-10

14-feb-09

14-feb-08

14-feb-07

14-feb-06

14-feb-05

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 49

Il Value at Risk: intervallo di confidenza

FTSE MIB - Distribuzione rendimenti

350

300 289

250 230

200 175

141

150 104

100 82

58 51

50 38 28

16 16 8

7 7

5 5 5 5

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 %

0% 0%

0%

% 0%

% %

0% 0% 0% 0%

0%

0% %

%

% % % % %

% %

0%

0% 0% 0% ,0

,0 ,0

,0 ,0

,0

,0 ,0 ,0 ,0 ,0

,0 ,0

1,

3, 0, 1, 2, 3,

2, 0, 7,

4, 5, 6, 8, 9, 13

-8 12

11

-9 10

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -1 -1

-1

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 50

Il Value at Risk: intervallo di confidenza

Bund Future (Giugno 2010) - Andamento rendimenti Ottobre 2009-Marzo

2010

1,00%

0,80% +0.73%

0,60%

0,40%

0,20%

0,00%

-0,20%

-0,40%

-0,60% -0.78%

-0,80%

-1,00% 10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

09

09

09

09

09

09

09

09

09

09

09 09

09

09

09

9 09

/0 3/

3/

2/

2/

2/

2/

1/

1/

1/

1/

2/

2/

2/

2/

2/

1/

1/

1/

1/

0/

0/

0/

0/

0/

9/

9/

9 /0

/0

/0

/0

/0

/0

/0

/0

/0

/0

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/1

/0

/0

/0 11

04

25

18

11

04

28

21

14

07

31

24

17

10

03

26

19

12

05

29

22

15

08

01

24

17

10 © 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 51

Il Value at Risk: intervallo di confidenza

Bund Future (Giugno 2010) - Distribuzione rendimenti

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0 -1,10% -0,90% -0,70% -0,50% -0,30% -0,10% 0,10% 0,30% 0,50% 0,70% 0,90% 1,10%

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 52

Il Value at Risk: intervallo di confidenza

La scelta dell’intervallo di confidenza è funzione del grado di

avversione al rischio della banca, in quanto esprime il grado di

protezione contro movimenti avversi di mercato.

Il criterio è di tipo probabilistico e dipende dalla forma della

distribuzione della variabile considerata.

Nel caso di distribuzione normale, che può essere interamente

descritta dai soli parametri di media e deviazione standard, per

definire un intervallo di confidenza è sufficiente utilizzare un

multiplo della deviazione standard, secondo lo schema:

Livello di confidenza Deviazioni standard

99,5% 3,000

99% 2,323

97,5% 2,000

95% 1,650

90% 1.280

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 53

La scelta dell’orizzonte temporale

Occorre definire un periodo futuro (holding period o periodo di

detenzione) lungo il quale si misura la perdita potenziale. Da esso

dipende la stima della volatilità che sarà calcolata su variazioni di

ampiezza pari all’orizzonte prescelto.

I criteri che possono guidare la scelta sono:

• il grado di liquidità del mercato che determina il periodo

necessario alla liquidazione delle posizioni;

• la finalità dell’investimento, che dovrebbe prevedere hp molto

brevi per posizioni di trading speculativo a brevissimo e più

lunghi per posizioni di investimento.

• dimensione dell’esposizione, per gli effetti che una sua

liquidazione troppo repentina potrebbe avere sui prezzi di

mercato.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 54

La scelta dell’orizzonte temporale

Spesso non si hanno a disposizione serie storiche abbastanza

lunghe per poter effettuare delle stime della volatilità per

periodi di detenzione di una certa lunghezza.

metodo di traduzione, problema

Diventa allora necessario un

noto in econometria come time aggregation, che consiste nel

moltiplicare/dividere la volatilità calcolata con un certo passo,

per la radice quadrata del numero dei giorni di negoziazione

dell’intervallo di tempo prescelto. σ , su quella di

Per scalare, ad esempio, una volatilità giornaliera, G

σ

un periodo T più lungo, , avremo:

T

σ σ

= T

T G

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 55

La stima delle correlazioni

La stima del grado di correlazione fra variazioni dei prezzi di

attività diverse rappresenta l’ultimo problema di carattere

metodologico.

La somma dei singoli VaR, ovviamente, sovrastima il rischio

complessivo in quanto, se le attività non sono perfettamente

correlate positivamente, se cioè il coefficiente di

correlazione è minore di 1, si beneficia di un effetto

diversificazione che consente di ridurre il rischio

complessivo.

Per calcolare, infatti, il rischio connesso ad un portafoglio di

attività, occorre fare ricorso alla covarianza, che fornisce

una misura della relazione esistente tra due variabili.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 56

La stima delle correlazioni

La covarianza, tra due variabili a e b si ottiene come:

n

1 ∑

= − −

Cov (

a a )(

b b )

ab i i

n =

1

i

Una covarianza positiva indica che esse sono caratterizzate da

variazioni di segno uguali, entrambe al rialzo o al ribasso.

La covarianza può anche essere espressa come:

σ σ ρ

=

Cov

ab a b a

,

b

σ ρ

Dove rappresenta la deviazione standard (volatilità) e il

a,b

coefficiente di correlazione fra le due variabili.

La varianza di più variabili è pari alla somma delle loro varianze

e del doppio delle covarianze tra esse.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 57

La stima delle correlazioni

Nel caso delle due variabili a e b avremo:

σ σ σ

+ = = + +

2 2

2

Var

(

a b

) 2

Cov

+

a b a b a ,

b

Sostituendo la Cov: σ σ σ σ σ ρ

+ = = + +

2 2

2

Var

(

a b

) 2

+

a b a b a b a

,

b

La volatilità unitaria sarà dunque data da:

σ σ σ σ σ ρ

= + +

2 2 2

+

a b a b a b a

,

b

Tenendo conto del peso (w) di ciascuna attività all’interno del

portafoglio, avremo:

σ σ σ σ σ ρ

= + +

2 2

2 2

w w 2

w w

+

a b a a a b a b a b a ,

b

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 58

La stima delle correlazioni

Nel caso di un portafoglio con 3 titoli, avremo:

σ σ σ σ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ

= + + + + +

2 2

2 2 2 2

w w w 2

w w 2

w w 2

w w

+ +

a b c a a b b c c a b a b a ,

b b c b c b , c a c a c a , c

… e così via, per portafogli composti da un numero maggiore

di attività. La volatilità dipende dalla volatilità delle

singole componenti e dalle correlazioni, a due a due, fra

queste.

L’espressione per un portafoglio composto da n attività, può

dunque essere così sintetizzata (riutilizzando i termini di

covarianza): n n n

∑ ∑ ∑

σ σ σ

= +

2 2

w 2 w w

P i i i j ij

= = <

i 1 i 1 j i ασ

Il VaR, nell’ipotesi di normalità, sarà poi dato da .

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 59

La stima delle correlazioni

All’aumentare del numero di attività diventa problematico

considerare tutte le covarianze; è questo il motivo per cui

risulta più semplice ricorrere alle matrici. La varianza, in

questo caso, è data da: σ σ σ σ

   

2 ... w

1 12 13 1

n 1

   

. .

[ ]    

σ = ⋅ ⋅

2 w ...

w    

P 1 n .

.

   

σ σ σ σ 2

  w

 

...

  n

n

1 n 2 n 3 n

Σ

Indicando con la matrice delle varianze-covarianze, avremo

che la volatilità del portafoglio sarà data da:

σ = Σ

w ' w

P

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 60

La metodologia CreditMetrics™

per il rischio di credito

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 61

CreditMetrics™

Il modello

Le funzioni regolamentari per la determinazione del

requisito patrimoniale per le varie classi di prenditori,

sono formule “chiuse”, proxy del modello

TM , sviluppato da JP Morgan nel 1997

CrediMetrics

(data di pubblicazione dell’omonimo documento

tecnico).

L’obiettivo del modello è la valutazione del potenziale

impatto del peggioramento della qualità dei

sul market value del portafoglio crediti.

prenditori

Rispetto ad una singola posizione, il rischio consiste nella

possibilità che la controparte diventi insolvente oppure

che si verifichi un downgrading.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 62

CreditMetrics™

Il modello

I vari livelli di rischio sono individuati dalle classi di

rating (definite dalle agenzie o elaborati internamente).

L’effetto di un downgrading comporta l’aumento del

credit spread richiesto con conseguente diminuzione

del valore di mercato.

La valutazione del rischio di credito si basa proprio sulla

ricostruzione della distribuzione di probabilità del

valore di mercato della posizione ad un anno dal

momento in cui si effettua la valutazione.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 63

CreditMetrics™

Il modello

Nel caso di non insolvenza, ciò può essere effettuato

scontando i flussi di cassa futuri fra un anno sulla base

dei credit spread richiesti dal mercato per ogni classe

di rating.

Nel caso di default, il valore della posizione può essere

posto pari al valore di mercato moltiplicato il tasso di

recupero (recovery rate) atteso.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 64

CreditMetrics™

Il modello

Per una singola posizione è pertanto necessario disporre

di:

• probabilità associata ad ognuno dei diversi possibili

“stati” in cui il debitore potrà trovarsi ad un anno dalla

data di valutazione;

• struttura per scadenza dei credit spread associata ad

ogni classe di rating ad un anno dalla valutazione;

• recovery rate atteso.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 65

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

Per determinare il valore finale di un prestito al termine

dell’intervallo temporale considerato con questo

modello è necessario disporre, innanzitutto, delle

probabilità di insolvenza e di quelle di migrazione di

classe, ossia, di una matrice di transizione che

esprime, appunto, la probabilità che hanno i prenditori

di trovarsi in una classe diversa da quella di partenza.

Matrice di transizione ad un anno

Rating a fine anno

Rating iniziale AAA AA A BBB BB B CCC Default

AAA 90,81% 8,33% 0,68% 0,06% 0,12% 0,00% 0,00% 0,00%

AA 0,70% 90,65% 7,79% 0,64% 0,06% 0,14% 0,02% 0,00%

A 0,09% 2,27% 91,05% 5,52% 0,74% 0,26% 0,01% 0,06%

BBB 0,02% 0,33% 5,95% 86,93% 5,30% 1,17% 0,12% 0,18%

BB 0,03% 0,14% 0,67% 7,73% 80,53% 8,84% 1,00% 1,06%

B 0,00% 0,11% 0,24% 0,43% 6,48% 83,46% 4,07% 5,20%

CCC 0,22% 0,00% 0,22% 1,30% 2,38% 11,24% 64,86% 19,79%

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 66

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

Prendiamo un prestito con queste caratteristiche:

Rating: BBB

Ammontare: 100.000 Euro

Tasso di interesse annuo: 5%

Durata: 5 anni

Il valore del prestito, alla fine del primo anno, sarà uguale al valore

attuale dei flussi di cassa residui.

5.000 5.000 5.000 5.000 105.000

1a 2a 3a 4a 5a

Flussi

Per attualizzare i futuri flussi di cassa vengono utilizzati i tassi

forward ad un anno per la specifica classe di rating, che tengono

cioè conto del relativo rischio.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 67

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

Supponiamo che siano i seguenti:

forward

Tassi ad un anno

Rating

Classe di anno 1 anno 2 anno 3 anno 4

AAA 3,60% 4,17% 4,73% 5,12%

AA 3,65% 4,22% 4,78% 5,17%

A 3,72% 4,32% 4,93% 5,32%

BBB 4,10% 4,67% 5,25% 5,63%

BB 5,55% 6,02% 6,78% 7,27%

B 6,05% 7,02% 8,03% 8,52%

CCC 15,05% 15,02% 14,03% 13,52%

Naturalmente, più è elevato il rischio, maggiore sarà il tasso di

attualizzazione e minore il valore del prestito.

Utilizzando quelli della classe del nostro prenditore, BBB, avremo:

5 . 000 5 . 000 5 . 000 5 . 000

= + + + + =

V 5 . 000 102 . 997

+ + + +

BBB 2 3 4

(

1 0 . 041

) (

1 0 . 0467 ) (

1 0 . 0525

) (

1 0 . 0563

)

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 68

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

Eseguendo il calcolo anche per le altre classi di rating verso le quali

potrebbe migrare il prenditore, si ottengono i valori che potrebbe

assumere il prestito alla fine dell’anno.

Rating di fine anno PV

104.777

AAA 104.600

AA 104.082

A 102.997

BBB 97.593

BB 93.756

B 79.724

CCC 53.800

Default

Il valore in caso di default può essere determinato (come in questo

esempio) anche facendo ricorso a stime che rappresentano la

percentuale di recupero in caso di insolvenza.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 69

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

E’ possibile, a questo punto, generare la distribuzione del valore

del prestito e delle perdite alla fine del periodo di analisi.

Rating di fine anno PV Probabilita' Variazione valore

104.777 0,02% 1.780

AAA 104.600 0,33% 1.604

AA 104.082 5,95% 1.085

A 102.997 86,93% 0

BBB 97.593 5,30% -5.404

BB 93.756 1,17% -9.241

B 79.724 0,12% -23.272

CCC 53.800 0,18% -49.197

Default

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 70

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

Distribuzione valore del prestito

90,00%

70,00%

50,00%

30,00%

10,00%

6,00% 97.593 93.756 79.724 53.800

5,00%

4,00%

3,00%

2,00%

1,00%

0,00% 97.593 93.756 79.724 53.800

Distribuzione pe rdite

90,00%

70,00%

50,00%

30,00%

6,00%

10,00%

5,00% 0 5.404 9.241 23.272 49.1 97

4,00%

3,00%

2,00%

1,00%

0,00% 0 5.404 9.241 23.272 49.1 97

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 71

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

La massima perdita potenziale, con un livello di confidenza

del 99%, viene individuata in corrispondenza del 1°

percentile, ossia di quel valore che consente di isolare

l’1% delle osservazioni peggiori; esso è pari a €14.640,9

(determinato con un’interpolazione lineare). La perdita

attesa (media pesata) è invece pari a €511,3.

100,00% Max perdita Perdita

80,00% potenziale attesa

(€ 14.640,9) (€ 511,3)

60,00% Perdita

inattesa

40,00% (€ 14.129,6)

20,00%

0,00% -49.197 -23.272 -9.241 -5.404 0

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 72

CreditMetrics™

Il modello : un esempio

E’ poi possibile calcolare tutte le statistiche di rischio del

prestito: • media = €102.555

• varianza: €7.438.200

• deviazione standard: €2.727,3

Non essendo però tale distribuzione normale, la

deviazione standard non è un’informazione molto

significativa.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 73

TM

CreditMetrics

IL MODELLO

Per l’analisi di portafogli composti da numerose attività,

TM

CreditMetrics ha proposto, pertanto, una metodologia

che si basa “modello di Merton” e che utilizza simulazioni

di tipo Montecarlo per ottenere risultati precisi in maniera

rapida. Essa si articola in tre fasi:

1. generazione degli scenari al fine di individuare le classi di

rating nelle quali si possono trovare i prenditori al termine

del periodo temporale di riferimento;

2. valutazione del portafoglio in corrispondenza di ogni

scenario;

3. calcolo delle statistiche di rischio del portafoglio.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 74

Risk Management

Premessa

1 Utilizzo gestionale delle

2 metriche di rischio

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Premessa

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Premessa

L’introduzione di modelli di misurazione dei rischi con

metodologie di tipo VaR rappresenta una delle più

importanti svolte nella gestione delle banche negli

ultimi anni.

Tuttavia, di per sé, esse non contribuiscono a rendere

più efficace l’intermediario, risultato che può essere

raggiunto solamente se vengono utilizzate per una

gestione più efficiente del capitale proprio con

l’obiettivo di creare valore per gli azionisti, che

eccedere il livello di redditività da essi

significa

richiesto.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 77


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Valutazione e finanziamento dei progetti del Prof. Alessandro Cataldo all'interno del quale è affrontato il tema della misura del rischio (risk measurement) ed in particolare: il concetto di rischio; il "Value at Risk"; la vigilanza prudenziale e i requisiti patrimoniali; lo schema di adeguatezza patrimoniale; l'approccio delta - normal; il modello Creditmetrics; il pricing e la misurazione delle performances.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in analisi economica delle istituzioni internazionali
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Valutazione e finanziamento dei progetti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Cataldo Alessandro.

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