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ES.2.3

1 Distribuzione normale

La funzione 1 2

x−µ

1 ( )

2 √

N (x; µ, σ ) = e 2 σ

2

2πσ

si chiama densità di probabilità normale (o semplicemente curva normale)

2

con parametri µ e σ . La funzione è simmetrica rispetto all’asse x = µ,

raggiunge il suo valore massimo 1

√ 2

2πσ −

in x = µ ed ha due punti di flesso in x = µ σ e µ + σ. Ha una forma

− −

convessa per x < µ σ, concava tra µ σ e µ + σ e ancora convessa per

x > µ + σ. I valori della funzione sono sempre positivi, sebbene decrescano

±∞.

molto velocemente al tendere di x verso Per qualunque valore dei

2

parametri µ e σ , l’area sotto una curva normale

+∞

Z 2

N (x; µ, σ )dx

−∞

è pari ad 1.

Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice dis-

2 2

tribuita normalmente con parametri µ e σ (X N (µ, σ )), se

x

Z 2

P (X x) = f (x; µ, σ )dx,

−∞

cioè se la probabilità che X assuma un valore inferiore o uguale a x può

essere calcolato valutando l’area tra la curva normale e la semiretta (−∞, x).

Da ciò si ricava che la probabilità con cui X assume valori compresi in un

intervallo (a, b) può essere calcolato mediante una differenza tra aree:

b a

Z Z

2 2

P (a < X < b) = P (X < b)−P (X < a) = N (x; µ, σ )dx− N (x; µ, σ )dx.

−∞ −∞ (1)

1 2

È possibile dimostrare che i parametri µ e σ sono rispettivamente il

valore atteso e la varianza di una variabile aleatoria normalmente distribuita

2 2

con parametri µ e σ . Precisamente, se X N (µ, σ ), allora

+∞

Z 2

xN (x; µ, σ )dx = µ

=

EX −∞

+∞

Z 2 2 2

2 −

(x µ) N (x; µ, σ )dx = σ

σ =

X −∞

2

Inoltre, se X N (µ, σ ), allora −

X µ ∼

Z = N (0, 1), (2)

σ

cioè la variabile aleatoria standardizzata Z si distribuisce normalmente con

valore atteso pari a 0 e varianza pari ad 1. Indicando con

x

Z N (x; 0, 1)dx

Φ(x) = −∞

la funzione che restituisce il valore delle aree sottostanti una curva normale

2

standardizzata, è facile rendersi conto che, se X N (µ, σ ), allora

− − −

X µ x µ x µ

< ) = Φ( ).

P (X < x) = P ( σ σ σ

In altre parole, è sufficiente conoscere il valore che Φ(z) assume per ogni z

2

per calcolare un qualunque area sotto una normale N (µ, σ ). Qui di seguito

vengono tabulati alcuni valori che Φ assume (per gli altri, consultare la tavola

della normale standardizzata): x Φ(x)

-3 0.0013

-2 0.0228

-1 0.1587

0 0.5000

1 0.8413

2 0.9772

3 0.9987

• Esempio. Supponiamo che l’altezza di una popolazione di studenti uni-

versitari sia distribuita normalmente con media µ = 170 cm e varianza

2 2

σ = 25 cm o, in altre parole, supponiamo che estraendo casualmente

2

un individuo da tale popolazione la probabilità che egli abbia un’altezza

inferiore a x è data da x

Z N (x; 170, 25).

P (X < x) = −∞

La probabilità che abbia un’altezza inferiore a 170 cm può essere cal-

colata usando la tavola di Φ(z) sopraesposta, infatti

− −

X 170 170 170

P (X < 170) = P ( < ) = P (Z < 0) = Φ(0) = 0.5,

5 5

mentre la probabilità che il soggetto estratto abbia un’altezza compresa

tra 165 cm e 175 cm può essere calcolata nel seguente modo

P (165 < X < 175) =P (X < 175) P (X < 165)

− − −

− 175 170 X 170 165 170

X 170 −

< ) P ( < )

=P ( 5 5 5 5

− −1) −

=P (Z < 1) P (Z < = 0.8413 0.1587 = 0.6826

o, ancora, la probabilità che il soggetto estratto abbia un’altezza supe-

riore a 180 cm è data da −

− 180 170

X 170

− − < )

P (X > 180) =1 P (X < 180) = 1 P ( 5 5

− − −

=1 P (Z < 2) = 1 Φ(2) = 1 0.9772 = 0.0228.

2 Approssimazione normale di probabilità bi-

nomiali

Supponiamo di avere a che fare con una sequenza di n prove bernoulliane

con probabilità di successo pari a p e sia X la variabile aleatoria che registra

il numero di successi. Se n è molto elevato, la probabilità

b

n

X x n−k

≤ ≤ −

P (a X b) = p (1 p)

k

k=a

è approssimabile dall’area ! !

b+0.5 − −

Z a 0.5 np

b + 0.5 np −Φ

≤ ≤ ∼

P (a X b) N (x; np, np(1−p))dx = Φ p p

− −

np(1 p) np(1 p)

a−0.5

e tale approssimazione migliora all’aumentare di n.

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in politiche pubbliche
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Lagona Francesco.

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