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differenza di fase:

∆φ = 2π (hx + +

ky lz)

πix

θ 2 /λ

e

δ sinθ δ πix/λ+∆φ

2

e

δ sinθ differenza di fase:

∆φ = 2π (hx + +

ky lz)

πix/λ

θ 2

e

δ sinθ πix

δ 2πi(hx +ky +lz )

2

e e j j j

δ sinθ 6

Un caso “particolare”

yb xa

Reticolo cubico a corpo centrato

= ½ = ½ = ½

x y z

j j j

∆φ = 2π (hx + + )

ky lz

j j j

∆φ = 2π (h/2 + +

k/2 l/2)

Assenze sistematiche

yb xa

Reticolo cubico a corpo centrato

∆φ

(111): = 2π (1/2 + 1/2 + 1/2)

∆φ

(111): = 3π le onde si cancellano

Quindi, si avranno fasci diffratti solo per valori

di

pari h+k+l 7

Il reticolo reciproco

Le equazioni di Laue e l'equazione di Bragg

esprimono, in forma diversa, le condizioni per

ottenere effetti di diffrazione dei raggi X da parte

di cristalli. Introdurremo ora un utile strumento

matematico mediante il quale le condizioni per la

diffrazione possono essere espresse in maniera

geometricamente intuitiva e che permetterà una

interpretazione agevole dei risultati delle diverse

esperienze di diffrazione. Tale strumento

reticolo reciproco.

matematico prende il nome di

Reticolo reciproco

Dato un reticolo caratterizzato dai vettori si

a, b, c,

definisce reticolo reciproco il reticolo

caratterizzato dai seguenti vettori fondamentali:

×

= (b ^ ^

a* c)/(a b c)

×

= (c ^ ^

b* a)/(b c a)

×

= (a ^ ^

c* b)/(c a b)

Sono immediatamente verificabili, e risulteranno

utili nelle successive discussioni, le seguenti

relazioni:

× × ×

= = 1

a a* b b* c c*=

× × ×

= = = ..... = 0

a b* a c* b c* 8

×

= (a ^ ^

c* b)/(c a b)

Numeratore ^

a b.

È un vettore normale al piano individuato dai

vettori e ovvero al piano (001) e pari,

a b,

in modulo, ad a—b—senγ , cioè all'area A del

parallelogramma costruito su e

a b.

Indicando con un vettore unitario

n

normale a (001) si ha:

^ =

a b nA.

×

= (a ^ ^

c* b)/(c a b)

× × ×

Denominatore ^ (= ^ = ^

c a b a b c b c a).

E’ uno scalare pari al volume del parallelepipedo costruito

su e Tale volume si ottiene moltiplicando l'area di

a, b c. a b

una base, ad es. la base costruita su e di area

a b,

A = ,

per la corrispondente altezza, .

d 001

Ma è ottenibile come proiezione di nella direzione di

d c

001 ×

e pertanto =

n d c n.

001 × × ∧

Quindi: = = A =

V dA c n c a b 9

Reticolo reciproco

Riassumendo, il vettore è un vettore

c*

normale al piano (001) e pari, in modulo, a

1/d . Relazioni simili sono ricavabili

001

dall'esame delle espressioni per e

a* b*.

⊥ a*

(100) = 1/d

a* 100

⊥ b*

(010) = 1/d

b* 010

Reticolo reciproco

Vogliamo ora dimostrare che tali relazioni

sono generalizzabili per qualsiasi vettore

del reticolo reciproco

= + +

r* ha* kb* lc*

Vogliamo cioè dimostrare che:

⊥ r*hkl

(hkl) = 1/d

r* hkl hkl 10

⊥ (hkl)

r*

hkl

è sufficiente dimostrare che è ortogonale

r*

ad (a/h - e a (b/k -

b/k) c/l).

Si ha: × −

(ha* + + (a/h = 0

kb* lc*) b/k)

× −

(ha* + + (b/k = 0

kb* lc*) c/l)

r*hkl = 1/d hkl

osserviamo che è ottenibile come

d hkl

proiezione di nella direzione della

a/h

normale al piano (hkl), ovvero:

×

= /r* =

d a/h r*

hkl hkl hkl

×

= (ha* + + = 1/

a/h kb* lc*)/r* r*

hkl hkl

Pertanto, come si voleva dimostrare,

= 1/d

r* hkl hkl 11

12

β γ − α

β γ − α

Triclino cos * cos * cos *

1 1 cos cos cos α =

= = α = cos

a

* cos * β γ

sin * sin *

β γ β γ β γ

a sin sin * a sin * sin sin sin γ α − β

γ α − β cos * cos * cos *

1 1 cos cos cos β =

= = β = cos

b

* cos * γ α

sin * sin *

γ α

γ α γ α sin sin

b sin sin * b sin * sin α β − γ

α β − γ cos * cos * cos *

1 1 cos cos cos γ =

= = γ = cos

c

* cos * α β

α β sin * sin *

α β α β sin sin

c sin sin * c sin * sin α = °

Monoclino α = °

1 * 90 90

=

a

* β

a sin β = ° − β

β = ° − β 180 *

* 180

1

=

b

* b γ = °

γ = ° 90

1 * 90

=

c

* β

c sin

Rombico 1

 = α = ° α = °

a

* * 90 90

≠ ≠

(a b c)  a

Tetragonale 1

= β = ° β = °

 b

* * 90 90

(a = b c) b

 1

Cubico = γ = ° γ = °

c

* * 90 90

 c

(a = b = c) 

Esagonale 1

 = α = ° α = °

a

* * 90 90

Trigonale °

 a sin 60

≠ 

(a = b c 1

= β = ° β = °

 b

* * 90 90

α β °

= = 90° b sin 60

 1

γ = γ = ° − γ = ° γ = °

= 120°) c

* * 180 60 120

 c

 13


PAGINE

19

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326.38 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze geologiche
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Cristallografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Bonaccorsi Elena.

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