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3. LA RESISTENZA NEI FLUIDI PERFETTI

Il paradosso di D’Alambert evidenzia l’insufficienza e l’inesattezza della corrente fluida euleriana

nei riguardi della resistenza. Ne consegue la necessità di rimuovere alcune delle ipotesi poste, per

giustificare l’esistenza di azioni fluidodinamiche complessivamente non nulle, sempre presenti nella

comune esperienza.

Pertanto, si dovrà ammettere che il fluido è viscoso, o che il moto è rotazionale, o considerare

distribuzioni non continue delle velocità.

Nelle figure che seguono, tratte da H. Schlichting, “Boundary-Layer Theroy”, McGraw-Hill, 1979,

c

sono confrontati i valori sperimentali e teorici del coefficiente di pressione per la sfera ed il

P

cilindro e per due a corpi di forme avviate.

Si osservi come il calcolo con le equazioni del flusso a potenziale dia risultati poco concordi con

l’esperienza per il cilindro e la sfera, mentre gli stessi siano soddisfacenti per i corpi di forme

avviate, il solido di Fuhrmann e il profilo alare di Joukowskii.

Tuttavia, tutti i risultati teorici danno in ogni caso resistenza nulla, in completo disaccordo con la

realtà, come annotava scoraggiato D’Alembert nel suo libro: "Essais d’une nouvelle théorie de la

resistance des fluides”, Parigi 1752, enunciando il suo principio:

“ Io n o n ved o al l o r a, e l o amm e tto , c o me s i p o s s a s p ie g ar e l a r e s is te n z a d e i f lu id i

c on l a te o r i a in mo d o s od d is f ac en te . M i s e mb r a al c o n tr ar io , c h e q u es ta te o r i a,

tr a tta ta e s tu d ia ta c on pr of ond a a tte n z io n e , d ia al me n o ne ll a mag g io r p ar te d e i

c as i, u n a r es is te n z a as s o l u ta me n te z e r o; p ar ad o ss o s in g o l ar e d i c u i l as c i o l a

s p ie g az io n e ag l i s tu d io s i d i g e ome tr i a”

Nell’ambito del fluido perfetto e del corpo profondamente immerso, gli sforzi dinamici presenti

sulla superficie di contatto possono essere solo quelli normali o di pressione; se la resistenza deve

essere non nulla, la loro risultante dovrà avere componente nella direzione del moto: essa si dirà

o

resistenza di forma di pressione.

Gli studi successivi a D’Alembert cercarono di rimuovere le ipotesi di base del paradosso, in

particolare la continuità della velocità in tutto il campo di moto.

A riguardo, fondamentale è l’ipotesi dovuta ad Helmholtz, per i successivi e ulteriori sviluppi

(Kirchoff, Rayleigh, Levi-Civita, von Karman). 8

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Dicembre, 2004 9

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Dicembre, 2004 10

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Dicembre, 2004

Dall’osservazione dell’andamento reale della corrente fluida intorno ad un corpo, soprattutto di

forma non avviata o con spigoli, ad esempio la lastra piana in flusso inclinato o la sfera, fu

ipotizzata (Helmholtz, Kirchhoff, Strutt, Rayleigh) la presenza di fluido stagnante a valle, a seguito

del distacco della corrente. Nella condizione di movimento del corpo, è da ritenere che esso trascini

dietro una massa fluida, opportunamente delimitata, costituente la scia.

Fra la scia e il fluido indisturbato si ha un brusco salto delle velocità; ne consegue, da un punto di

vista analitico, che la superficie esterna della scia è di discontinuità per la velocità che,

contrariamente alle ipotesi del paradosso di D’Alembert, non è più funzione continua nel campo del

moto. Tuttavia, i successivi risultati di calcolo erano ancora molto diversi da quelli sperimentali;

d’altronde, soprattutto quando il corpo è lentamente accelerato dalla condizione di quiete, una

siffatta scia sembrò fisicamente poco realistica e di difficile visualizzazione nelle esperienze.

Queste ultime, a differenza dei modelli teorici ed in particolari regimi fluidi, rivelarono la presenza

di instabilità nel flusso, degeneranti velocemente in nuclei vorticosi, come mostra la visualizzazione

fotografica della corrente intorno ad un cilindro circolare, tratta da E. Pistolesi,

“Aerodinamica”,Unione Tipografico-Editrice Torinese, 1932.

Si osserva una doppia schiera di vortici alternati che seguono il cilindro; quelli della schiera

superiore ruotano in senso orario, quelli inferiori in verso contrario.

L’osservazione sperimentale evidenziò che il loro insorgere era dovuto all’impossibilità, a

determinati regimi, che le linee di corrente potessero seguire il corpo su tutto il suo contorno; ne

conseguiva la separazione in un determinato punto, che lasciava a valle la scia, vale a dire un’estesa

regione di fluido in moto vorticoso.

Questi risultati furono la base della teoria della doppia schiera di vortici di Benard-Karman. 11

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Addebitando alla scia vorticosa la massa fluida che, come si era già posto ad ipotesi, seguiva il

corpo, fu definita la relazione tra la quantità di moto della massa trasportata dai vortici e la

resistenza, stabilendo quindi una fondamentale stretta relazione tra l’insorgere della resistenza e la

scia (resistenza La figura seguente mostra le linee di corrente della teoria sviluppata dal

di scia).

Karman. Il suo confronto con la scia sperimentale è significativamente evidente.

Una siffatta configurazione asimmetrica poteva essere stabile solo per un determinato rapporto tra

A A

tra due vortici consecutivi di ciascuna schiera (h/ =0.28).

la distanza h tra le due schiere e quella

La resistenza teorica evidenziava una proporzionalità con la densità del fluido ed il quadrato della

A

velocità del corpo; per il suo calcolo è necessario conoscere h o ed il rapporto tra la velocità di

traslazione dei vortici e quella del corpo.

Da un punto di vista qualitativo, sussiste l’accordo tra l’esperienza e la teoria del Karman; i

confronti quantitativi, invece, non furono sufficientemente soddisfacenti. Ne conseguirono, tuttavia,

molte utili applicazioni e ulteriori importanti indagini scientifiche. Inoltre, il fenomeno della

separazione, congiuntamente alla non continuità della velocità nell’intero campo di moto, rese

possibile pervenire a valori di resistenza non nulli anche nell’ambito del fluido perfetto, rendendo

così lo strumento analitico più aderente alla realtà.

Tuttavia, il legame tra l’emissione di vortici e la resistenza non è generalizzabile a tutti i regimi

fluidi. Ad esempio, ancora con riferimento al cilindro, possono identificarsi tre regimi di velocità e

tre diverse condizioni fluidodinamiche di funzionamento.

A basse velocità l’esperienza non evidenzia la presenza di vortici e la resistenza, in termini

specifici, varia proporzionalmente alla velocità. 12

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All’aumentare di quest’ultima, si rilevano le schiere di vortici ed una sostanziale indipendenza della

resistenza da essi; a velocità ancora maggiori, si osserva un’emissione non regolare di vortici ed una

diminuzione della resistenza specifica a valori minimi.

Le successive figure mostrano l’andamento del coefficiente di resistenza del cilindro in funzione del

numero di Reynolds e alcuni rilievi fotografici del relativo flusso al crescere della velocità.

Figura tratta da O. Tietjens, L. Prandtl, “Hydro-und Aeromechanik”, Berlin, Verlag von Jilius Sprinter, 1931 13

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4. LA RESISTENZA NEI FLUIDI VISCOSI

Le discontinuità nella velocità, introdotte con i modelli di scia stagnante o vorticosa, risolvono in

parte le incongruenze fisiche del paradosso di D’Alembert: da un punto di vista quantitativo le

soluzioni si presentano, in generale, non sufficienti a giustificare l’entità delle forze di resistenza.

Ad esempio, si immagini come una tale modello può apparire non adatto quando si considera

l’entità della resistenza viscosa di una cisterna di 100000 t di dislocamento: certamente non è

convincente addebitare alla scia, anche con separazione di flusso e vorticosità, una resistenza la cui

entità supera le cento tonnellate.

D’altronde, l'esperienza mostra che forme avviate consentono alla corrente fluida di rimanere più a

lungo in contatto con la superficie del corpo; inoltre per siffatte forme, in un fluido di bassa

viscosità ed in particolari regimi di flusso, il paradosso di D'Alembert non si discosta molto dalla

realtà: il modello del fluido perfetto dà risultati, almeno in termini di distribuzione di pressioni e di

velocità, in buon accordo con i dati sperimentali.

In dette circostanze, al fine di giustificare analiticamente la presenza della resistenza, può essere

conveniente ritenere il fluido viscoso ed utilizzare le equazioni che ne governano il moto.

Lasciando inalterate le altre ipotesi sul fluido, il corpo e le caratteristiche cinematiche, di seguito si

riportano le equazioni del moto permanente dei fluidi viscosi incomprimibili.

• Equazioni Naviers-Stokes ∂

∂ ∂ ∂

⎧ v v v p

1 1

2

x x x

+ + = − + ν ∇ +

v v v v F

⎪ x y z x x

∂ ρ ∂ ρ

∂ ∂

x y z x

⎪ ∂

∂ v

v

v ∂

⎪ p 1

1

y y y 2

= − + ν ∇ +

+

+ v F

v

v

v

⎨ x y z y y

∂ ρ ∂ ρ

∂ y

z

y

x

⎪ ∂ ∂ ∂ ∂

v v v p 1

1

⎪ 2

z z z

+ + = − + ν ∇ +

v F

v v v

⎪ x y z z z

∂ ∂ ρ ∂ ρ

∂ z

x y z

µ ∂ ∂ ∂

2 2 2

ν = = ∇ = + + =

2

Viscosità cinematica; operatore di Laplace.

ρ ∂ ∂ ∂

2 2 2

x y z 14

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• Equazione di continuità: ∂

v

∂ ∂

v v

y

= ⇔ ∇ ⋅ = ⇔ + + =

x z

div 0 0 0

v v ∂ ∂ ∂

x y z

• Condizioni al contorno e ai limiti:

∀ ∈ =

P S 0 ;

v

a. W = =

p p

All’infinito a monte e a valle: ;

v V ;

b. 0 0

La condizione a) è quella di completa aderenza del fluido al corpo, come evidenzia l'esperienza.

Le incognite da determinare sono ancora le funzioni:

( )

=

⎧ u u x, y, z

( ) ( ) ( ) ( )

= ⇔ = = =

P v v x, y, z ; p p P p x, y, z

v v ( )

⎪ =

w w x, y, z

che, con le note relazioni di Stokes, consentono di ottenere lo sforzo specifico

( )

= ∀ ∈

P P S e la resistenza al moto:

t t

n n W ∫ = ⋅

= σ R

d ; F i

F t T T

T n

S W

La scomposizione di nelle direzioni normale e tangente alla superficie, consente di definire le due

t

n R R

componenti della resistenza, di e vale a dire le

pressione o di forma di attrito superficiale,

P F

componenti nella direzione del moto delle risultanti degli sforzi normali o di pressione e di quelli

tangenziali o di attrito superficiale.

Tale procedura richiede, ovviamente, la risoluzione nel campo di moto del sistema delle quattro

equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali; il problema è complesso e risolvibile solo

per un certo numero casi, riportati in letteratura.

Negli altri, in particolare per i cosiddetti flussi esterni, ovvero quelli intorno a corpi profondamente

immersi, non esistono, al momento, soluzioni analitiche generali. 15

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Napoli, Dicembre, 2004

5. LO STRATO LIMITE

Per le correnti ad elevati numeri di Reynolds, L. Prandtl introdusse semplificazioni tali da rendere

possibile l’integrazione delle equazioni di Navier-Stokes. Il metodo proposto è la “Teoria dello

esposta nella memoria “Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung”,

strato limite”,

presentata al terzo congresso di Matematica, ad Heidelberg nel 1904.

Regimi fluidi ad elevati numeri di Reynolds rivestono grande importanza nelle applicazioni

pratiche, poiché riguardano fluidi aventi bassa viscosità, quali l’aria e l’acqua, di interesse

fondamentale per le attività umane.

Correnti di tal genere presentano resistenze contenute intorno a corpi di forme avviate; le loro

caratteristiche, inoltre, non si discostano molto dai risultati del fluido perfetto, eccetto, e non è poco,

per la resistenza.

In queste condizioni, Prandtl dimostrò che l’azione della viscosità può essere confinata in un sottile

strato, detto strato limite, adiacente alla superficie del corpo, dove si può ritenere confinato il

fenomeno retto dalle equazioni del fluido reale. All’esterno di esso, la viscosità può essere

trascurata ed è possibile utilizzare le equazioni del fluido non viscoso. Entro detto strato, di spessore

δ variabile, i gradienti di velocità sono responsabili degli sforzi resistenti; il loro andamento

δ.

presenta velocità nulle sul corpo, uguali a quelle della corrente a potenziale ad una distanza pari a

Si consideri un corpo cilindrico di forma avviata, investito, in direzione normale alle sue

V l

generatrici, dalla corrente uniforme di un fluido viscoso. Siano la velocità, e il contorno e la

L

0

lunghezza della sezione del cilindro.

Il moto fluido è piano e le equazioni sono:

⎧ ⎛ ⎞

2 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u u 1 p u u

+ = − + ν +

u v

⎪ ⎜ ⎟

2 2

∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂

x y x x y

⎪ ⎝ ⎠

⎪ ⎛ ⎞

2 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

v v 1 p v v

+ = − + ν +

u v ⎜ ⎟

⎪ ∂ ∂ ρ ∂ 2 2

∂ ∂

x y y x y

⎪ ⎝ ⎠

⎩ ∂ ∂

u v

= ⇔ ∇ ⋅ = ⇔ +

div 0 0

v v ∂ ∂

x y 16

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Dicembre, 2004

Ad esse vanno associate le condizioni ai limiti; in particolare sul corpo deve essere imposta la

∀ ∈ =

P , ( P ) 0

l

condizione di completa aderenza del fluido, . All’infinito a monte la corrente è

v

quella traslatoria uniforme, con valori asintotici e p ; a valle e intorno al corpo le velocità e le

V

0 0

pressioni devono essere finite e possono porsi pari a quelli del flusso a potenziale.

Sono da determinare le componenti u e v della velocità e la pressione p.

Sia nota la corrente a potenziale intorno al corpo e si suppongano verificate le ipotesi della Teoria

δ

, adiacente al

dello strato limite: la perturbazione fluida è confinata in un sottile strato di spessore

corpo e la corrente fluida è ad elevati valori del numero di Reynolds. l

La forma avviata del corpo consente di ritenere piana l’intorno del generico punto P di ; con

l

origine O ≡ P, si assuma il riferimento Oxy avente x coincidente con ed y normale.

Detta U la velocità della corrente a potenziale, esterna allo strato limite, ne conseguono le

condizioni formali:

>>

• 1;

R

N

δ <<

• 1;

L = = = = ≥ δ

• u v 0 per y 0 ; u U per y .

In generale, intorno ad un corpo di forma avviata le velocità del fluido sono dello stesso ordine di

grandezza di V ; le lunghezze coinvolte sono quella del corpo, già indicata con L, e, per il fluido

0 δ

viscoso, lo spessore dello strato limite. 17

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Dicembre, 2004 δ

Ne segue che la variabilità della componente u ha come ordini di grandezza V /L lungo x e V / su

0 0

y, quindi: 2 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

V V

u u u u u u

0 0

≈ ≈ δ << ⇒ >> >>

; ; L ; ;

∂ ∂ δ ∂ ∂ 2 2

∂ ∂

x L y y x y x

δ

Essendo molto piccolo, è da ritenere che la componente v della velocità e le sue derivate siano

dello stesso ordine di grandezza e, pertanto, in generale trascurabili.

Ne consegue che la seconda equazione del moto si riduce nella forma:

1 p

− = ⇒ =

0 p p(x);

ρ ∂

y

Ciò significa ritenere costante la pressione entro lo strato limite e variabile soltanto lungo il corpo.

Ricordando l’equazione di Bernoulli per il fluido perfetto in regime stazionario, si può assumere:

1 dp dU

2

+ ρ = ⇒ = −ρ

p U cos t. U ;

2 dx dx

Operate le semplificazioni descritte, le equazioni del moto si riducono a quelle dette dello strato

limite di Prandtl: ⎧ 2

∂ ∂ ∂

p

u u 1 u

+ = − + ν

u v

⎪ ∂ ∂ ρ ∂ 2

x y x x

⎪ ∂ ∂

u v

⎪ + = 0

∂ ∂

x y

Ad esse vanno associate le condizioni al contorno, già precisate. 18

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Napoli, Dicembre, 2004

6. LA LASTRA PIANA

La prima soluzione dell’equazione dello strato limite fu data per la lastra piana da Blasius, studente

di Prandtl, nella tesi di laurea (1908).

La resistenza di attrito della lastra piana era, in quegli anni, di primario interesse soprattutto per i

costruttori navali; in particolare già nel 1872 William Froude aveva pubblicato sull’argomento i

risultati di importanti serie di esperimenti. Inoltre, in una successiva pubblicazione stabilì,

probabilmente per la prima volta, la relazione fra resistenza e variazione della quantità di moto

subita dal fluido, anticipando anche il concetto di strato limite.

Si consideri una lastra è investita nel suo piano da una corrente traslatoria uniforme di valori

p

asintotici e . Come in figura si fissi il riferimento Oxy nel piano del moto.

V

0 0

Il fluido a diretto contatto con la lastra arresta il suo moto, aderendo completamente ad essa. Lo

strato fluido, immediatamente adiacente, viene frenato per la viscosità e riduce progressivamente la

sua velocità nel procedere lungo la lastra. Questo rallentamento, sempre a causa della viscosità, si

trasmette agli strati successivi, ovviamente con un effetto frenante sempre minore all’aumentare

δ

della distanza dal corpo. Ad una distanza , funzione della lunghezza x del tratto di lastra, la

. Da quanto detto consegue la presenza intorno alla lastra di uno strato

velocità torna uguale a V 0 ( )

δ = δ

fluido viscoso, i cui spessori sono crescenti nel senso del moto e molto piccoli rispetto ad

x δ

ad una distanza pari a

a x ; al suo interno le velocità variano da 0 sulla lastra, a .

V 0

δ

Dalla piccolezza di consegue che, ritenendo ovunque costante, anche la pressione è tale e pari

V 0

p Le sole forze presenti sono, quindi, quelle di inerzia e quelle viscose.

a 0 19

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Napoli, Dicembre, 2004

Il fluido procede essenzialmente nella direzione dell’asse x; ne segue che la forza di inerzia della

massa unitaria è: ∂

u

=

F u

i ∂

x

∂ ∂

u x

u /

Gli ordini di grandezza di e di sono rispettivamente e ; pertanto:

V V x

0 0

2

∂ V

u

= 0

F u

i ∂

x x

La forza viscosa sulla massa unitaria è: 2

∂ u

= ν

F

v 2

y

∂ ∂ δ

u y /

Essendo l’ordine di grandezza di pari a , si ha:

V 0

2

∂ V

u

= ν ν o

F

v 2 2

∂ δ

y

Seguono infine le relazioni: 2 µ δ

V V x 1

⇔ ν ⇒ δ

0 0

F F ;

i v ρ

2

δ

x V x R

0 Nx

δ

che evidenziano la dipendenza di dalle grandezze coinvolte nel fenomeno; in particolare se

→ ∞

R , ad esempio per il fluido perfetto, lo strato limite svanisce.

Nx 20

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Da un punto di vista fisico le conclusioni appaiono corrette: ad esempio, al crescere della viscosità,

a pari velocità e lunghezza della lastra, conseguono azioni frenanti maggiori; il fluido, pertanto,

δ

raggiunge la velocità della corrente indisturbata a valori di più alti.

δ

Nei tratti iniziali della lastra, è infinitesimo, ne conseguono gradienti di velocità e sforzi specifici

elevatissimi.

Valgono anche le seguenti relazioni: 3

ρµ V

∂ V

u

τ = µ µ =

0 0 ;

0x ∂ δ

y x

=

y 0

τ µ

2 1 1 2 3

= = = ρµ

0x

c ; R b x V c b x V

F Fx 0 F 0

ρ

2

ρ x V 2

V R

0

0 Nx

b

dove è la larghezza della lastra.

Si osservi la dipendenza della resistenza dalla lunghezza: a parità delle altre condizioni, una

lunghezza doppia porta un aumento di resistenza di circa il quaranta per cento.

Nelle relazioni ricavate, mancano i coefficienti numerici di proporzionalità, ricavabili, in generale,

dai risultati sperimentali ed, in alcuni casi, analiticamente, integrando le equazioni dello strato

limite.

Queste ultime, per la lastra piana, nella ulteriore ipotesi di pressione costante ovunque e pari a

quella asintotica, si riducono alle seguenti: 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u u u u v

+ =ν + =

u v ; 0;

∂ ∂ ∂ ∂

2

x y x y

y

< < = = = → ∞ = =

0 x L; y 0 : u v 0; y u V ; v 0;

0

costituenti un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, ridotte dal Blasius ad

equazioni differenziali ordinarie. 21

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La loro integrazione porta, per il regime laminare, alle seguenti soluzioni:

3

ρµ

δ V

5.0

= τ = 0

; 0.332 ;

0x

x x

R Nx

x

∫ 1.328

3

= τ = ρ µ =

R b dx 0.664 b x V ; C ;

Fx 0x 0 Fx R Nx

La figura di seguito riporta, in termini adimensionali, l’ottimo confronto tra il profilo teorico delle

velocità nello strato limite e i dati sperimentali, rilevati da J. Nikuradase per valori del numero di

5 5

Reynolds compresi 10 e 7 10 .

* 22

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Fissato un volume di controllo, la resistenza può essere definita anche, come si vedrà meglio in

seguito, mediante la variazione della quantità di moto subita dal fluido nel tempo unitario:

h

∫ ⎡ ⎤

u(x, y) u(x, y)

= ρ −

R 1 dy

⎢ ⎥

Fx V V

⎣ ⎦

0 0

0

La risoluzione dell’integrale richiede la conoscenza del profilo di velocità; il Karman

assunse la seguente legge parabolica: 2

⎛ ⎞

u(x, y) 2y y ( )

= − ≤ ≤δ

; 0 y x

⎜ ⎟

⎜ ⎟

( ) ( )

δ δ

V x x

⎝ ⎠

0

molto simile a quella di Blasius, come si vede in figura.

1 y/δ

0,9

0,8 Karman

0,7

0,6

0,5

0,4 Blasius

0,3

0,2 u/V

0,1 0

0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 23

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I risultati dell’integrazione sono di circa il 10% più alti delle soluzione esatta del Blasius:

δ 5.5 1.46

= =

; C ;

Fx

x R R

Nx Nx

Lo strato limite sposta la corrente uniforme verso l’esterno di una quantità piccola, ma finita,

δ* , intendendo con tale dizione che la corrente

denominata e indicata con

spessore di spostamento δ*

uniforme si trova ad investire un corpo pari alla lastra ispessita di . Quest’ultimo può essere

calcolato nel seguente modo.

La sezione dello strato limite posta all’ascissa x è attraversata nel tempo unitario da una massa

fluida pari a: ( )

δ x

∫ ( )

= ρ

Q b u x, y dy

0 , è

All’infinito a monte la stessa quantità di fluido, che si muoveva ad una velocità costante pari a V 0

esprimibile mediante la relazione: ( )

δ x

h

∫ ∫ ( )

= ρ = ρ = ρ

Q b V dy b V h b u x, y dy

0 0

0 0

Operando come di seguito:

( ) ( )

δ δ

x x

∫ ∫

( ) ( ) ( )

= + − = δ + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

V h V u x, y V dy V x u x, y V dy

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 0 0 0

0 0 24

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

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( ) *

δ = + δ

x h

Ponendo , si ottiene: ( )

δ x ( )

∫ ⎡ ⎤

u x, y

*

δ = −

1 dy

⎢ ⎥

V

⎣ ⎦

0

0

Con le formule di Blasius e Karman si ottengono i valori: δ

1.721

*

δ = ⇒ =

Blasius : 2.848;

*

δ

R Nx δ

1.83

*

δ = ⇒

Karman : 3;

*

δ

R Nx δ

1 3 (x)

Vale a dire che in ogni punto della lastra l’ispessimento è di circa (vedi figura). 25

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Atreyu

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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria navale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Architettura Navale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Miranda Salvatore.

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