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Lezione 32

Autovalori

L’ultimo argomento trattato verrà utilizzato in seguito per lo studio dei

massimi e dei minimi delle funzioni in più variabili.

Definizione

∈ M(n,

A

Data n) chiamiamo −

polinomio caratteristico l’espressione det(A λI),

equazione caratteristica l’espressione det(A 0,

λI) =

autovalori le soluzioni dell’equazione caratteristica.

Esempio. Calcoliamo gli autovalori delle seguenti matrici

−5 −5

7 0

A B

= =

−1

3 1 2 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 32 12 / 24

Lezione 32

Autovalori A

Il polinomio caratteristico di

−5

7 1 0

− −

det(A det

λI) = λ

−1

3 0 1

− −5

7 λ

det

= −1 −

3 λ

2 − 6λ 8

= λ +

Osservazione A

Il polinomio caratteristico della matrice ha grado 2.

Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione caratteristica

2 − 6λ 8 0

λ + = dsm

e quindi risultano 2 e 4.

λ = λ =

1 2

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Lezione 32

Autovalori

Per quanto riguarda la seconda matrice, l’equazione caratteristica

−5

0 1 0

− −

0 det(B det

= λI) = λ

1 2 0 1

−λ −5

det

= −

1 2 λ

2 − 2λ 5

= λ +

−16.

non ha soluzioni (reali) in quanto Se cercassimo quelle

∆ =

complesse avremmo 1 2i e 1 2i dove i è l’unità

λ = λ = +

1 2

2 −1.

immaginaria per cui i = dsm

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Lezione 32

Autovalori

Il seguente risultato è immediata conseguenza del Teorema

fondamentale dell’algebra.

Teorema

∈ M(n,

A A

Se n) allora il polinomio caratteristico ha grado n e quindi

ha esattamente n autovalori complessi. ∈ M(n,

A

Gli autovalori hanno importanti proprietà. Se n) ha

autovalori allora

λ , λ , . . . , λ C

n

1 2 · · · A,

il prodotto det

λ λ . . . λ =

1 n

1 2

la somma coincide con la somma degli elementi

λ + λ + . . . + λ

2 n

1 2 A

sulla diagonale di che si chiama traccia e si indica trA dsm

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Lezione 32

Autovalori

Esempio (continua). A

Gli autovalori di erano 2 e 4;

λ = λ =

1 2

·

il loro prodotto è 8 e coincide con

λ λ =

I 1 2

−5

7 −7

A

det det 15 8.

= = + =

−1

3

la loro somma è 6 e coincide con

λ + λ =

I 1 2

−5

7 −

trA tr 7 1 6.

= = =

−1

3

B

Gli autovalori di non erano reali ma, cercati su erano

C,

1 2i e 1 2i. Provate a verificare che

λ = λ = +

1 2

−5

0

− · B

2i) 2i) det det 0 5 5

(1 (1 + = = = + =

1 2

e

−5

0

− 0 2 2.

2i) 2i) trB tr = + =

(1 + (1 + = = dsm

1 2

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Lezione 32

Autovalori

Esempio

Calcolare gli autovalori della matrice

 

−1

1 0

−1

A 3 4

=  

0 4 8

A

Il polinomio caratteristico di è

    

−1

1 0 1 0 0

−1 −

− 3 4 0 1 0

det(A det λ

λI) = 

    

0 4 8 0 0 1

 

− −1

1 0

λ

−1 −

3 4

det λ

=  

0 4 8 λ dsm

3 2

−λ −

12λ 18λ

= +

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Lezione 32

Autovalori

Quindi gli autovalori risolvono l’equazione caratteristica

3 2 2

−λ − −λ(λ −

0 12λ 18λ 12λ 18)

= + = +

− 2 e 6 3 2.

e risultano 0, 6 3 λ = +

λ = λ = 3

1 2

Non è un caso che tutti e tre gli autovalori siano reali.

Teorema

∈ M(n,

A

Se n) è simmetrica allora tutti gli n autovalori sono reali.

Questo permette di classificare le matrici simmetriche attraverso il

segno dei loro autovalori. dsm

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Lezione 32

Autovalori

Definizione ∈ M(n,

A

Una matrice n) simmetrica si dice

definita positiva se ha tutti gli autovalori strettamente positivi,

definita negativa se ha tutti gli autovalori strettamente negativi,

semidefinita positiva se ha tutti gli autovalori non negativi,

semidefinita negativa se ha tutti gli autovalori non positivi,

indefinita se ha alcuni autovalori strettamente negativi ed altri

strettamente positivi.

A

Osserviamo che se è definita positiva (negativa) allora è anche

semidefinita positiva (negativa) dsm

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Lezione 32

Autovalori

Semidefinite positive Semidefinite negative

≥ ≤

0 per ogni i 0 per ogni i

λ λ

i i Indefinite

esiste i per cui 0 ed

λ >

i

esiste j per cui 0

Definite positive Definite negative λ <

j

0 per ogni i 0 per ogni i

λ > λ <

i i

Classificazione delle matrici simmetriche dsm

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Lezione 32

Autovalori

Soffermiamoci sulla seguente tabella riguardante le matrici

simmetriche di ordine due: ·

A λ λ λ λ λ + λ

1 2 1 2 1 2

D+ + + + +

− − −

D- +

SD+ 0 0

+ +

− −

SD- 0 0

− −

Ind. + ?

Utilizziamo la seguente legenda: ≤

A

e sono i due autovalori di con

λ λ λ λ

1 2 1 2

Con l’acronimo SD+ intendiamo le matrici semidefinite positive

che non sono definite positive ed analogamente con SD-. dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Applicazione del teorema di Rouché-Capelli; teorema di Cramer (soluzioni di un sistema di equazioni lineari di [math]n[/math] equazioni in [math]n[/math] incognite); applicazioni del teorema di Cramer: calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata. Autovalori ed autovettori di una matrice: polinomio caratteristico, traccia di una matrice. Autovalori di matrici simmetriche: matrici definite positive e negative.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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