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∂ ∂ ∂

2 2 2

1 X 1 Y 1 Z

+ + + =

2

B 0 (12.31)

g

∂ ∂ ∂

2 2 2

X Y Z

x y z

Poiché ciascuno dei primi tre termini a sinistra del primo membro è indipendente

dagli altri due, sarà possibile porre ciascuno di essi eguale ad una quantità costante.

Potremo così scrivere:

∂ 2

1 X = − α 2 (12.32)

∂ 2

X x

∂ 2

1 Y = −

β 2 (12.33)

∂ 2

Y y

∂ 2

1 Z = − γ 2 . (12.34)

∂ 2

Z z

Pertanto

α + β + γ =

2 2 2 2

B .

g

Consideriamo l'equazione (12.32), relativa alla funzione X(x). La sola soluzione che

soddisfi le condizioni di simmetria e per cui il flusso si possa annullare alle distanze

estrapolate risulta

= α

X ( x ) A cos x ,

α

2

il che significa che deve essere una quantità reale e positiva. Tale risultato è simile

a quello relativo allo slab infinito. Quindi, introducendo la condizione che il flusso

1

=

termico si annulli al confine estrapolato, cioè nel punto | x | a , il più piccolo valore

2

α

di risulta: 2

π π

 

α = α =

2  

, ossia ,

 

a

a

sicché π

x

=

X A cos .

a 10

Una procedura analoga potrà essere seguita per le altre due direzioni y e z, per cui si

potrà scrivere 2 2

π π

  

β = γ =

2 2

   

e

   

b c 2

Pertanto l'autovalore più piccolo, cui corrisponde B , sarà dato dalla somma

g

2 2 2

π π π

    

= + +

2      

B . (12.35)

g      

a b c

φ(x,y,z)

La distribuzione del flusso in un reattore critico si ottiene inserendo le

soluzioni per X, Y e Z nella (12.30). Si ottiene

π

π π

y

x z

φ =

( x , y , z ) A cos cos cos . (12.36)

a b c

Anche in questo caso la costante A sarà determinata in base alla potenza del sistema.

Nel caso in cui il parallelepipedo si riduca ad un cubo di lato a, il buckling

geometrico risulta

2

π

 

=

2  

B 3

g  

a 2

B , il valore del lato del cubo ad esso associato risulta quindi

Assegnato un valore di g

π

=

a 3 .

B g

Il cubo risulta avere il volume minimo rispetto a tutti i possibili parallelepipedi

1

associati ad un buckling assegnato . Tale volume risulta:

1 Per dimostrare ciò, si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si definisce prima la funzione di

Lagrange da minimizzare

 

2 2 2

π π π

     

= + + + −

 

      2

L abc k B g

    

 

a b c

 

dove k è il moltiplicatore di Lagrange. Differenziando rispetto ad a, b e c, e ponendo ciascuna derivata eguale a zero, si

π

2 k

= = =

a b c

ottiene , vale a dire, il parallelepipedo si riduce ad un cubo.

V 11

3

 

π 161

 

= = . (12.37)

V 3

  3

B

  B

g g

Il valore del volume critico per un reattore nudo di composizione assegnata a forma

2m

di cubo si otterrà sostituendo nella (12.37) il valore del buckling materiale che

B

soddisfa l'equazione di criticità (12.13).

Caso 3. Sfera

Consideriamo un reattore a forma sferica. In questo caso si sceglieranno le coordinate

sferiche, con origine al centro della sfera v. figura 8). Per motivi di simmetria, il

flusso dipenderà solo dal raggio r. Applicando il Laplaciano appropriato per questo

caso, si otterrà l'equazione d'onda

φ φ

2

d 2 d

+ + φ =

2

B 0 (12.38)

g

2 r dr

dr

con la solita condizione che il flusso si annulli alla distanza estrapolata.

Fig. 8 2

Una soluzione della (12.38) con B positivo è

g

sinB r cos B r

g g

φ = +

( r ) A C

r r

φ

Poiché deve rimanere finito all'origine, la costante C deve essere zero. Perciò la

soluzione possibile risulta 12

sinB r

g

φ =

( r ) A (12.39)

r

Se R è il raggio del reattore sferico, inclusa la distanza di estrapolazione per i

neutroni termici, la condizione al contorno richiede che il flusso si annulli per r=R,

cioè sinB R

g =

A .

0

R

Poiché A ed R non sono zero, ciò significa che deve essere

= π

B R n .

g

con l'indice n eguale a zero o ad un intero. Poiché la soluzione n=0 è triviale, si

deduce che l'autovalore più piccolo corrisponde ad n=1, cioè

2

π 

=

2  

B . (12.40)

g  

R

Il buckling geometrico può essere collegato al volume della sfera. Si ha

π 4

4 4 130

= π = =

3

V R 3 3

3 3

B B

g g 2m

2

B è posto eguale al valore del buckling materiale associato al mezzo in

Se B

g

esame, questa equazione consente di determinare il volume del reattore sferico

critico.

Sostituendo la (12.40) nella (12.39), si ottiene il flusso del reattore critico. Si ha

π

A r

φ =

( r ) sin (12.41)

r R

dove, come per i casi precedenti, la costante A dipende dal livello di potenza

assegnato. 13

Caso 4. Cilindro finito

Consideriamo un cilindro di altezza definita H e raggio R (incluse le distanze di

estrapolazione) Adottando il Laplaciano corrispondente a questa geometria nelle

coordinate cilindriche, in cui l'asse verticale z coincide con l'asse del cilindro (v.

figura 9) ed il centro del sistema con l'origine, si ottiene l'equazione d'onda

φ φ φ

2 2

d 1 d d

+ + + φ =

2

B 0 (12.42)

g

2 2

r dr

dr dz

Le condizioni al contorno del problema sono che il flusso sia finito e si annulli alla

1

= ±

distanza estrapolata, cioè nei punti r=R, oppure z H .

2

Fig. 9

La soluzione si ottiene separando dapprima le variabili, per cui

φ = Θ

( r , z ) ( r ) Z

( z )

sicché la (12.42) si potrà scrivere 14

 

Θ Θ

2 2

1 d 1 d 1 d Z

 

+ + + =

2

B 0 . (12.43)

 

Θ g

2 2

r dr Z

 

dr dz Θ,

Nel primo termine al primo membro compare solo mentre nel secondo termine

compare solo Z. Essendo indipendenti l'uno dall'altro, ciascuno di questi termini

dovrà essere eguale ad una costante. Poniamo quindi

 

Θ Θ

2

1 d 1 d

 

+ = − α 2 (12.44)

 

Θ 2 r dr

 

dr

2

1 d Z = −

β 2 . (12.45)

2

Z dz

Pertanto si avrà

= α + β

2 2 2

B .

g Θr 2

Moltiplicando la (12.44) per , si ha

Θ Θ

2

d d

+ + α Θ =

2 2 2

r r r 0 (12.46)

2 dr

dr

Questa equazione può essere trasformata in una equazione di Bessel nel seguente

modo. Definiamo la variabile

u=αr

sicché du = α .

dr

Si può quindi scrivere

Θ Θ Θ

d d du d

= = α

dr du dr du

e quindi 15

Θ Θ Θ Θ

2 2

   

d d d d d du d

= α = α = α 2

    .

   

2 2

dr du du du dr

dr du Θ/dr

2 2

Sostituendo nella (12.46) le espressioni relative a r, dΘ/dr, d , si ottiene

Θ Θ

2

d d

+ + Θ =

2 2

u u u 0 . (12.47)

2 du

du

L'equazione generale della funzione Bessel di ordine n è

2 dy

d y + + − =

2 2 2

x ( x n ) y 0

x .

2 dx

dx

Pertanto la (12.47) risulta una equazione relativa ad un a funzione Bessel di ordine

α

2 2

zero purchè u , e quindi , siano quantità positive. La soluzione generale della

(12.47) sarà quindi

Θ = + (12.48)

AJ ( u ) CY ( u )

o o

dove J e Y sono funzioni Bessel del primo e secondo genere, rispettivamente,

o o

all'ordine zero.

α 2

Se è una quantità negativa, allora la (12.46) avrà la forma di una equazione di

Bessel modificata. Queste funzioni sono definite dall'equazione generale

2

d y dy

+ − − =

2 2 2

x x ( x n ) y 0 .

2 dx

dx

La soluzione nel nostro caso sarà

Θ = + (12.49)

A ' I ( u ) C ' K ( u )

o o

dove I e K sono funzioni Bessel modificate del primo e secondo genere,

o o

rispettivamente, all'ordine zero.

Si dovrà quindi fare una scelta tra due possibili soluzioni, a seconda che la quantità

α 2 sia positiva, o negativa, basandoci sulle condizioni al contorno.

I valori delle funzioni J , Y , I e K sono riportati nella figura 10 in funzione di x.

o o o o 16

Fig. 10

Esaminando le curve, si nota che Y , I e K possono essere eliminate poiché: Y

o o o o

∞ ∞ →

tende a - e K diventa allorchè x 0 , mentre I cresce all'infinito con x.

o o

Pertanto:

Θ = = α (12.50)

( r ) AJ ( u ) AJ ( r )

o o α 2

e di conseguenza, essendo la soluzione associata alla funzione J , si deduce che

o

deve essere positivo.

α

Per valutare , si fa di nuovo uso delle condizioni al contorno, cioè che il valore del

flusso sia finito e che esso si annulli alla distanza estrapolata, cioè per r=R. Si ha

quindi Θ = α =

( R ) AJ ( R ) 0

o

che equivale a scrivere

α = .

J ( R ) 0

o αR

Ciò significa che è eguale al valore u che soddisfa questa condizione.

L'autovalore più piccolo corrisponde al primo zero della funzione di Bessel J , cioè

o

αR

2.405. Quindi sarà eguale a questo valore, sicché

17

2

 

2

.

405 2 .

405

α = α =

2  

,  

R

R

Pertanto la (12.59) diverrà

2

.

405

r

Θ =

( r ) AJ ( ) . (12.51)

o R

Dobbiamo ora risolvere l'equazione relativa alla funzione Z(z).

Tenendo conto della simmetria rispetto all'origine nella direzione delle z, ed

utilizzando come in precedenza le condizioni al contorno, si avrà

π

z

=

Z

( z ) C cos (12.52)

H β

2

e l'autovalore più piccolo per sarà

2

π 

β =

2  

 

H

Il buckling geometrico sarà dato quindi dall'equazione

2 2

π

   

2

.

405

= +

2    

B (12.53)

g    

R H

2 2m

Se B è posto eguale al valore del buckling materiale associato al mezzo in

B

g

esame, questa equazione consente di determinare una possibile coppia R, H che rende

il reattore critico.

Combinando la (12.52) con la (12.51) si otterrà la soluzione per il flusso

π

 

2 .

405

r z

φ =  

( r , z ) AJ cos (12.54)

o  

R H

Il volume minimo di un reattore critico a forma di cilindro finito cui sia associato un

2m

determinato buckling materiale si può ottenere nel seguente modo.

B 18


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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