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- p è la probabilità di fuga dalle risonanze. K fηε)

/p (= neutroni di

Per ciascun neutrone termico assorbito, nascono quindi ∞

fissione ad elevata energia, dal cui valore inizia il processo di rallentamento.

3 Σ φ(r,t).

Il numero totale di neutroni termici assorbiti per cm per sec è Quindi il

a

3

numero totale di neutroni veloci prodotti, per cm per sec, è

K Σ φ(r,t).

/p)

( ∞ a

Questa quantità, più l'eventuale sorgente esterna S(r), devono essere eguali alla

densità di rallentamento all'energia dei neutroni di fissione (e di sorgente). Pertanto

K ∞

= Σ φ + . (12.3)

q (

r ,

0

, t ) (

r , t ) S

( r )

a

p

Questa rappresenta una condizione di accoppiamento tra l'equazione di diffusione

termica e l'equazione dell'età.

La densità di collisione dipende pure dal tempo. Tuttavia i tempi di rallentamento

sono normalmente piccoli rispetto ai tempi della diffusione termica. Quindi la

τ,

variazione di q(r,τ,t) col tempo, per tutti i valori di può considerarsi collegata

interamente alle variazioni del flusso termico.

Una ulteriore condizione per la (12.2) nasce da considerazioni sul flusso e sulla

densità di collisione ai confini.

Se il sistema non ha superfici rientranti, si ha la condizione di annullamento del

λ

flusso alla distanza estrapolata 0.71λ . Se non varia con l'energia, la densità di

t t

collisione si annullerà pure alla stessa distanza. Per semplificare la trattazione,

assumiamo che la distanza di estrapolazione sia indipendente dall'energia.

Da notare che per reattori di grandi dimensioni la distanza di estrapolazione è piccola

rispetto alle dimensioni del sistema. L'aver assunto la distanza di estrapolazione

indipendente dall'energia non comporta quindi differenze apprezzabili sui risultati.

τ

Poichè la densità di collisione dipende dallo spazio r, dall'età e dal tempo t, una

soluzione della (12.2) può essere cercata separando queste variabili, scrivendo:

τ = Θ τ

q (

r , , t ) R (

r ) ( ) T ( t ) 3

Sostituendo nella (12.2), si ottiene

2

∇ ∂

Θ τ

R ( r ) ( )

1

= Θ τ ∂

τ

R ( r ) ( ) τ,

Poiché il membro a sinistra dipende solo da R(r), e il membro destro solo da

si potrà porre ciscun membro eguale ad una costante. Pertanto:

2

∇ R ( r ) 2

= − (12.4)

B

R ( r )

ossia 2 2

∇ + = , (12.4a)

R (

r ) B R ( r ) 0

ed inoltre ∂

Θ τ

( )

1 2

= − . (12.5)

B

Θ τ ∂

τ

( )

La soluzione della (12.5) è

2

− τ

B

Θ τ =

( ) Ae

2

dove B deve essere un numero positivo per soddisfare la condizione che la densità di

rallentamento non può aumentare con l'età.

Avvicinamento alla criticità

Consideriamo ora la (12.4). Supponiamo, per semplicità, che la forma del sistema

combustibile/moderatore sia quella di uno slab infinito, di spessore a, inclusa la

distanza di estrapolazione. Supponiamo una sorgente esterna piana posta nel piano di

simmetria dello slab, dove è posta anche l'origine della coordinata x, normale al piano

(v. figura 4). La densità di rallentamento e il flusso dipenderanno quindi solo da x.

4

Fig. 4

La funzione R(r) nella (12.4) potrà quindi essere sostituita dalla

2

d X ( x ) 2

+ = (12.6)

B X 0

2

dx 2

dove, come si visto innanzi, B è un numero reale positivo.

La soluzione dovrà soddisfare le condizioni di simmetria rispetto al punto x=0, oltre a

quelle al confine. Essa sarà quindi, in generale,

π

n x

=

X A cos

n n a

dove n è un qualsiasi intero dispari, affinchè il flusso si annulli alla distanza

a 2

= ± ). I valori di B saranno quindi:

estrapolata ( x 2

2

π

n

 

2n = , (12.7)

B  

a

 

e rappresentano gli autovalori del problema, ciascuno di essi corrispondendo ad una

autofunzione.

Si noti come l'autovalore più piccolo (o fondamentale) corrisponda ad n=1, cioè a

2 . Tutti gli altri autovalori sono più grandi.

B

1 5


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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