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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti del corso di Protezione dalle radiazioni

Se si esprime la distanza in unità di L si vede che, detta x / L la distanza così

ξ =

rad rad

misurata, le formule soprariportate si semplificano molto risultando sostanzialmente

indipendenti dal materiale del mezzo: dE E

− =

d

ξ

Nella tabella seguente sono riportate le lunghezze di radiazione per vari assorbitori.

Tabella III-2

Lunghezza di radiazione

per vari assorbitori 2

Materiale L [cm] L [g/cm ]

rad rad

Pb 0.56 6.37

Al 8.9 24.01

Fe 1.76 13.84

Cu 1.43 12.86

Aria (STP) 30050. 36.20

Polistirene 42.9 43.80

NaI 2.59 9.49

H O 36.1 36.08

2

Anche per la lunghezza di radiazione vale una formula analoga alla regola di Bragg:

 

1 1

∑ w  

= i

L L

 

rad rad i

Il range

A causa della molto maggiore energia che gli elettroni possono perdere in ogni collisione e

del bremsstrahlung la perdita di energia fluttua molto di più che per le particelle pesanti, ed

anche il range ha quindi molto più straggling. In figura III-9 sono riportate curve del tipo già

visto per il range: si nota che sono molto più allungate che per le particelle pesanti. In pratica

la gaussiana intorno al range medio occupa quasi tutto il grafico. Le curve di trasmissione

sono quindi marcatamente meno definite che per le particelle pesanti; inoltre tali curve, come

quelle già viste per i raggi alfa, si riferiscono a fasci monoenergetici di elettroni, mentre

sappiamo bene che i beta (a differenza degli alfa) non vengono emessi monoenergetici, bensì

III-17

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[ ]

0

, E . Per i raggi beta si parte

con una distribuzione continua di energia nell’intervallo Max

perciò da un altro punto di vista.

: Curve di trasmissione per gli elettroni

Figura III-9

Immaginiamo di interporre tra la sorgente ed il rivelatore spessori crescenti di assorbitore,

come in figura III-10: : Schema dell’apparato sperimentale

Figura III-10 III-18

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Riportiamo su scala semilogaritmica l’intensità di conteggio: vediamo che essa scende

dapprima rapidamente poi più lentamente fino ad azzerarsi infine completamente. Lo spessore

per cui il conteggio si azzera è detto, come indoviniamo, range degli elettroni (di quella data

energia massima, corrispondente all’isotopo considerato) in quel materiale.

: Intensità di conteggio in funzione dello spessore di assorbitore

Figura III-11

Ripetendo per vari emettitori (quindi energie massime) e vari materiali assorbenti possiamo

costruire le curve dei range: : Range per varie energie (massime) e vari assorbitori

Figura III-12 III-19

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La capacità di assorbire energia (cioè lo stopping power) del mezzo dipende principalmente

2

dal numero di elettroni lungo la traiettoria, cioè in definitiva dal numero di elettroni per cm

viste dal beta incidente. Questa densità è proporzionale al prodotto dello spessore ∆x

dell’assorbitore per la sua densità di massa cioè al cosiddetto spessore di massa t, dato da

ρ, 2

[g/cm ]

t x

= ρ

(infatti se, come abbiamo detto, il rapporto tra Z ed A è circa costante, lo stesso si può dire del

rapporto tra densità di elettroni e densità di massa. Almeno per i metalli). Ad esempio:

3

l’alluminio ha densità 2.7 g/cm , quindi uno spessore geometrico di 1 cm di alluminio dà

2

luogo ad uno spessore di massa di 2.7 g/cm . Se prendiamo invece un foglio di plexiglas

3

(ρ=1.18 g/cm ) per ottenere lo stesso spessore di massa (quindi lo stesso potere di

assorbimento) occorre uno spessore geometrico di plexiglas dato da

∆x Plex

t 2

.

7

Al

x 2

.

39 cm

∆ = = =

Plex 1

.

18

ρ Plex

Inoltre con questo modo di esprimere lo spessore si possono sommare spessori di materiali

diversi in modo naturale. La figura III-13 mostra una curva universale del range (in unità di

spessore di massa) in funzione dell’energia (massima, come sempre) dei beta.

: Curva universale del range in funzione dell’energia ( ) dei beta

Figura III-13 massima III-20

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Facciamo un esempio: quale spessore di a) plexiglas e b) alluminio occorre per fermare tutti i

90

beta da una sorgente di Sr ? Lo stronzio-90 emette beta da 0.54 MeV: tuttavia il suo prodotto

90

è Y che emette a sua volta beta di 2.27 MeV. Si deve quindi dimensionare lo schermo per

tale ultima energia. Dalla curva universale troviamo che occorre pertanto uno spessore di

2

massa t pari a 1.1 g/cm . Pertanto:

min t 1

.

1

min

a) x 0

.

932 [cm]

∆ = = =

Plex 1

.

18

ρ P

t 1

.

1

min

b) x 0

.

41 [cm]

∆ = = =

Al 2

.

7

ρ Al

Spesso si utilizza (con un sistema sperimentale analogo a quanto mostrato in figura III-10) la

determinazione del range per risalire all’energia dei beta e di lì al radioisotopo.

Ad esempio, con l’apparato mostrato in figura III-14 si è trovato che i beta emessi da un

radioisotopo ignoto hanno un range di 0.111 mm in alluminio, sommato agli altri assorbitori

mostrati in figura. Inoltre in un mese di monitoraggio non si è potuto osservare un

decadimento misurabile del radioisotopo, e questo non emetteva alcun’altra radiazione oltre al

beta. Si determini quindi:

a) Qual è l’energia (massima) dei beta?

b) Qual è l’isotopo? : apparato sperimentale

Figura III-14

Il range complessivo in unità di spessore di massa, t , colla geometria mostrata, risulta

TOT

mg mg mg mg

t t t t 1

.

7 1

.

0

cm 1

.

293 0

.

111

cm 2

.

7 33

= + + = + × + × =

TOT mica Al aria 2 3 3 2

cm cm cm cm

Dalla curva universale troviamo che questo corrisponde ad un’energia di 0.17 MeV.

14

L’emettitore è verosimilmente C , emettitore beta puro da 0.155 MeV, con T = 5730 y.

½ III-21

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Scattering multiplo

Un altro processo cui sono sottoposte le particelle cariche, come detto, è lo scattering

coulombiano: in particolare, la successione di molti scattering consecutivi, in genere con

piccole deflessioni, vedi figura III-15

: Scattering multiplo

Figura III-15

Per gli elettroni in particolare, tuttavia, anche le deflessioni a grandi angoli hanno una

probabilità apprezzabile di verificarsi: non è raro perciò che una successione di alcune

deflessioni porti ad invertire completamente il moto dell'elettrone, rimandandolo fuori dal

mezzo, vedi figura III-16 : Backscattering

Figura III-16

Questo è un effetto da tenere presente nel progettare rivelatori. L'effetto è particolarmente

notevole per basse energie degli elettroni e per alti Z del mezzo. In figura III-17 è

III-22

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rappresentato il coefficiente di backscattering, o albedo, cioè la percentuale degli elettroni

incidenti che viene riflessa.

: Albedo (sperimentali) di vari materiali, per elettroni incidenti

Figura III-17 normalmente sulla superficie del campione

Straggling energetico

Come per il range, anche per l'energia vi è un fenomeno di straggling. Quella che abbiamo

considerato finora è l'energia media persa dalle particelle nel loro cammino attraverso il

mezzo: come al solito la realtà è che la perdita di energia per attraversare un dato spessore ha

una distribuzione statistica intorno ad una media, perché vi sono fluttuazioni da una particella

all'altra. Lo straggling del range era dovuto al diverso cammino necessario a diverse

particelle per perdere una data quantità di energia (particelle, s'intende, di un fascio

inizialmente monoenergetico); lo straggling in energia è dato dalla diversa energia persa da

queste varie particelle per percorrere un dato cammino.

III-2_3. Il LET

Si è già detto che a seguito delle collisioni delle particelle cariche con gli atomi e le molecole

del mezzo attraversato, vengono messi in moto elettroni (i ), detti raggi che si

δ,

secondari

comportano a loro volta come le particelle primarie, cioè trasportano lungo proprie tracce

l'energia ricevuta e la trasferiscono al mezzo in punti anche distanti dal sito ove è avvenuta la

collisione. I raggi di bassa energia sono molto più probabili di quelli di alta energia. La

δ

distribuzione di queste particelle lungo una traccia è di primaria importanza

nell'interpretazione degli effetti indotti dalle radiazioni nei materiali biologici, in quanto

fornisce informazioni dirette sul trasporto di energia a distanza.

Quando si è interessati a conoscere le deposizioni d'energia in una ben precisa regione intorno

III-23

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alla traccia delle particelle incidenti, piuttosto che al potere frenante, si preferisce far ricorso a

un'altra quantità, il detto anche o

LET, trasferimento lineare d'energia potere frenante per

che s'indica con il simbolo L ed è definito come:

collisione lineare ristretto, ∆

dE

 

L  

=

∆ d

 

l ∆

dove dE rappresenta l'energia ceduta localmente per collisioni da una particella carica lungo

d avendo considerato nel computo di dE solo le collisioni che

un segmento di traccia l ,

comportano un trasferimento di energia minore di (di solito in eV).

-1

Il L si esprime abitualmente in keV-µm .

Ad esempio, scrivere L significa voler prendere in esame tutte e sole le collisioni che

100

comportano il trasferimento di energia in quantità inferiori a 100 eV (si intende per ogni

singola “collisione”). Soltanto queste verranno considerate come energie cedute localmente

nel mezzo.

Naturalmente, se si prendono in considerazione tutte le perdite d'energia, senza imporre alcun

limite, si ottiene per il LET, che in questi casi si suole indicare con il simbolo L , lo stesso

valore numerico del potere frenante per collisione. In genere il L vale circa il 60% del L ,

100 ∞

quindi i raggi più energetici sono responsabili del trasporto di circa il 40% dell'energia

δ

totale persa dalla particella lungo la traccia. In figura III-18 sono mostrate curve dello

stopping power (cioè il L ), del L , del L e del L per protoni in acqua.

10000 1000 100

: Curve sperimentali per protoni in acqua: L , L , L e L

Figura III-18 10000 1000 100

∞ III-24

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Infine, osserviamo che si usa distinguere le particelle anche in base al LET: particelle a basso

-1

LET (fino a 50 KeV-µm ) e ad alto LET. -1

Per dare qualche numero, il L degli elettroni varia tra 0.2 e 30 KeV-µm , per i protoni va da

-1 -1

50 a 100 KeV-µm , e per le alfa è tra 40 e 250 KeV-µm . Per i nuclei di rinculo pesanti può

-1

arrivare fino a 4000 KeV-µm .

III-3. Radiazioni indirettamente ionizzanti

Le radiazioni (o particelle) indirettamente ionizzanti di maggiore importanza pratica sono i

raggi X e gamma e i neutroni, che costituiscono le principali componenti dei campi di

radiazione presenti abitualmente intorno ai vari tipi di macchine radiogene.

Come si è già accennato, interagendo con la materia, queste radiazioni mettono in moto

particelle cariche secondarie, in genere elettroni e positroni nel caso dei raggi X e gamma,

protoni e nuclei nel caso dei neutroni, per mezzo delle quali l'energia viene effettivamente

depositata nei materiali attraversati. Agli effetti radioprotezionistici, gli effetti prodotti da

questi due tipi di radiazioni sono in definitiva gli effetti prodotti dai secondari carichi da essi

originati.

III-3_1. Radiazione EM, o Fotoni

Prima di analizzare i dettagli dell’interazione delle radiazioni EM con la materia,

esaminiamone l’aspetto fenomenologico. Si immagini dunque di eseguire l’esperimento

mostrato in figura III-19: : Apparato sperimentale in BUONA GEOMETRIA

Figura III-19

Vediamo qui un fascio monocromatico di fotoni gamma, sottile, , diretto verso

ben collimato

un rivelatore anch’esso dotato di un collimatore, il tutto in un mezzo non assorbente (diciamo

III-25

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il vuoto); tra la sorgente del fascio ed il rivelatore, a metà strada circa, è interposto uno strato

di materiale assorbente di spessore x, variabile ma sempre relativamente sottile

(qualificheremo meglio questo aggettivo un po’ più avanti). Questa condizione sperimentale è

detta di . Diciamo I l’intensità misurata dal rivelatore in assenza di

BUONA GEOMETRIA 0

( )

aasorbitore ed I x quella misurata con un assorbitore di spessore x. Riportiamo su un grafico

( )

il rapporto I x / I (cioè la frazione trasmessa) al variare dello spessore x di assorbitore:

0

otteniamo un grafico del tipo di quello in figura III-20

: Curve sperimentali per raggi gamma da 0.662 MeV in

Figura III-20 piombo ed in alluminio. La curva tratteggiata (solo

qualitativa) si riferisce al caso di sorgente eterocromatica.

Osserviamo che sul diagramma semilogaritmico otteniamo una retta (per un dato materiale ed

una data energia della particella incidente), cioè possiamo scrivere:

[ ] [ ]

( )

ln I x ln I x

= − µ

0

dove è il coefficiente angolare, costante. Passando agli esponenziali,

µ x

− µ

( )

I x I e

= 0 -1

Il coefficiente angolare che ha chiaramente le dimensioni di x , è detto coefficiente di

µ,

assorbimento. È possibile definire anche un coefficiente d’assorbimento “per atomo” ,

µ

a

III-26

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dividendo per la densità atomica N (cioè, con un termine più familiare, una sezione d’urto di

assorbimento) µ

µ =

a N

Questo può tornare molto utile nel caso di miscele, e in tal caso vale la seguente formula:

∑ [ ] N

µ = µ a i

i

i

Facciamo un esempio: una lega contenente 90% in massa di Cu (peso atomico 63.57) e 10 %

3

di Al (peso atomico 26.98) ha una densità di 7.6 g/cm . Calcolate il coefficiente di

attenuazione per gamma da 0.4 MeV, sapendo che le sezioni d’urto di assorbimento in questo

caso sono rispettivamente 9.91 b e 4.45 b.

Calcoliamo N per rame ed alluminio: 23

0 . 90 7 . 6 6 . 022 10

N

ρ × × × 22

Cu A

N 6 . 49 10

= = = ×

Cu m 63 . 57

Cu 23

0 . 10 7 . 6 6 . 022 10

N

ρ × × × 22

Al A

N 1 . 70 10

= = = ×

Al m 26 . 98

Al

da qui calcoliamo il coefficiente di attenuazione µ:

Cu Al 24 22 24 22 -1

− −

N N 9

.

91 10 6

.

49 10 4

.

45 10 1

.

70 10 0

.

719 cm

µ = µ + µ = × × × + × × × =

Cu a Al a + + + + + + + +

Al crescere di x oltre un certo limite la legge esponenziale che abbiamo appena visto non è

più valida, perché sottostima l’intensità, ed occorre apportare una correzione, detta fattore di

Build-up e che vedremo tra breve. Tuttavia rimane (anzi si rafforza, se vogliamo) questo

comportamento generale, che costituisce la prima grande differenza nel comportamento

macroscopico dei fotoni rispetto alle particelle cariche: mentre queste ultime hanno un range

ben definito, quindi con uno spessore di assorbitore sufficiente il fascio viene completamente

rimosso, la radiazione X e gamma può venire ridotta in intensità quanto si desidera,

aumentando lo spessore di assorbitore ma .

NON PUÒ MAI ESSERE DEL TUTTO ELIMINATA

Esaminiamo ora in dettaglio le interazioni dei fotoni X e con la materia.

γ

γ

III-3_2. Interazione dei fotoni X e con la materia

La prima, grande differenza (microscopica) col caso delle particelle cariche, e che occorre

tenere ben presente, è che i fotoni non hanno carica: dunque niente collisioni anelastiche

III-27

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cogli elettroni atomici e niente scattering coulombiano. I modi di interazione sono invece i

seguenti (principalmente):

Effetto fotoelettrico (importante fino a circa 0.5 MeV)

Effetto Compton (predominante nella zona del MeV)

Produzione di coppie elettrone-positrone (sopra al MeV e specialmente tra 5 e 10 MeV)

Oltre a questi tre meccanismi principali vi sono ancora

Scattering di Raleigh (o diffusione coerente): questi scattering lasciano invariata l'energia

del fotone, deviandolo soltanto dalla sua traiettoria. In condizioni di “buona geometria” il

fotone viene rimosso dal fascio, e quindi questo processo ha influenza sull’attenuazione

nell’assorbitore: tuttavia la sua sezione d’urto, per le energie di nostro interesse, è

estremamente bassa e dunque non ci interessa molto. Tuttavia, sebbene la diffusione

coerente possa essere in genere trascurata rispetto ai tre processi principali detti sopra, di

essa si deve tenere un certo conto nell'interpretazione dei dati sperimentali relativi ai

coefficienti di attenuazione.

Reazioni di dissociazione, o fotodisintegrazioni, o effetto fotonucleare – vale a dire

reazioni (γ,n), (γ,p) e via dicendo. Questo effetto diviene importante nella zona di energia

compresa tra 10 e 30 MeV, zona in cui la cui sezione d'urto può raggiungere il 10% della

sezione d'urto totale in corrispondenza di certi valori di energia particolari. Questo effetto

diventa di notevole interesse per via delle particelle secondarie prodotte, che nel caso dei

neutroni costituiscono un problema di radioprotezione di rilevanza anche maggiore dei

fotoni gamma di origine.

Vi sono infine altri processi minori che non prenderemo in considerazione, come la

diffusione nucleare di risonanza, la diffusione Thomson da parte dei nuclei, la produzione di

coppie nucleone-antinucleone e via discorrendo.

Tornando ai tre modi di interazione principali visti sopra, tuttavia, anch’essi in definitiva

hanno sezioni d'urto molto inferiori a quelle caratteristiche dei processi relativi alle particelle

cariche. E questo ci porta alla seconda grande differenza nel comportamento macroscopico: i

fotoni interagiscono molto meno e sono quindi delle particelle cariche.

molto più penetranti

Esaminiamo ora uno alla volta questi processi.

Effetto fotoelettrico

Nell'effetto fotoelettrico un fotone di energia E=hν almeno pari all'energia di legame E

0

dell'elettrone atomico con cui interagisce, cede tutta la sua energia (scomparendo, s'intende)

III-28

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all'elettrone che viene così ionizzato e lascia l'atomo avendo un'energia residua E =E-E .

res 0

Deve trattarsi di un elettrone atomico poiché con un elettrone libero non potrebbero essere

conservate contemporaneamente energia e quantità di moto, e infatti l'effetto fotoelettrico è

tanto più probabile quanto più l'elettrone è legato all'atomo. Avviene quindi più

frequentemente con gli elettroni dell'orbita K (circa l'80% dei casi). Inoltre, per ogni orbita,

l'emissione fotoelettrica è più probabile quando il fotone ha giusto l'energia sufficiente per

produrla. La sezione d'urto per questo processo ha quindi un andamento decrescente con

l'energia dei fotoni, con improvvise discontinuità in corrispondenza delle energie di soglia del

processo per le differenti orbite (M,L,K). Queste energie di soglia sono approssimativamente

date dalla legge di Moseley: 2

( )

Z − σ eV

E 13 . 6

= 2

n

dove è la costante di schermo che si può assumere circa uguale a 1 per l'orbita K, a 5 per la

σ

L e a 13 per la M, e n il numero quantico dell'orbita (n = l per l'orbita K; 2 per la L; 3 per la

M). Chiaramente, le discontinuità sono più evidenti e numerose per i materiali di elevato

numero atomico. In figura III-21 è rappresentata la sezione d’urto per l’effetto fotoelettrico

nel piombo (l’andamento è tipico). I picchi K, L ecc. corrispondono alle shell degli elettroni

interessati. Gli atomi che hanno subito un effetto fotoelettrico si riassestano successivamente

emettendo raggi X caratteristici di fluorescenza o elettroni Auger. I primi predominano negli

elementi ad elevato numero atomico, i secondi in quelli di basso numero atomico.

Non esiste un'espressione analitica della sezione d’urto per questa interazione che sia in buon

accordo con i risultati sperimentali per ogni energia dei fotoni. Le diverse approssimazioni

valide in diversi intervalli energetici danno tutte un andamento rapidamente crescente con Z,

-3.5 -1

mentre la dipendenza dall'energia passa da (hν) alle basse energie a (hν) a quelle

relativistiche. Una correlazione sperimentale tra la sezione d'urto e il numero atomico Z

dell'elemento considerato è: n

kZ

σ ≈

ph

dove l'esponente n varia tra 4 e 5, in buon accordo con le previsioni teoriche. In generale

l'effetto fotoelettrico predomina quindi alle basse energie (hν < 0.5 MeV) ed è tanto più

importante quanto più elevato è il numero atomico del materiale in esame, tanto che negli

elementi pesanti esso gioca un ruolo di rilievo ancora fino ad energie dell'ordine di 4-5 Me V.

III-29

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: Sezione d’urto per l’effetto fotoelettrico

Figura III-21 nel piombo (calcolata teoricamente)

Produzione di coppie elettrone-positrone

In questa reazione, un fotone nel passaggio vicino ad un nucleo scompare e al suo posto

appare una coppia elettrone-positrone, l’energia del fotone viene in parte trasferita in massa di

riposo dell’elettrone e del positrone (complessivamente 1.022 MeV) ed il rimanente appare

come energia cinetica di queste due particelle. L'energia non si distribuisce proprio in parti

uguali tra le due particelle, in quanto il positrone tende a riceverne un po' più dell'elettrone a

causa della repulsione da parte del nucleo, differenza che finisce tuttavia per scomparire al

crescere dell'energia. Naturalmente, la reazione non può avvenire se il fotone non ha

un'energia almeno pari ai 1.022MeV di cui sopra. Anche qui occorre il terzo corpo per la

conservazione dell’energia e della quantità di moto. Il nucleo naturalmente ha un’energia di

rinculo trascurabile, per via della enorme differenza di massa con gli elettroni. La reazione è

schematizzata in figura III-22: le due particelle sono proiettate in avanti e perdono la loro

energia coi meccanismi visti per i beta. Quando il positrone ha esaurito la sua energia cinetica

si annichila emettendo due quanti da 511 keV. III-30

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: Geometria della produzione di coppie

Figura III-22

La sezione d'urto per la produzione di coppie è mostrata in figura III-23.

τ : Sezione d’urto del piombo per la produzione di coppie

Figura III-23

La produzione di coppie può avvenire anche nel campo coulombiano di un elettrone orbitale:

in questo caso si ha in effetti la produzione di una tripletta, la coppia elettrone-positrone alla

quale si aggiunge l'elettrone orbitale nel cui campo si produce la coppia, che abbandona

l'atomo a grande velocità, in direzione opposta alla coppia prodotta, avendo un’energia di

rinculo pari a quella della coppia prodotta. Questo processo ha pertanto una soglia in energia

2

pari a 4 m c , cioè 2.044 MeV, per tenere conto anche dell’energia minima che deve essere

e III-31

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portata via dall’elettrone di rinculo; inoltre è una reazione notevolmente meno probabile di

quella che avviene nel campo del nucleo.

Per quanto riguarda l’andamento con Z della sezione d'urto del processo di creazione di

2

coppie, nel campo di un nucleo essa va con Z , mentre nel campo dell’elettrone (il cui Z è 1)

va col numero di elettroni presenti nell’atomo, vale a dire Z.

Cascate di fotoni ed elettroni

Un effetto caratteristico dell'interazione di fotoni molto energetici con la materia è il seguente.

Il fotone di energia E (>>1.022MeV) entro il mezzo si converte in una coppia elettrone-

0

positrone, questi per bremsstrahlung emettono fotoni ancora molto energetici, i quali a loro

volta si convertono ognuno in una coppia elettrone-positrone, che a loro volta emettono

fotoni, che a loro volta..... Rapidamente si giunge ad un numero elevato di elettroni, positroni

e fotoni. Naturalmente la cascata si ferma quando i fotoni prodotti non sono più

sufficientemente energetici per dar luogo a produzione di coppie elettrone-positrone. In

media ognuno dei passi di questa catena avviene in una lunghezza di radiazione, ed è presto

t particelle ognuna con energia di

visto che così facendo si hanno, dopo t lunghezze, circa 2

t

( )

circa E t E / 2 . La cascata penetra fino a che E(t) diventa minore di E =1.022MeV, cioè

= 0 c

( )

fino a t ln E / E / ln 2 , con un numero massimo di particelle prodotte pari a

=

max 0 c

N E / E . Naturalmente questi sono solo ordini di grandezza, ed un valore preciso non

=

max 0 c

può essere ricavato analiticamente, ma solo per via numerica.

Effetto Compton

L'effetto Compton, o scattering Compton, si verifica tra un fotone ed un elettrone libero (cioè,

più propriamente, un elettrone la cui energia di legame entro l’atomo è trascurabile rispetto

all’energia del fotone). Come detto parlando dell’effetto fotoelettrico, nel trasferimento

completo dell'energia del fotone ad un elettrone libero non potrebbero essere conservate

contemporaneamente energia e quantità di moto: se però il fotone trattiene una parte

dell'energia (dando cioè luogo ad un fotone a frequenza più bassa) la reazione diventa

possibile. La geometria del processo è mostrata in figura III-24. III-32

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h '

ν

ϑ

h

ν ψ

e

E

: Geometria dello scattering Compton

Figura III-24

Naturalmente vi sono infiniti modi di ripartire l'energia tra il fotone e l'elettrone, e

corrispondentemente infinite direzioni di allontanamento. Applicando le consuete leggi di

conservazione si trova che le energie del fotone incidente (hν) e del fotone diffuso (hν’) sono

legate dalla relazione h ' 1

ν = h

h ν

ν ( )

1 1 cos

+ − ϑ 2

m c

e

da cui si vede che a parità di angolo, tanto maggiore è l’energia del fotone incidente hν e tanto

maggiore è la percentuale di energia persa. Per ricavare questo risultato applichiamo, come

detto, le leggi di conservazione dell’energia e della quantità di moto (quest’ultima nelle 2

direzioni x ed y). È però necessario ricorrere alle equazioni relativistiche, date le energie che

possono entrare in gioco, quindi ricordiamo brevemente le formule di interesse (in tutte il

simbolo c indica la velocità della luce):

l’energia di una particella avente massa m e modulo della quantità di moto p è data

( )

2 2

2 2 ( )

E mc pc

dall’espressione = + 34 15

− −

detta h la costante di Planck ( 6

.

62606 10 J s , ovvero 4

.

13567 10 eV s ),

× − × −

ed il modulo della quantità di moto di un fotone di frequenza sono

l’energia E p ν

ph ph

date rispettivamente da h ν

;

E h p

= ν =

ph ph c

Scriviamo quindi le equazioni di conservazione, eguagliamo cioè l’energia e, rispettivamente,

le componenti x ed y della quantità di moto prima e dopo l’urto. III-33

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Con i simboli in figura possiamo scrivere:

 2

h mc h ' E

ν + = ν +

 2

 ( )

E h h ' mc

= ν − ν +

 

h h '

 ν ν ⇒

cos p cos h h ' cos pc cos

= ϑ + ψ ν − ν ϑ = ψ

 

c c

  h ' sen pc sen

ν ϑ = ψ

h '

ν 

 0 sen p sen

= ϑ − ψ

 c

Quadrando tutte le equazioni e sommando la seconda e la terza otteniamo

( )

2

 2 2 2 2

( ) ( )

h h ' mc 2 h h ' mc E

ν − ν + + ν − ν =

 ( )

2

 2 2 2 2

( ) ( )

  h h ' mc 2 h h ' mc E

ν − ν + + ν − ν =

2 2 2

( ) ( )

⇒ ⇒

h h ' cos pc cos

ν − ν ϑ = ψ

  2 2 2

( ) ( ) ( )



 h h ' cos h ' sen pc

ν − ν ϑ + ν ϑ =

2 2 2

( ) ( )

h ' sen pc sen

ν ϑ = ψ

Riordinando e sottraendo poi la seconda dalla prima

( )

2

 2 2 2 2

( ) ( )

 h h ' 2 h h ' mc E mc

ν − ν + ν − ν = − 2

( ) ( )

⇒ ⇒ 2 h h ' mc 2 h h ' 1 cos 0

ν − ν − ν × ν − ϑ =

 2 2 2

( ) ( ) ( )

 h h ' 2 h h ' cos pc

ν + ν − ν × ν ϑ =

ed infine la relazione cercata

h h ' h h ' h

ν ν ν ν ν

( )

⇒ ⇒

1 cos h '

− = × − ϑ ν = h

2 2 2 2 ν

mc mc mc mc ( )

1 cos

1 + − ϑ

2

mc

Analogamente, facendo il rapporto tra l’equazione di conservazione della qdm lungo la

direzione ŷ e quella lungo , ed introducendo il valore appena trovato del rapporto tra le

energie del fotone prima e dopo l’urto, si trova che i due angoli di allontanamento sono legati

dalla relazione (come esercizio, si provi a derivarla)

 

h

ϑ ν

 

cot 1 tan

= + ψ

 

2

2 m c

 

e

Da quest’ultima relazione si capisce chiaramente che l’elettrone non può essere scatterato che

ad un angolo minore di 90°.

Esempio: che frazione della loro energia perdono, rispettivamente, un fotone da 1 MeV ed

uno da 0.1 MeV quando vengono scatterati a 90°? III-34

Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti del corso di Protezione dalle radiazioni

Applichiamo la formula vista: h ' 1

ν

h 1

.

0 MeV 1 1 0

.

662

ν = − = − =

1

.

0

h

ν ( )

1 1 cos 90

+ − ° 0

.

511

h ' 1

ν

h 0

.

1

MeV 1 1 0

.

165

ν = − = − =

0

.

1

h

ν ( )

1 1 cos 90

+ − ° 0

.

511

+ + + + + +

L’elettrone scatterato è importante per i nostri scopi, perché è lui che deposita l’energia nel

mezzo diffondente, con i meccanismi già visti parlando degli elettroni beta.

La sezione d'urto per lo scattering Compton (riferita al singolo elettrone, supposto libero come

detto) è data dalla formula di , ove r è il raggio classico dell'elettrone

Klein-Nishima e

-13

(2.818×10 cm), e gli angoli e sono sempre quelli definiti nella figura precedente:

ψ ϑ

2 2

 

2 ( )

r

d 1 1 cos

σ ψ − ϑ

 

2

e 1 cos

= + ϑ +

 

( )

2

d 2 1 1 cos

[ ]

( )

Ω + ψ − ϑ

1 1 cos

+ ψ − ϑ  

L’andamento di questa sezione d’urto è riportato in figura III-26 per vari valori dell’energia

del fotone incidente. Integrando questa sezione d’urto su tutte le direzioni si ottiene la

sezione d’urto totale (sempre riferita ad un singolo elettrone) che è mostrata in figura III-27 (è

naturalmente il caso generale, perché è per un elettrone, non dipende quindi dal mezzo

attraversato) Di grande interesse è anche la sezione d'urto di trasferimento d'energia, o sezione

d'urto di assorbimento: quest'ultima è la sezione d'urto totale pesata sulla frazione dell'energia

trasferita all'elettrone. Occorre cioè integrare non la semplice sezione d’urto differenziale

(come si fa per ottenere la sezione d’urto totale) bensì la stessa pesata sulla frazione di energia

trasferita. Otteniamo quindi le due sezioni d’urto per trasferimento di energia rispettivamente

al fotone scatterato ed all’elettrone: quest’ultima spesso chiamata sezione d’urto di

assorbimento Compton: h ' d

ν σ

∫ d

σ = Ω

s 2

h d

ν Ω

4 π h ' d

 

ν σ

∫ 1 d

 

σ = − Ω

a 2

h d

ν Ω

4 π

È chiaro che la somma delle due dà la sezione d’urto totale Compton . Anche le sezioni

σ

c

d’urto e sono riportate in figura III-27

σ σ

s a III-35

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: Sezione d’urto differenziale per lo scattering Compton

Figura III-26 : Sezione d’urto totale e sezioni d’urto per

σ

Figura III-27 c

trasferimento di energia per lo scattering Compton III-36

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Occorre osservare infine che nella materia non vi sono, in genere, elettroni liberi: lo

scattering Compton avviene quindi contro gli elettroni atomici. Nei casi di interesse qui

(raggi gamma o X, quindi molto energetici) l'energia di legame è trascurabile rispetto

all'energia del fotone, e tutto va come se l'elettrone fosse libero. Ogni atomo ha però Z

elettroni, perciò la sezione d'urto per atomo sarà data dalla sezione d'urto per elettrone (quella

mostrata in Fig. V-13) moltiplicata per il numero Z di elettroni per atomo. L’effetto Compton

è il meccanismo di perdita di energia predominante fra 0.5 e 4 MeV, perlomeno per atomi con

Z piccolo o moderato.

Diffusione di Raleigh

Alle basse energie, quando hv è inferiore all’energia di legame, si può avere una particolare

forma di diffusione nella quale il fotone cambia direzione mantenendo però la sua energia

iniziale praticamente inalterata (diffusione coerente o Rayleigh). In questo caso l'atomo

assorbe il momento di rinculo, ma energia in quantità trascurabile in virtù della sua elevata

massa rispetto a quella dell'elettrone. Questo effetto ha una sezione d’urto che dipende da hv e

Z come segue 2 2

. 5

( )

h Z

σ ∝ ν

Si tratta quindi di un effetto che assume rilievo nei materiali pesanti, alle basse energie. Come

detto, è trascurabile dal punto di visto del trasferimento di energia, e assume una qualche

importanza solo per l’attenuazione. Non vi ritorneremo se non brevemente parlando del

Build-up.

Coefficiente di assorbimento totale

La sezione d'urto totale per atomo sarà data dalla somma dei tre effetti considerati:

Z

σ = σ + σ + σ

ph c cop

Questa è mostrata in figura III-28 per il caso del piombo. Moltiplicando per il numero N di

σ

atomi per unità di volume otteniamo, come sappiamo, la probabilità di interazione (quindi, nel

nostro caso, di rimozione del fotone) per unità di percorso, detta anche coefficiente di

, µ:

assorbimento totale N

ρ A

N

µ = σ = σ

A III-37

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23

ove è il numero di Avogadro (pari a 6,0220×10 ), la densità del materiale ed A il suo

N ρ

A

peso molecolare. La frazione dei fotoni che arriva ad una distanza x è dato da

( )

I x ( )

exp x

= − µ

I 0

ove I è l'intensità del fascio incidente e I(x) l'intensità residua alla distanza x.

o : Sezione d’urto totale per il piombo

σ

Figura III-27 c

Ora possiamo dare una spiegazione di quella che abbiamo chiamato la prima grande

differenza di comportamento macroscopico dei fotoni rispetto alle particelle cariche. Tutti e

tre i fenomeni principali sopra considerati quando si verificano rimuovono totalmente il

fotone dal fascio, o assorbendolo (effetto fotoelettrico, creazione di coppie) o deviandolo

(scattering Compton): mentre le particelle cariche venivano con interazioni

rallentate III-38

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successive, i fotoni vengono in una singole interazione. Se anziché le singole

rimossi

particelle consideriamo un fascio, vediamo che mentre per le particelle cariche il fascio

veniva rallentato (quasi-)uniformemente, finché veniva fermato (quasi-)tutto assieme (a meno

dello straggling), per i fotoni il fascio viene ridotto rimuovendo un po’ di fotoni alla volta

man mano che procede entro il mezzo: ma i fotoni che rimangono continuano ad avere la

.

stessa energia che avevano all'inizio e proseguono il loro cammino

Poiché ci è ormai familiare lo spessore di massa, pari a dobbiamo definire anche un

ρx,

coefficiente di assorbimento di massa µ

m

( )  

I x µ ( )

exp x exp x

 

= − ρ = − µ m m

 

I ρ

0

da cui = Naturalmente per i composti e le miscele vale la regola di Bragg:

µ µ/ρ.

m  

µ µ

∑ w  

= i  

ρ ρ i

cioè (un ulteriore vantaggio nell'usare coefficienti e spessori di massa)

∑ ( )

w

µ = µ

m i m i

Il coefficiente di assorbimento è anche l'inverso del libero cammino medio del fotone nel

λ

materiale considerato, cioè: 1

λ = µ

Peraltro, nella progettazione degli schermaggi si farà spesso riferimento allo spessore di

dimezzamento, o spessore emivalente - , vale a dire uno spessore tale da dimezzare

SEV

l’intensità del fascio. Dall’espressione dell’intensità in funzione dello spessore otteniamo:

( )

I SEV 1

( )

exp SEV

= − µ × =

I 2

0

da cui si trova coi soliti passaggi (mettendo anche in evidenza che, per un dato materiale, sia

SEV che dipendono dall’energia dei fotoni):

µ ln 2

( )

SEV E ln 2

= = λ

( )

E

µ III-39

Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti del corso di Protezione dalle radiazioni

In modo del tutto analogo definiamo lo spessore decivalente - , cioè quello spessore del

SDV

materiale dato tale da ridurre l’intensità del fascio di un fattore 10.

Procedendo analogamente a poc’anzi si trova subito

ln 10 ln 10

( )

SEV E ln 10 SEV

= = λ =

( )

E ln 2

µ

In figura III-28 si possono vedere le varie grandezze descritte, presentate graficamente.

: Attenuazione in CLS ordinario ed in Pb per fotoni emessi

Figura III-28 137

da Cs (0.622 MeV), in condizioni di Buona Geometria.

Sono indicati SEV, SDV e libero cammino medio - lcm

In tabella III-3 sono riportati come esempio gli spessori emivalenti in acqua per varie energie

dei fotoni Tabella III-3: Spessori emivalenti in

acqua, in buona geometria, per fasci

monocromatici

E [MeV] SEV [cm]

0.1 4

0.5 7

1.0 10

3.0 18

III-3_3. Trasferimento di energia al mezzo assorbitore

Fin qui abbiamo visto il coefficiente di attenuazione. Le sezioni d’urto che contribuiscono a

formarlo danno, come abbiamo visto, la probabilità che un fotone venga rimosso dal fascio in

III-40


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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Protezione dalle radiazioni del Prof. Domiziano Mostacci, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: interazioni delle radiazioni con la materia; grandezze di campo; radiazioni direttamente ionizzanti; particelle pesanti; gli elettroni; lo scattering multiplo; Straggling energetico; i fotoni; Effetto Compton; diffusione di Raleigh.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Protezione dalla radiazioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Mostacci Domiziano.

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