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Metodi generali per lo studio di una quadrica

Per studiare una quadrica possiamo studiare:

le intersezioni della quadrica con famiglie di

a) piani, in particolare con i piani paralleli ai piani

coordinati;

le eventuali simmetrie della quadrica rispetto

b) ai piani coordinati, agli assi coordinati e

rispetto all’origine.

Simmetrie

Ricordiamo che una figura L si dice simmetrica rispetto

ad un piano coordinato (rispettivamente: rispetto ad un

asse, rispetto all’origine) se tutte le volte che un punto P

appartiene alla figura L, anche il simmetrico di P rispetto

al piano coordinato (rispettivamente: rispetto ad un asse,

rispetto all’origine) appartiene ad L. Una figura simmetrica

rispetto a tutti e tre i piani coordinati è anche simmetrica

rispetto agli assi coordinati e all’origine.

Ellissoide

Ha equazione canonica

2

2 2

y

x z

+ + = > > >

1 con a 0

, b 0

, c 0

.

2 2 2

a b c

Risulta che l’ellissoide è simmetrico rispetto ai tre piani

coordinati, ai tre assi coordinati e all’origine, perché x,y, z

compaiono solo al quadrato; per ogni punto dell’ellissoide

risulta: 2

2 2

y

x z

≤ ≤ ≤

1

, 1

, 1

2 2 2

a b c

e quindi l’ellissoide è contenuto nel parallelepipedo

definito dai piani = ± = ± = ±

x a , y b , z c

.

Intersezione dell’ellissoide con piani paralleli

ai piani coordinati

L’intersezione dell’ellissoide con i piani del tipo: z=k è

data da: =

 z k

 2

2 2

 y

x k

+ = −

1

 2 2 2

 a b c

e quindi è un’ellisse se –c<k<c, un punto se k=±c,

mentre per k<-c e k>c non ci sono punti di intersezione.

Quando –c<k<c l’equazione dell’ellisse precedente si può

scrivere: =

 z k

 2

2 y

x

 + =

1

    

2 2

k k

    

2 2

− −

a 1 b 1

   

 2 2

c c

   

 2 2

k k

− − =

ed ha semiassi a 1 , b 1 di valore massimo per k 0

.

2 2

c c

Ellissoide

Analoga situazione si trova intersecando l’ellissoide con i

piani paralleli agli altri piani coordinati.

±b,0), ±c)

I punti (±a,0,0), (0, (0,0, si dicono vertici

dell’ellissoide; a,b,c si chiamano semiassi e O(0,0,0) si

chiama centro. Se a=b=c si ha la sfera di raggio a; se

sono uguali due dei tre semiassi (ad esempio a=b),

l’ellissoide si può ottenere facendo ruotare un’ellisse

attorno ad uno dei suoi assi di simmetria .

Iperboloide ad una falda

Ha equazione canonica 2

2 2

y

x z

+ − = > > >

1 con a 0

, b 0

, c 0 .

2 2 2

a b c

Tale superficie è simmetrica rispetto ai piani coordinati,

agli assi coordinati, all’origine. I piani z=k intersecano

l’iperboloide nell’ellisse di equazioni: =

 z k

 2

2 y

x

 + =

1

    

2 2

k k

    

2 2

+ +

a 1 b 1

   

 2 2

c c

   

 2 2

k k

+ +

ed ha semiassi a 1 , b 1

2 2

c c

che crescono al crescere del valore assoluto di k e hanno

valore minimo per k=0.

Iperboloide ad una falda

I piani x=k e y=k intersecano l’iperboloide ad una falda in

iperboli per ogni valore di k reale. Il punto O(0,0,0) si

chiama centro dell’iperboloide ad una falda, a, b,c si

chiamano semiassi. Se a=b, la quadrica è di rotazione

attorno all’asse z, e si può ottenere ad esempio facendo

ruotare intorno all’asse z l’iperbole =

 x 0

 .

2 2

 y z

− = 1

 2 2

 b c

L’iperboloide a due falde

Ha equazione canonica

2

2 2

y

x z

− − = > > >

1 con a 0

, b 0

, c 0 .

2 2 2

a b c

È una superficie simmetrica rispetto ai piani coordinati,

agli assi coordinati e all’origine. Per ogni punto (x,y,z) di

questa superficie risulta: 2

2 2

y

x z

= + +

1

2 2 2

a b c

2

x ≥ 1

.

e quindi 2

a

I punti dell’iperboloide sono tutti esterni alla regione di

spazio compresa tra i due piani paralleli x=a e x=-a.

Iperboloide a due falde

I piani x=k con >

k a

Tagliano l’iperboloide nelle ellissi di equazioni

=

 x k

 2 2

y z

 + = 1

    

2 2

k k

    

2 2

+ +

b 1 c 1

   

 2 2

a a

   

i cui semiassi crescono al crescere del valore assoluto di

k.


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Quadriche. Classificazione delle quadriche. Metodi generali per lo studio di una quadrica. Simmetrie. Ellissoide. Intersezione dell’ellissoide con piani paralleli ai piani coordinati. Iperboloide ad una falda. L’iperboloide a due falde. Paraboloide ellittico. Paraboloide iperbolico o a sella. Paraboloide iperbolico. Intersezioni con i piani. Quadriche traslate. Piano tangente ad una quadrica in un suo punto.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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