Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo IV – Algebra delle matrici

1.10 Proprietà della traccia

Riprendiamo ora l'operatore traccia definito dalla (1.7.4) ed indichiamone alcune

utili proprietà.

La traccia di dove è una matrice di ordine è uguale alla somma dei

BB′ B n×m

quadrati di tutti gli elementi di , come immediatamente si verifica. Se è una

B B

matrice di ordine e di ordine , vale la seguente proprietà

m×n C n×m

m n n m

∑ ∑ ∑ ∑

= = = (1.10.1)

tr (

BC

) b c c b tr (

CB )

ij ji ji ij

= = = =

i 1 j 1 j 1 i 1

facilmente generalizzabile al caso di tre o più matrici, e dalla quale si trae il

seguente risultato, considerando che gli operatori valor medio e traccia sono

E tr

~

intercambiabili : dati un vettore di variabili aleatorie per il quale

5 n u

~ ~ ~

= = σ e una matrice quadrata , di ordine , costituita da

2

Cov ( u ) E (

u u ) I M n

costanti, allora è

′ ′ ′ ′

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

= = = = σ = σ (1.10.2)

2 2

E (

u M

u ) E [

tr (

u M

u )] E

[ tr

( u u M

)] tr

[ E ( u u M

)] tr

( M

) tr

M ′

~ ~

dove nel primo passaggio è stato considerato che la forma quadratica è uno

u M

u

scalare, uguale quindi alla sua traccia, e nell'ultimo che, dato il fattore ,

a

tr(aM)=a⋅trM ≠

  

m m 0 i j

~ ~

= ⋅ =

Esempio 1.16 - Se e per , si

11 12 

 

M E (

u u ) i,j=1,2

σ =

i j 2

  

m m i j

21 22

ha ~ ~

   

     

m m u u

[ ] [ ]

~ ~ ~ ~ ~ ~

= + + =

   

11 12 1 1

     

E u u E u m u m , u m u m

~ ~

1 2 1 11 2 21 1 12 2 22

  

   

m m u u

21 22 2 2

( )

~ ~ ~ ~ ~ ~

= + + + =

2 2

E u m u u m u u m u m

1 11 2 1 21 1 2 12 2 22

( )

= σ + = σ

2 2

m m tr

M

11 22

dove è esemplificato il fatto che una forma quadratica è uno scalare.

Si verifica facilmente che per la traccia vale la proprietà additiva, cioè, con e

A

matrici quadrate dello stesso ordine,

B (1.10.3)

tr(A+B)=trA+trB

Nel modulo II utilizziamo il seguente

Il valor medio della somma degli elementi aleatori diagonali di una matrice quadrata è

5

uguale alla somma dei valori medi di tali elementi. 1-29


PAGINE

2

PESO

20.53 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta la proprietà della traccia, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: proprietà operatore traccia, matrice di ordine n´m, proprietà additiva della traccia, valor medio della somma degli elementi aleatori diagonali.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Algebra delle matrici

Autovalori ed autovettori
Dispensa
Matrici
Dispensa
Forme quadratiche
Dispensa
Distribuzione forme quadratiche aleatorie
Dispensa