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Lezione 7

Definizione a tratti

Definizione R R

−→ −→ ∩ ∅;

: : =

Siano f A e f A tale che A A la funzione

1 1 2 2 1 2

R

∪ −→

:

f A A definita

1 2 ∈

(x),

f se x A

1 1

(x) =

f ∈

(x),

f se x A

2 2

si dice funzione definita a tratti.

Esempio. Una funzione definita a tratti è

 −x, ∈ −1]

(−∞,

se x

 2 ∈

(x) = (−1,

f x se x 0)

,

x ∈ [0, +∞)

2 se x

,

 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 7 4 / 20

Lezione 7

Successioni

Definizione R N

−→ ⊂

:

Una successione è una funzione f A dove il dominio A è

N). (n)

un sottoinsieme illimitato (solitamente tutto L’immagine f si

scrive a .

n

Esempio. Alcune successioni classiche

{a }

La successione si dice geometrica se il rapporto tra un

n

elemento ed il precedente risulta costante cioè

a n ∀n ≥

= q, 1.

a n−1

=

Se il primo elemento a a allora si dimostra facilmente che

0

n

·

=

a a q .

n dsm

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Lezione 7

Successioni {a }

La successione si dice aritmetica se la differenza tra un

n

elemento ed il precedente risulta costante cioè

− ∀n ≥

=

a a q, 1.

n n−1

=

Se il primo elemento a a allora si dimostra facilmente che

0

= +

a a nq.

n {a }

La successione si dice di Fibonacci se il primo elemento è

n

= =

a 0, il secondo è a 1 ed ogni altro elemento a è uguale alla

n

0 1

somma dei due precedenti. Quindi i primi 12 elementi della

successione di Fibonacci sono

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .}. dsm

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Lezione 7

Introduzione

Il calcolo infinitesimale. Per ricavare informazioni “globali” (più difficili)

su una funzione partiamo da informazioni “locali” (meno difficili) su di

essa. Poi usiamo le informazioni locali per dedurre quelle globali.

Innanzitutto dobbiamo precisare il concetto di informazioni “locali”. In

R

∈ −∞)

+∞

sostanza si fissa un punto x (eventualmente o e ci si

0

chiede cosa succede alla funzione “vicino” a x : è iniettiva? Limitata?

0

Crescente oppure decrescente? Convessa oppure concava? dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 7 7 / 20

Lezione 7

Introduzione

Lo strumento principale del calcolo infinitesimale è il limite.

R R

−→ ⊂

:

L’idea è la seguente. Data una funzione f A con A e

R

∈ (x)

fissato x ci si chiede cosa succede ai valori f quando x si

0

avvicina a x : si avvicinano a qualche valore oppure no? L’operazione

0

di limite si descriverà nella seguente maniera:

(x) =?

f

lim

x→x

0 dsm

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Lezione 7

Introduzione

Partiamo con degli esempi.

Esempio. Consideriamo le seguenti operazioni:

R

La parte intera superiore di x è

Z

⌈x⌉ ∈ ≤

= :

inf{n x n}

Rappresenta l’approssimazione superiore di un numero x con un

numero intero. R

La parte intera inferiore di x è Z

⌊x⌋ ∈ ≤

= :

sup{n n x}

Rappresenta l’approssimazione inferiore di un numero x con un

numero intero. dsm

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Lezione 7

Introduzione

Proviamo a calcolare i seguenti limiti: ∄

⌈x⌉

⌊x⌋ =

=

lim e lim

2

7 x→3

x→ 3

Osserviamo che invece esistono

⌈x⌉ ⌈x⌉

= =

lim 3 e lim 4

+

x→3

x→3 −

che prenderanno il nome di limite sinistro e limite destro

rispettivamente. 73 ⌋ ⌈3⌉

⌊ = =

2 e 3.

Osservate che dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 7 10 / 20

Lezione 7

Introduzione

Importante limite: − ⌊x⌋)

(⌈x⌉ =

lim 1

x→3

⌈3⌉ − ⌊3⌋ =

Tuttavia 0!

Osservazione fondamentale

Calcolare il limite di una funzione in un punto x è assolutamente

0

diverso da calcolare il valore della funzione f in tale punto! Sono due

operazioni diverse ed una complementare dell’altra! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 7 11 / 20

Lezione 7

Introduzione

Esempio. Possiamo calcolare il limite di una funzione in qualsiasi

punto? Proviamo a calcolare i seguenti limiti:

p ∄

3 2

− =

lim x x

x→0

Infatti il CE della funzione è determinato da

3 2

− ≥ ⇔ ∈ {0} ∪ [1, +∞)

x x 0 x

=

Quindi x 0 appartiene a CE ma è un punto isolato!

0 2 −

x x 1

=

lim 2 − 2

x 1

x→1 R \ {1},

= =

sebbene x 1 non appartenga al CE i punti vicini a x ci

0 0

appartengono! dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Proprietà algebriche delle funzioni:
- somma, prodotto, quoziente;
- funzione composta;
- funzioni definite a tratti.
Definizione di successione. Introduzione all'analisi infinitesimale: il concetto di limite. Definizione di limite convergente e di limite divergente in un intorno di un punto finito.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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