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F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo II – Minimi quadrati

5 LA PROIEZIONE ED I RESIDUI RICORSIVI

Indice del capitolo

5.1 La proiezione dei minimi quadrati ........................................................................2

L’errore di proiezione ......................................................................................3

L’errore quadratico medio di proiezione ..........................................................3

Proiezione ex ante ed ex post............................................................................4

Indicatori dell’accuratezza delle proiezioni......................................................8

5.2 Intervalli di confidenza per le proiezioni............................................................. 11

5.3 Il caso di variabili esplicative non note nel periodo di proiezione......................... 15

L’errore quadratico di proiezione nel caso di x non noto............................. 15

n h

+

Il teorema di Cebiscev ................................................................................... 16

5.4 I residui ricorsivi ................................................................................................ 18

Due formule per il calcolo ricorsivo ............................................................... 19

La devianza residua ricorsiva....................................................................... 20

Minimi quadrati ricorsivi e diagnostica del modello...................................... 21

≤k

5.5 Due test di cambiamento strutturale nel caso n ............................................. 27

2

Il test del Chow basato sulle proiezioni.......................................................... 28

Il test preliminare di uguaglianza delle varianze .......................................... 30

Applicazioni alla funzione delle importazioni................................................ 30

5.6 Verifica della stabilità dei parametri .................................................................. 33

I test CUSUM e CUSUMSQ.......................................................................... 35

5.7 L’impiego delle variabili di comodo nella proiezione............................................ 38

L’errore quadratico medio di proiezione e l’intervallo di confidenza della

proiezione ..................................................................................................... 38

Il test di significatività dell’errore di proiezione............................................. 40

Un’interpretazione alternativa del test del Chow ........................................... 41

Un’applicazione: effettuiamo il test del Chow con EasyReg ............................ 42

5.8 Bibliografia ........................................................................................................ 46

Il paragrafo 5.7 e le applicazioni sono state redatte da Alberto Bagnai.

08/12/02; 16.02 II edizione

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.1 La proiezione dei minimi quadrati

Consideriamo nuovamente il modello lineare multiplo (1.3.4)

= β + β + + β + (5.1.1)

y x x … x u

t 1 1t 2 2t k kt t

e poniamoci il problema di proiettare fuori del campione che percorre il tempo

y

t

= =

. In altre parole, vogliamo determinare , per , dove

t 1, 2, …, n y h 1, 2,…, m

n+h

l’intervallo temporale è detto periodo di proiezione. Se utilizziamo

n+1, n+2,…, n+m

il modello (5.1.1), stimato nel periodo campionario, per proiettare occorre

y

t

supporre che la struttura economica, già ipotizzata sostanzialmente invariante nel

campione, rimanga la stessa nei due periodi, rendendo così possibile l’utilizzazione

della stima dei minimi quadrati nella proiezione di . Se inoltre supponiamo di

y

t =

conoscere i valori futuri delle variabili esplicative per , e di far valere

h 1, 2, …, m

anche per il futuro le ipotesi deboli per i residui

σ = +

2 s n h

~ ~

~ = ⋅ =

, (5.1.2)

E (

u ) 0 E (

u u )

+ + ≠ + = +

n h n h s  s n h

; s 1

, 2 , ..., n m

0

per ogni , per cui risulta “naturale” prendere come proiezioni dei residui il loro

h

valor medio, che è nullo, la proiezione al tempo è

ˆ

y n+h

+

n h (5.1.3)

= β + β + + β

ˆ ˆ ˆ

ˆ

y x x ... x

+ + + +

n h 1 1 n h 2 2 n h k k n h

In effetti non è tanto la proiezione di quanto della sua componente

ˆ

y y

t

+

n h

sistematica, poiché la proiezione di è stata posta arbitrariamente uguale a zero.

u t

Questa procedura, tuttavia, può essere giustificata in senso probabilistico se si

considera, come ad esempio fatto dal de Finetti [1970] in ambito soggettivista, la

proiezione di una variabile aleatoria come suo valor medio; in questo caso si ha

~

= = β + β + + β

ˆ

y E ( y ) x x ... x

+ + + + +

n h n h 1 1 n h 2 2 n h k k n h

β

e i parametri , sconosciuti, devono essere sostituiti da stime.

i

La proiezione (5.1.3) considerata come una variabile aleatoria funzione degli

β̂

stimatori diventa un proiettore della parte sistematica del modello, che è BLU se

i

si utilizza il criterio di stima degli OLS: infatti è lineare rispetto alle poiché

y

t

lineari sono gli stimatori OLS; è non distorto

= β + β + + β = β + β + + β

ˆ ˆ ˆ

ˆ

E ( y ) E ( x x ... x ) x x ... x

+ + + + + + +

n h 1 1 n h 2 2 n h k k n h 1 1 n h 2 2 n h k k n h

ed ottimo ~ ~ ~

= β + β + + β ≤ + + +

ˆ ˆ ˆ

ˆ

Var ( y ) Var ( x x ... x ) Var (

b x b x ... b x )

+ + + + + + +

n h 1 1 n h 2 2 n h k k n h 1 1 n h 2 2 n h k k n h

~ ~

dove sono stimatori qualsiasi nella classe dei lineari e non distorti, in

b ,..., b

1 k =

quanto vale la (1.8.2) se si prendono le costanti pari a , .

c x i 1, 2, …, k

i i,n+h 5-2

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

L’errore di proiezione

Rimarchiamo il fatto che, a meno di non accettare l’impostazione del de Finetti, il

proiettore (5.1.3) non è uno stimatore non distorto di definito dalla (5.1.1),

y

n+h

mentre lo è della sua componente sistematica. Esso, tuttavia, può essere

considerato non distorto in un altro senso, che illustriamo facendo ricorso all’errore

di proiezione definito nella maniera seguente

k

= − = β − β +

ˆ (5.1.4)

e y y

ˆ ( ) x u

+ + + + +

n h n h n h i i i n h n h

=

i 1

Poiché il valor medio dell’errore (5.1.4) è nullo

k

~ ~

= β − β + =

ˆ (5.1.5)

E (

e ) E ( ) x E (

u ) 0

+ + +

n h i i in h n h

=

i 1

il proiettore può essere considerato come uno stimatore non distorto di nel

ˆ

y y

n+h

+

n h

senso che il valor medio dell’errore di proiezione è nullo. In questo caso si dice che

è un proiettore incondizionatamente non distorto.

ˆ

y +

n h

L’errore quadratico medio di proiezione

La varianza dell’errore di proiezione è facilmente trovata in termini matriciali

~ ~ ~

= = β − β + =

ˆ

2

Var ( e ) E ( e ) Var [ x ( )] Var ( u )

+ + + + (5.1.6)

n h n h n h n h

′ ′ ′

= β − β + σ = σ + −

ˆ 2 2 1

x Cov ( ) x [

1 x ( X X

) x ]

+ + + +

n h n h n h n h ~

dove nel secondo passaggio sono stati utilizzati la (5.1.4) ed il fatto che è

u +

n h

incorrelato per la (5.1.2) con tutti i residui del periodo campionario e quindi con gli

β̂

stimatori ; nel terzo passaggio è stata operata la (1.8.1) e nel quarto, infine, la

i

(1.6.18). La varianza (5.1.6) è detta errore quadratico medio di proiezione ed è

1

spesso considerata come un indicatore della precisione della proiezione. Tanto più

piccolo è questo errore tanto più precisa è la proiezione, per cui il proiettore (5.1.3)

gode di una grande rilevanza valendo il seguente

Teorema 5.1 - Nella classe dei proiettori lineari (rispetto alle ) ed

y

t

β̂ =

incondizionatamente non distorti, se i , , sono gli stimatori dei

i 1, 2, …, k

i

minimi quadrati ordinari il proiettore (5.1.3) è quello che possiede errore quadratico

medio minimo.

Infatti, utilizzando l’algebra delle matrici, ogni altro proiettore lineare nelle è

y

t

del tipo

In lingua inglese: Mean Square Error (MSE) of prediction.

1 5-3

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

′ ′ ′ ′

= +

− (5.1.7)

1

y [ x ( X X ) X d ]

y

+ +

n h n h

dove è un vettore di costanti arbitrarie di dimensione . Il suo errore di

d n

proiezione è

− = ′ β + − ′ ′ ′ + ′ β + =

− 1

y y x u [ x ( X X ) X d ]( X u )

+ + + + +

n h n h n h n h n h

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= β − + β − + + =

− −

1 1

x [ x ( X X

) X d ] X [

x ( X X ) X d ]

u u

+ + + +

n h n h n h n h

′ ′ ′ ′ ′

= − β − +

1

u d X [

x ( X X ) X d ]

u

+ +

n h n h β

che deve essere nullo, per ogni , sotto l’operatore valor medio affinché sia

y +

n h

incondizionatamente non distorto. Occorre, quindi, che sia

= (5.1.8)

d′X 0

L’errore quadratico medio del proiettore (5.1.7) è dunque

{ }

~ ~ ~

− = + ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ =

− −

2 1 1

E [( y y ) ] Var (

u ) E [

x ( X X ) X d ]

u u [

d X ( X X ) x ]

+ + + + +

n h n h n h n h n h

′ ′ ′ ′ ′ (5.1.9)

= σ + σ + σ + =

− −

2 2 2 1 1

d d [ x ( X X ) x 2 d X ( X X ) x ]

+ + +

n h n h n h

′ ~

= σ +

2 d d Var (

e )

+

n h ′ ′ ′

dove sono utilizzati la (5.1.6), la (5.1.8) ed il fatto che lo scalare è

1

x ( X X

) X d

+

n h

uguale al suo trasposto; inizialmente, d’altro canto, si è fatto uso della non

~ ~

correlazione (5.1.2) tra e ciascun elemento del vettore associato ai tempi da

u u

+

n h

ad .

1 n

La (5.1.9) è minima se , cioè se il proiettore è quello definito dalla (5.1.3). La

d=0

tesi è così dimostrata.

Proiezione ex ante ed ex post

Nelle pagine precedenti abbiamo considerato un periodo di proiezione esteso fuori

del campione da a su un intervallo temporale nel quale i valori della

n+1 n+m

variabile dipendente non sono ancora noti. Una proiezione di questo tipo viene

detta proiezione ex ante, ad indicare appunto che essa viene effettuata prima di

conoscere i valori storici della variabili proiettata. Si definisce invece proiezione ex

post la proiezione effettuata all’interno del campione, cioè riferita a un intervallo

temporale nel quale i valori storici della variabile dipendente sono disponibili (il

termine ex post allude appunto al fatto che la proiezione viene effettuata dopo che i

valori della dipendente sono stati rilevati). In quest’ultimo caso il campione di n

osservazioni viene scisso in due sottocampioni, in modo analogo a quanto viene

fatto quando si imposta un test di cambiamento di struttura (si veda il par. 3.4). Il

primo campione consta di osservazioni e su esso si effettua la stima del modello,

n 1

mentre il secondo (campione di proiezione ex post) consta di osservazioni. La

n 2

proiezione viene quindi calcolata sulle osservazioni da a .

n n +1 n +n = n

2 1 1 2 5-4

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

La proiezione ex post è effettuata sul passato, anziché sul futuro, della

variabile, e quindi non ha una rilevanza operativa, ma ha una grande importanza

in termini diagnostici. Infatti solo ex post è possibile misurare gli errori di

proiezione del modello (errori che ex ante sono variabili aleatorie) e quindi valutare

l’accuratezza della proiezione stessa. In termini intuitivi, si può affermare che se

un’equazione non prevede bene il passato della variabile dipendente, generalmente

le sue previsioni saranno poco accurate anche riguardo al futuro. La precisione

della proiezione ex post è quindi una condizione necessaria, ma non sufficiente,

perché si possa prestare fiducia al modello quando lo si impiega nella proiezione ex

ante.

Per esemplificare i concetti esposti finora riprendiamo la funzione delle

importazioni (3.3.29) e utilizziamola per effettuare una proiezione ex post. Il

campione disponibile, lo ricordiamo, consta di dati trimestrali dal 1970 al 1989 per

un totale di osservazioni. Nel paragrafo 3.5 questa equazione è stata

n = 80

sottoposta a test di cambiamento di struttura considerando due sottocampioni

rispettivamente di e osservazioni (l’osservazione esima

n = 25 n = 55 n -

1 2 1

corrisponde al primo trimestre del 1976) , ottenendo la statistica riportata

F 8,63

nella (3.5.12), che risultava significativa, evidenziando la presenza di problemi di

cambiamento di struttura.

Valori storici e proiezione ex post

11.0

10.5

10.0

9.5

9.0

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

LNM Forecast

Figura 5.1 – I valori storici del logaritmo delle importazioni e quelli proiettati mediante la

(5.1.8).

La probabile presenza di un cambiamento di struttura segnala che la proiezione

ex post effettuata sul sottocampione da 1976:2 a 1989:4 potrà essere accurata. Per

costruire la proiezione applichiamo la (5.1.3) all’equazione (3.5.11), tenendo

presente che i coefficienti stimati sul primo sottoperiodo corrispondono a quelli

5-5

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

delle variabili esplicative non “spezzate”, cioè non moltiplicate per la variabile di

comodo , che serve appunto a rappresentare l’eventuale spostamento (shift) dei

d t

parametri fra il primo e il secondo sottoperiodo. In altri termini, la formula

utilizzata per il calcolo delle proiezioni è

=

ˆ −

ln y -10.94 + 0.92 ln x + 0.99 ln x 0.28 ln x +

+

n h + + + (5.1.10)

1 1 ,

n h 2 ,

n h 3 , n h

1 1 1

+ 0.22 ln x + 0.10 d + 0.06 d + 0.03 d

+ + + +

4 ,

n h 1

, n h 2 ,

n h 3 , n h

1 1 1 1

dove, come abbiamo specificato, (corrispondente al primo trimestre del

n = 25

1

1976) e , con . Si noti che abbiamo omesso la variabile di comodo

h = 1, …, n n = 55

2 2

puntuale poiché essa nel periodo di proiezione vale sempre zero.

d 73,t

Utilizzando la (5.1.10) e i valori delle esplicative nel secondo sottoperiodo si

costruisce la proiezione ex post rappresentata nella figura 5.1. Come è lecito

attendersi, data la presenza accertata di un cambiamento di struttura, la

proiezione ex post è sistematicamente distorta. In particolare, il modello sovrastima

sistematicamente l’andamento delle importazioni nel secondo sottoperiodo, cioè

l’errore di proiezione è costantemente negativo. Da questo punto di vista quindi il

grafico 5.1 non fa che confermare il risultato (3.5.12). La conseguenza operativa di

questo risultato è che per ottenere un modello da utilizzare a scopo di previsione ex

ante dovremo quanto meno stimare il modello eliminando le osservazioni

antecedenti al cambiamento di struttura. I parametri stimati sull’intero campione

sono infatti una mistura dei parametri corrispondenti al primo e al secondo regime,

e quindi forniscono proiezioni distorte.

2

Proviamo quindi a costruire un modello previsionale omettendo le osservazioni

relative agli anni ’70: la prima osservazione corrisponde quindi al primo trimestre

del 1980; omettiamo inoltre le ultime otto osservazioni, corrispondenti all’ultimo

biennio del campione, per costruire con esse la proiezione ex post. Abbiamo quindi

(corrispondente a 1987:4) e . La stima della (3.3.29) sul primo

n = 32 n = 8

1 2

sottocampione fornisce questi risultati

=

ln ŷ -13.82 + 1.15 lnx + 1.024 lnx + 0.007 lnx - 0.123 lnx +

t 1t 2t 3t 4t

(-6.8) (5.4) (13.6) (0.17) (-2.2) (5.1.11)

+ 0.036 d - 0.023 d 0.013 d

1t 2t 3t

(3.0) (-2.4) (-1.0)

= =

2

n = 32, R = 0.986, RSS 0.0039, SEE 0.012, JB = 0.67, BP = 7.3

c

In questo ragionamento sono implicite le ipotesi che il cambiamento di struttura sia unico

2

e sia stato correttamente individuato, e inoltre che il secondo regime si mantenga anche al

di fuori del campione di stima. L’ultima ipotesi 5-6

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

dove gli indicatori diagnostici hanno il consueto significato e inoltre è la

BP

statistica del test di omoschedasticità di Breusch e Pagan [1979] condotto

utilizzando una regressione ausiliaria analoga alla (4.3.14). Le stime non sono

particolarmente soddisfacenti, né sotto il profilo dell’interpretazione economica (le

variabili di prezzo hanno segno contrario a quello atteso e il deflatore delle

importazioni non è significativo), né sotto il profilo statistico (la statistica di

χ

Breusch e Pagan si distribuisce come un , con un valore soglia al 5% pari a 3.84,

2

1

quindi l’ipotesi di omoschedasticità dei residui è respinta).

Valori storici e proiettati

10.6

10.5

10.4

10.3

10.2

10.1

10.0

1984Q1 1985Q2 1986Q3 1987Q4 1989Q1

Trimestri

LNM Forecast

Figura 5.2 – I valori storici del logaritmo delle importazioni e quelli proiettati con la (5.1.9)-

L’emergere di problemi simili nella stima su un sottocampione evidenzia la

necessità di una rispecificazione del modello. Anche in questo caso ci aspettiamo

quindi che la proiezione ex post non sarà particolarmente accurata. I risultati

relativi sono riportati in dettaglio nella tavola 5.1 e nella figura 5.2.

storici proiettati errore

1988Q1 10.3132 10.3649 -0.0517

1988Q2 10.3661 10.3993 -0.0332

1988Q3 10.2915 10.3134 -0.0219

1988Q4 10.4462 10.4624 -0.0162

1989Q1 10.4544 10.4870 -0.0326

1989Q2 10.4840 10.5007 -0.0167

1989Q3 10.3607 10.3757 -0.0149

1989Q4 10.4860 10.5611 -0.0751

Tavola 5.1 – I valori storici del logaritmo delle importazione e quelli proiettati con la (5.1.9).

5-7

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Anche in questo caso le proiezioni sono sistematicamente distorte verso l’alto, se

pure in misura minore rispetto a quanto riscontrato nel precedente esperimento di

proiezione. Si noti che siccome le variabili sono espresse in logaritmi, l’errore di

proiezione ha dimensione percentuale. Ad esempio, nel primo trimestre del

campione di proiezione ex post la proiezione sovrastima il valore storico in misura

pari al 5.17%.

Dal punto di vista operativo questi risultati lasciano intuire che il fallimento del

modello sotto il profilo dell’accuratezza delle previsioni non può essere

semplicemente ricondotto all’esistenza di un singolo cambiamento di struttura nel

1976.

Indicatori dell’accuratezza delle proiezioni

Al fine di misurare l’accuratezza delle proiezioni vengono costruiti alcuni indicatori

che fanno uso dell’insieme degli errori di previsione (5.1.4) considerati in tutto il

periodo di proiezione. Naturalmente questi indicatori possono essere costruiti solo

ex post, cioè solo una volta che sia disponibile il valore storico della variabile

dipendente da confrontare con quello proiettato. I cinque comunemente più usati

sono l’errore medio n

1 ∑

2

= (5.1.12)

ME e +

n h

n 1

=

h 1

2

che è nella sostanza la media aritmetica degli errori; l’errore medio assoluto

n 1

n

1 ∑

2

= (5.1.13)

MAE e +

n h

n 1

=

h 1

2

che è la media aritmetica degli errori presi in valore assoluto (in modo da

considerarli simmetricamente, sia i positivi che i negativi, mentre nell’ gli uni si

ME

elidono con gli altri); l’errore quadratico medio

n

1 ∑

2

= 2 (5.1.14)

MSE e +

n h

n 1

=

h 1

2

che è la stima campionaria dell’errore quadratico medio di proiezione (5.1.6) e che

spesso è considerato sotto radice quadrata aritmetica dando luogo alla radice

dell ’errore quadratico medio = 1/2 (5.1.15)

RMSE MSE 5-8

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

in modo da ottenere un indice della stessa dimensione dell’errore; ed infine il

coefficiente di disuguaglianza di Theil 3 1 / 2

 

n

2

 

2

e

 

+

n h

 

1

=

= h 1 (5.1.16)

U 1 / 2 1 / 2

   

n n

∑ ∑

2 2

   

+

2 2

ˆ

y y

   

+ +

n h n h

   

1 1

= =

h 1 h 1

che vale zero quando tutti gli errori di proiezione sono nulli e tende ad uno man

mano che l’accuratezza delle proiezioni peggiora.

Spesso è utile valutare alcuni degli indicatori precedenti in termini percentuali

rispetto ad al fine di disporre di una misura di errore indipendentemente

y +

n h

1

dalla dimensione della variabile che si proietta: sostituendo nelle (5.1.13) e (5.1.14)

/

al posto degli errori i rapporti si ottengono l’errore medio assoluto

e e y

+ + +

n h n h n h

1 1 1

percentuale e l’errore quadratico medio percentuale .

(MAPE) (MSPE)

Queste misure di accuratezza sono utilizzate in pratica con gli errori ,

e +

n h

1

= , calcolati tramite le proiezioni ex post ; le misure di accuratezza

ˆ

h 1, 2,…, n y

2 +

n h

1

sono, dunque, numeriche.

Nel caso della (5.1.11) l’impianto dei calcoli per la costruzione delle misure di

accuratezza è mostrato nella tavola 5.2, nella quale abbiamo riportato i valori

storici e proiettati convertiti in unità naturali. In effetti, se le variabili sono

logaritmizzate gli scarti fra valori storici e stimati hanno già la dimensione di una

percentuale, quindi in questo caso non ha senso calcolare le misure descrittive

percentuali. D’altra parte nelle applicazioni della proiezione è spesso opportuno,

come strategia espositiva, riportare i risultati in unità naturali, in particolar modo

quando si possa presumere che l’utente finale delle proiezioni abbia scarsa

familiarità con le proprietà dei logaritmi (come generalmente avviene al di fuori

dell’ambito della ricerca scientifica).

Nella tavola 5.2 si noti innanzitutto che gli errori medio e medio assoluto

coincidono, come accade necessariamente quando l’errore è sistematicamente

positivo o negativo. La coincidenza di questi due indicatori è quindi indizio di

scarsa affidabilità delle previsioni del modello, poiché, indipendentemente dalle

dimensioni dell’errore, la sua sistematicità denota appunto il fatto che il modello

non esprime in modo adeguato tutta la componente sistematica del fenomeno

In lingua inglese gli indicatori sono: mean prediction error , mean absolute error

3 (MPE)

, mean square error , root mean square error , Theil’s inequality

(MAE) (MSE) (RMSE)

coefficient , rispettivamente.

(U) 5-9

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

osservato. Si noti poi, come anticipato commentando la tavola 5.1, che l’errore

assoluto percentuale è approssimato dal valore assoluto dell’errore riferito ai

logaritmi delle variabili. In termini puramente descrittivi la prestazione del

modello non è pessima: l’errore assoluto percentuale è in media pari al 3.3%, valore

che potrebbe anche essere considerato accettabile. Tuttavia, come abbiamo già

rilevato, questo indicatore preso di per sé è ingannevole perché esprime

unicamente la dimensione dell’errore, e non la sua sistematicità. Quest’ultima è

indizio di gravi difetti nella specificazione del modello, difetti che, peraltro,

risultano evidenti anche dall’interpretazione economica e della diagnostica

dell’equazione (5.1.11).

Valori Errore Errore percentuale

storici proiettati semplice assoluto quadratico assoluto quadratico

1988Q1 30127.69 31726.26 -1598.57 1598.57 2555421.51 0.0531 0.0028

1988Q2 31764.35 32836.63 -1072.28 1072.28 1149779.85 0.0338 0.0011

1988Q3 29480.96 30133.72 -652.75 652.75 426088.64 0.0221 0.0005

1988Q4 34413.36 34975.39 -562.04 562.04 315885.09 0.0163 0.0003

1989Q1 34696.70 35846.46 -1149.75 1149.75 1321928.99 0.0331 0.0011

1989Q2 35739.08 36340.93 -601.85 601.85 362228.36 0.0168 0.0003

1989Q3 31593.29 32070.76 -477.47 477.47 227978.95 0.0151 0.0002

1989Q4 35810.63 38603.57 -2792.94 2792.94 7800516.74 0.0780 0.0061

medie -1113.46 1113.46 1769978.52 0.0335 0.0016

RMSE 1330.41

Tavola 5.2 – Il calcolo delle misure descrittive di accuratezza della proiezione per la (5.1.11).

5-10

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.2 Intervalli di confidenza per le proiezioni

Supponiamo, ora, che valgano le ipotesi forti per i residui, sia nel periodo

campionario che in quello di proiezione, per cui è anche

~ ∼N(0,σ =

2

u ) h 1, 2, …, m

+

n h

In questo caso l’errore di proiezione (5.1.4) è una variabile aleatoria costituita da

~

una combinazione lineare degli stimatori distribuiti normalmente e di

b̂ u +

n h

anch’essa normale, per cui è

~ ∼ σ ⋅ =

2 2

e N (

0 , a ) h 1, 2, …, m

+ +

n h n h

se poniamo ′ ′

= + − (5.2.1)

2 1

a 1 x ( X X ) x

+ + +

n h n h n h

in virtù delle (5.1.5) e (5.1.6).

Volendo trovare gli intervalli di confidenza per le , che in realtà hanno un

y

n+h ~

significato leggermente diverso dal consueto in quanto ex ante la è una

y +

n h

~

quantità aleatoria (funzione di ), consideriamo che

u +

n h

~ ~ − ˆ

e y y

= ∼N(0,1) =

+ + +

n h n h n h h 1, 2, …, m

σ ⋅ σ ⋅

a a

+ +

n h n h

e che ~ ~

− −

ˆ ˆ

y y y y (5.2.2)

∼t =

=

+ + + +

n h n h n h n h h 1, 2, …, m

n−k

σ

1 / 2

  a

n

∑ +

− n h

2

ˆ

 

a u /( n k )

+

n h t

 

=

t 1 n

~

poiché e sono variabili aleatorie stocasticamente indipendenti. Infatti

e u

ˆ

+

n h t

=

t 1

~

per la (5.1.4) è formata dalle non correlate con le per la (2.3.4) e dalla

e b̂ û

+

n h i t

~ non correlata con le per la (5.1.2); essendo tutte queste variabili distribuite

u û

+

n h t

normalmente, vale l’asserita indipendenza stocastica.

La (5.2.2) può anche essere utilizzata ex post per costruire un test di

significatività che permette di valutare l’accuratezza della proiezione in modo più

rigoroso rispetto alle misure numeriche di accuratezza della proiezione (MAE,

MAPE,…) viste al termine del paragrafo precedente. Le informazioni sull’ordine di

grandezza dell’errore di proiezione fornite da queste ultime non tengono conto della

variabilità del fenomeno studiato, per cui, ad esempio, un errore medio assoluto

percentuale del 5% può essere accettabile se la variabile dipendente è

caratterizzata da estrema variabilità (ed è quindi intrinsecamente più difficile da

5-11

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

prevedere), mentre sarà inaccettabile se il fenomeno studiato ha andamento meno

irregolare. La (5.2.2) normalizza l’errore di proiezione dividendolo per il proprio

scarto quadratico medio e quindi elimina l’effetto della variabilità intrinseca del

fenomeno, fornendo così una metrica nella quale è possibile effettuare in modo

sensato valutazioni comparative fra modelli diversi.

Se la statistica definita dalla (5.2.2) è inferiore in valore assoluto al valore

soglia pertinente della distribuzione allora l’errore di proiezione non è

t n-k

statisticamente significativo. In questo caso, quindi, anche se l’errore risultasse

“grande” in termini descrittivi, si dovrebbe concludere che le sue dimensioni sono

legate alla variabilità del fenomeno, e non denotano né un evento aleatorio

eccezionale (un’osservazione anomala), né un fallimento del modello (ad esempio,

un cambiamento di struttura nei parametri di regressione). Viceversa, se la (5.2.2)

è superiore (in valore assoluto) al relativo valore soglia, allora l’errore è

statisticamente significativo, e quindi valgono considerazioni inverse, nel senso che

anche qualora fosse l’errore “piccolo” in termini descrittivi esso denoterebbe pur

sempre o il verificarsi di un evento eccezionale, o la presenza di problemi statistici

nel modello (in particolare, di cambiamenti di struttura).

10.6

10.55

10.5

10.45

10.4

10.35

10.3

10.25

10.2 1987Q1 1988Q1 1989Q1

ln(m) proiezione intervallo intervallo

Figura 5.3 – L’intervallo di confidenza della proiezione ex post effettuata con la (5.1.11). 5-12

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Sfruttando la consueta dualità fra verifica delle ipotesi e stima intervallare,

α

l’intervallo di confidenza al livello è trovato partendo dalla condizione

 

~ − ˆ

y y

 ′ ′

′ 

≤ ≤ = − α

+ +

n h n h

P t t 1

 

− −

σ

n k n k

 

a +

n h

′ ′

′ α/2

dove e sono i quantili di probabilità e rispettivamente, forniti

t t 1−α/2

− −

n k n k

dalle tavole della di Student con gradi di libertà. L’intervallo risulta, dunque,

t n−k

′ ′

~

+ ⋅ σ ⋅ ≤ ≤ + ⋅ σ ⋅ (5.2.3)

ˆ ˆ

y a t y y a t

+ + − + + + −

n h n h n k n h n h n h n k

=

per , e va interpretato come l’intervallo p iù corto che contiene il valore

h 1,2,…,n 1

~

aleatorio con probabilità .

y 1−α

+

n h

La dualità fra verifica delle ipotesi e stima intervallare implica che ex post il

test definito dalla (5.2.2) e l’intervallo di confidenza (5.2.3) forniscano esattamente

le medesime informazioni, se pure in forma diversa. In altre parole, quando il

valore storico ricade all’interno dell’intervallo di confidenza (5.2.3), la statistica

(5.2.2) (cioè l’errore di proiezione studentizzato) non risulta statisticamente

significativa, mentre, di converso, se la statistica (5.2.2) è maggiore, in valore

assoluto, del rispettivo valore soglia, allora il valore storico cade al di fuori

dell’intervallo di confidenza.

Riprendiamo ora la (5.1.11) corredando la tavola 5.1, che ne riporta la

proiezione ex post, con gli scarti quadratici medi degli errori di proiezione, costruiti

come radice quadrata della (5.1.6), e con le statistiche (5.2.2). Questi risultati sono

t

esposti nella tavola 5.3. Nel caso della proiezione ex post le statistiche (5.2.2) si

distribuiscono come una con gradi di libertà; il relativo valore soglia,

t n -k

1

considerando che nella (5.1.11) si ha , è pari a 2.06. Ne consegue che

n -k = 32-8 = 24

1

il primo, il secondo e l’ultimo errore di proiezione sono significativamente diversi da

zero, ovvero, in altri termini, che i relativi valori storici giacciono al di fuori

dell’intervallo di confidenza al 5% della proiezione, come puntualmente si osserva

nella figura 5.3, che riporta appunto la proiezione effettuata con la (5.1.11) insieme

al relativo intervallo di confidenza. 5-13

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

storici proiettati errore s.q.m. dell'errore test t

1988Q1 10.3132 10.3649 -0.0517 0.0155 -3.34

1988Q2 10.3661 10.3993 -0.0332 0.0160 -2.08

1988Q3 10.2915 10.3134 -0.0219 0.0157 -1.39

1988Q4 10.4462 10.4624 -0.0162 0.0177 -0.91

1989Q1 10.4544 10.4870 -0.0326 0.0183 -1.78

1989Q2 10.4840 10.5007 -0.0167 0.0188 -0.89

1989Q3 10.3607 10.3757 -0.0149 0.0178 -0.84

1989Q4 10.4860 10.5611 -0.0751 0.0201 -3.74

Tavola 5.3 – Il test di significatività dell’errore di proiezione sulle proiezioni ex post condotte

con l’equazione (5.1.11). L’errore risulta significativamente diverso da zero in tre casi.

Un altro dato che segnala la scarsa affidabilità delle proiezioni effettuate con la

(5.1.11) è dato dalla localizzazione degli errori significativi, che, contrariamente a

quanto ci si potrebbe attendere, sono localizzati in maggioranza all’inizio, e non

alla fine, del campione di proiezione ex post. Se astraiamo dall’ultima osservazione

del campione di proiezione, gli errori più grandi si verificano nel primo e nel

secondo periodo. In altri termini, sembra che il modello faccia più fatica a

prevedere nell’immediato futuro che non nel futuro più remoto. Generalmente un

risultato di questo tipo segnala la presenza di malaspecificazione del modello.

5-14

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.3 Il caso di variabili esplicative non note nel periodo di

proiezione

Nei due paragrafi precedenti si è supposto che l’errore di proiezione dipendesse

e

n+h

β

- dall’incertezza sui parametri riuniti nel vettore ,

- dal residuo aleatorio,

ipotizzando di conoscere il vettore delle osservazioni delle variabili esplicative

x n+h

al tempo . In virtù di questa ultima ipotesi, le proiezioni sono definite ex post, in

n+h

quanto appunto si suppone di conoscere i valori “futuri” delle esplicative. In molte

circostanze, tuttavia, questi valori non sono noti e devono quindi essi stessi essere

proiettati dando luogo alle proiezioni , che supponiamo essere indipendenti da

x̂ n+ h

~ , per cui la (5.1.3) diventa

u +

n h ′ (5.3.1)

= β̂

β

ˆ ˆ

y x

+ +

n h n h

e l’errore di proiezione viene ad essere il seguente (5.3.2)

′ ′

= − = β + − β =

ˆ

ˆ ˆ

e y y x u x

+ + + + + +

n h n h n h n h n h n h

= − ′ β − β + ′ − ′ β =

ˆ

u x

ˆ ( ) ( x x

ˆ )

+ + + +

n h n h n h n h

′ ′ ′ ′

= − β − β + β −

ˆ

u x

ˆ ( ) ( x x

ˆ )

+ + + +

n h n h n h n h

β̂

β

scomposto nelle tre fonti di incertezza, la , la e la .

u x̂

n+h n+ h

Se si fanno le due ulteriori ipotesi ′ (5.3.3)

= β − β =

ˆ

ˆ ˆ

E (

x ) x E [

x ( )] 0

+ + +

n h n h n h

prendendo il valor medio della (5.3.2) si ottiene

~ = (5.3.4)

E (

e ) 0

+

n h

ed il proiettore (5.3.1) è ancora incondizionamente non distorto.

L’errore quadratico di proiezione nel caso di non noto

x n+

h

La varianza dell’errore di proiezione (5.3.2) è data da

~ ~ ~ ′ ′

= = + β − β β − β +

ˆ ˆ

2 2 ˆ ˆ

Var ( e ) E ( e ) E [

u x ( )( ) x

+ + + + +

n h n h n h n h n h

′ ′ ′

~

+ β − − β − β − β +

ˆ

( x x

ˆ )( x x

ˆ ) 2 u x

ˆ ( )

+ + + + + + (5.3.5)

n h n h n h n h n h n h

′ ′ ′

~

+ β − − β − β β − =

ˆ

ˆ ˆ ˆ

2

u ( x x ) 2 x ( ) ( x x )]

+ + + + + +

n h n h n h n h n h n h

′ ′ ′ ′

= σ + β − β β − β + β − ⋅ − β

ˆ ˆ

2 ˆ ˆ ˆ ˆ

E [

x ( )( ) x ] E [ ( x x ) ( x x ) ]

+ + + + + +

n h n h n h n h n h n h

poiché i valori medi dei prodotti incrociati si annullano in virtù dell’indipendenza di

~ β̂

β

, e . Dal momento che è

u x̂

+

n h n+ h 5-15

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

[ ]

{ }

′ ′ ′ ′

β − β β − β = β − β β − β =

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

E [

x ( )( ) x ] E tr x ( )( ) x

+ + + +

[ ]

{ }

n h n h n h n h

′ ′

= β − β β − β =

ˆ ˆ

E tr ( )( ) x

ˆ x

ˆ

+ +

[ ] n h n h

{ }

[ ]

′ ′

= β − β β − β =

ˆ ˆ ˆ ˆ

tr E ( )( ) E x x

+ +

n h n h

{ () }

[ ]

( ) ′

= β ⋅ +

ˆ ˆ

tr Cov Cov x x x

+ + +

n h n h n h

poiché, in virtù della prima delle (5.3.3),

 

( ) ( )( ) ( )

′ ′

= − − = −

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Cov x E x x x x E x x x x

 

 

+ + + + + + + + +

n h n h n h n h n h n h n h n h n h

ed inoltre è ′

 

( )( ) ( )

′ ′

β − − β = β β

ˆ ˆ ˆ

E x x x x Cov x

 

 

+ + + + +

n h n h n h n h n h

la (5.3.5) diventa { () }

[ ]

( ) ( )

′ ′

~ = σ + β ⋅ + + β β =

ˆ

2 ˆ ˆ

Var ( e ) tr Cov Cov x x x Cov x

+ + + + +

[ ] [ ]

n h n h n h n h n h

() ()

( ) ( )

′ ′ (5.3.6)

= σ + β ⋅ + β ⋅ + β β =

ˆ ˆ

2 ˆ ˆ

tr Cov Cov x tr Cov x x Cov x

+ + + +

[ ]

n h n h n h n h

( ) ( )

( ) ( )

′ ′

= σ + β ⋅ + β + β β

ˆ ˆ

2 ˆ ˆ

tr Cov Cov x x Cov x Cov x

+ + + +

n h n h n h n h

uguale alla (5.1.6) qualora sia nota e la matrice di dispersione di sia

x x̂

n+h n+ h

quindi nulla.

In seguito vedremo come sia possibile calcolare questa matrice in certi casi di

ignoto, e quindi determinare l’errore quadratico medio di proiezione (5.3.6).

x n+h

In termini numerici, la proiezione viene determinata mediante la (5.3.1)

ˆ

y +

n h

β̂

β

una volta che siano disponibili le stime e le proiezioni . Gli intervalli di

x̂ n+ h

confidenza sono viceversa difficilmente calcolabili perché, anche nell’ipotesi di x̂ n+ h

~

ed normali, l’errore di proiezione (5.3.2) è generalmente non normale poiché è

u +

n h ′ β̂

β

funzione del prodotto dei due vettori aleatori e , ambedue con distribuzione

x̂ n+ h

normale multivariata.

Il teorema di Cebiscev

Una modo approssimato, suggerito in Feldstein [1971], per determinare intervalli

~

di confidenza per la si basa sulla diseguaglianza di Cebiscev che viene

y +

n h

dimostrata nel seguente ~

Teorema 5.2 - La probabilità che una variabile aleatoria si discosti dal proprio

z

µ δ

valor medio più di volte lo scarto quadratico medio è minore o uguale ad . In

2

1/δ

altri termini è ( )

~ − µ ≥ δσ ≤ δ (5.3.7)

2

P z 1 / 5-16

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

ovvero ( )

~

− δσ < − µ < δσ > − δ (5.3.8)

2

P z 1 1 /

~ ~

= −

Poiché l’errore di proiezione ha valor medio nullo e varianza

ˆ

e y y

+ + +

n h n h n h

σ data dalla (5.3.6), applicando la (5.3.8) si ha

2

e ( )

~

− δ ⋅ σ < − < δ ⋅ σ > − δ 2

ˆ

P y y 1 1 /

+ +

e n h n h e

dalla quale si ricava l’intervallo di confidenza

~

− δ ⋅ σ < < + δ ⋅ σ (5.3.9)

ˆ ˆ

y y y

+ + +

n h e n h n h e

~

che contiene il valore aleatorio con probabilità maggiore di . Se si

2

y 1−1/δ

+

n h

α=1/δ =0.05 δ = ⋅

prende soggettivamente , si ottiene , avendo considerato

2 2 5

soltanto la radice quadrata aritmetica, e l’intervallo (5.3.9) diventa (5.3.10)

~

− ⋅ σ < < + ⋅ σ

ˆ ˆ

y 2 5 y y 2 5

+ + +

n h e n h n h e σ

che può essere determinato numericamente sostituendo a la radice quadrata

e

σ

aritmetica dell’errore quadratico medio (5.3.6) nella quale è sostituita da una

2

sua stima, ad esempio quella non distorta (1.7.2), è rimpiazzata da ,

x x̂

n+h n+ h

è ancora calcolata mediante la (1.6.17) e la stima (1.7.2), ed infine

ˆ

Cov (b ) è determinata nella procedura di proiezione di .

ˆ

Cov ( x ) x n+h

+

n h

L’accennata approssimazione dell’intervallo di confidenza (5.3.9) dipende

appunto dalla sostituzione dei componenti dell’errore quadratico medio (5.3.6) con

le loro stime. Se queste sono buone, l’approssimazione è molto accurata. 5-17

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.4 I residui ricorsivi

Il concetto, molto utile come vedremo in seguito, dei minimi quadrati ricorsivi si

fonda sulla semplice procedura di stimare più volte il vettore dei parametri del

modello lineare multiplo (5.1.1) utilizzando matrici con un numero di righe via

X

via più grande. Proiettando la del modello un tempo in avanti con l’uso delle

y

t

stime ricorsive, si ottengono i residui ricorsivi, tramite i quali è possibile verificare

alcune ipotesi relative all’invarianza nel tempo dei caratteri del modello lineare. La

matrice di ordine scritta in termini delle sue righe diventa

X n×k n

 

x 1

 

x

 

= 2

X  

...

 

 

x n

e chiamando con la matrice di ordine costituito dalle prime righe si

X (t−1)×k t−1

t−1 β

ˆ

può calcolare mediante essa la stima dei minimi quadrati ricorsivi

t 1

′ ′ (5.4.1)

β = −

ˆ 1

( X X ) X y

− − − − −

t 1 t 1 t 1 t 1 t 1

dove è il vettore costituito dai primi elementi di , sotto le ipotesi che siano

y t−1 y

t−1 =

, (5.4.2)

t−1≥k r(X ) k

t−1

β

ˆ

Tramite si possono determinare la proiezione un tempo in avanti, in

t 1 t

virtù della (5.1.3), ′ (5.4.3)

= β =

ˆ

ˆ

y x t k+1, k+2, ..., n

t t t 1

e gli errori di proiezione = − (5.4.4)

ˆ

e y y

t t t

che considerati come variabili aleatorie posseggono varianza fornita dalla (5.1.6)

′ ′

~ = σ + = σ ⋅

− (5.4.5)

2 1 2 2

Var ( e ) [

1 x ( X X ) x ] a

− −

t t t 1 t 1 t t

avendo sfruttato la posizione (5.2.1). Dividendo ciascun errore (5.4.4) per si

a t

ottiene il residuo ricorsivo

′ (5.4.6)

= − β

ˆ

v ( y x ) / a t=k+1,k+2,...,n

t t t t 1 t

che in termini aleatori possiede distribuzione se valgono le ipotesi forti sui

2

N(0,σ )

residui del modello lineare multiplo dal momento che in questo caso

u

~ ∼ σ ≥

. Poiché deve essere il numero di residui ricorsivi che possono

2 2

e N (

0 , a ) t k+1

t t

essere formati sulla base di un campione di ampiezza è . La loro indipendenza

n n−k

stocastica è dimostrata nel seguente 5-18

Modulo II – I minimi quadrati ordinari =

Teorema 5.3 - Se sussistono le ipotesi (5.4.2) per , e se

t k+1, k+2, ..., n

~

~ ~ ~ ~

∼ σ ν =

allora il vettore dei residui ricorsivi ha

2

u N (

0 , I ) ( v , v ,..., v )

+ +

n k 1 k 2 n

σ

distribuzione normale multivariata .

2

N (

0 , I )

n k ∼ σ

Si è appena mostrato che sotto le ipotesi del teorema per cui la tesi

2

v N (

0 , )

t

~ ~ ~ ~

= =

è dimostrata se si trova che , per ogni ed , con . Ma, in

Cov ( v v ) E ( v v ) 0 t s t≠s

t s t s

virtù del fatto che

′ ′ ′ ′ ′

~ ~ ~ ~

− β = + β − β = − −

ˆ ˆ 1

y x u x ( ) u x ( X X ) X u

− − − − − −

t t t 1 t t t 1 t t t 1 t 1 t 1 t 1

si ha che ′ ′ ′ ′ ′

~ ~ ~ ~ ~ ~

⋅ = − β − β = − β − β =

ˆ ˆ ˆ ˆ

E (

v v ) E

[( y x )( y x )] / a a E [( y x )( y x ) ] / a a

− − − −

t s t t t 1 s s s 1 t s t t t 1 s s s 1 t s

[ ][ ]

{ }

~ ~ ~ ~

= − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ =

− −

1 1

E u x ( X X ) X u u u X ( X X ) X x / a a 0

− − − − − − − − −

t t t 1 t 1 t 1 t 1 s s 1 s 1 s 1 s 1 s 1 s t s

poiché il trasposto di uno scalare è uguale allo scalare stesso e perché inoltre, per

ogni ed e supponendo che senza perdere in generalità, si ha

t s s>t

~ ~ ~ ~

= =

E (

u u ) 0 E (

u u ) 0

t s t 1 s

′ ′

~ ~ = σ 2

E (

u u ) [

0 0 ... 0 0 ... 0 ]

t s 1 elemento di indice t

~ ~ = σ 2

E (

u u ) [ I 0 ]

− − −

t 1 s 1 t 1

dove la matrice è costituita da una parte sinistra uguale ad e da una

[I 0] I

t−1 t−1

parte destra uguale alla matrice nulla di ordine , come immediatamente

(t−1)× (s−t)

si verifica.

Due formule per il calcolo ricorsivo

Il calcolo dei residui ricorsivi (5.4.6) presuppone l’utilizzazione della formula (5.4.1)

per volte, e può essere computazionalmente pesante se e sono grandi in

n−k n k

quanto in ogni passo è richiesta l’inversione di una nuova matrice di ordine .

k

Tuttavia, Brown, Durbin ed Evans [1975] hanno sviluppato due formule ricorsive

per il calcolo della (5.4.1) che permettono di semplificare notevolmente il lavoro

computazionale; esse sono

′ ′ ′ ′ ′

= −

− − − − (5.4.7)

1 1 1 1 2

( X X ) ( X X ) ( X X ) x x ( X X ) a

− − − − − −

t t t 1 t 1 t 1 t 1 t t t 1 t 1 t

′ ′ (5.4.8)

β = β + − β

ˆ ˆ ˆ

1

( X X ) x ( y x )

− −

t t 1 t t t t t t 1 5-19

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

dove lo scalare è dato dalla (5.2.1). Per mezzo di e di si calcola ,

2 2

a ( X X ) x a

t

− −

t t 1 t 1 t

′ β̂

β

nonché mediante la (5.4.7); quindi si determina partire dalla stima

1

( X X ) t

t t

β̂

β

precedente attraverso la (5.4.8).

t-1

La formula ricorsiva (5.4.7) è facilmente dimostrata se si nota che, poiché

 

X −

= t 1 (5.4.9)

 

X ′

t  

x t

′ ′ ′

= +

è anche ; moltiplicando il membro a sinistra della (5.4.7) per

X X X X x x

− −

t t t 1 t 1 t t

′ si ottiene la matrice , alla quale anche si arriva moltiplicando il membro a

X X I

k

t t ′ ′

+

destra della (5.4.7) per .

X X x x

− −

t 1 t 1 t t

Sfruttando ancora la scomposizione (5.4.9) si dimostra anche la (5.4.8); infatti,

ricordando la definizione (5.4.1) di stima dei minimi quadrati ricorsivi, si ha

′ β = ′ = ′ = ′ + = ′ β + =

ˆ ˆ

( X X ) X y [ X x ]

y X y x y ( X X ) x y

− − − − − −

t t t t t t 1 t t t 1 t 1 t t t 1 t 1 t 1 t t

′ ′ ′ ′ ′

= β + β + − β = β + − β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( X X ) x x x ( y x ) ( X X ) x ( y x )

− − − − − − −

t 1 t 1 t 1 t t t 1 t t t t 1 t t t 1 t t t t 1

La devianza residua ricorsiva

Anche per la devianza residua sussiste una formula ricorsiva molto utile, data nel

seguente = − β̂

β

Teorema 5.4 - Se è vettore di residui stimati con i minimi quadrati

ˆ

u y X

t t t t

ricorsivi, allora vale la seguente formula per la devianza residua

′ ′

= + (5.4.10)

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

u u u u v t = k+1, k+2, ..., n

− −

t t t 1 t 1 t

Infatti, in virtù della (5.4.8), si ha ′ ′

− β = − β − β − β = − β − − β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1

y X y X X ( ) y X X ( X X ) x ( y x )

− − − −

t t t t t t 1 t t t 1 t t t 1 t t t t t t t 1

per cui

′ ′ ′ ′ ′

= − β − β + − β +

ˆ ˆ ˆ 2 1

ˆ ˆ

u u ( y X ) ( y X ) ( y x ) x ( X X ) x

− − −

t t t t t 1 t t t 1 t t t 1 t t t t

− − β ′ ′ − ′ β =

− (5.4.11)

ˆ ˆ

1

2 ( y X ) X ( X X ) x ( y x )

− −

t t t 1 t t t t t t t 1

′ ′ ′ ′

= − β − β − − β −

ˆ ˆ ˆ 2 1

( y X ) ( y X ) ( y x ) x ( X X ) x

− − −

t t t 1 t t t 1 t t t 1 t t t t

dove nell’ultimo passaggio si è sfruttata l’uguaglianza seguente

 

X

′ ′ ′ ′ ′ ′

− β = − β = − β + =

ˆ ˆ ˆ

t 1

 

( y X ) X y X X X [ y y ] ( X X x x )

− − − − − −

t t t 1 t t t t 1 t t t 1 t t 1 t 1 t 1 t t

 

x t

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= + − + β = − β

ˆ ˆ

y X y x ( y X x x ) ( y x ) x

− − − − − −

t 1 t 1 t t t 1 t 1 t 1 t t t t t 1 t 5-20


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Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta La proiezione ed i residui ricorsivi, come sviluppati nel corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono sviluppati i temi: proiezione dei minimi quadrati, Intervalli di confidenza per le proiezioni, test di cambiamento strutturale nel caso n2£k, stabilità dei parametri.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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