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Modulo X – Modelli VAR

3.5. La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione

L’analisi delle risposte agli impulsi può essere convenzionalmente associata ad

un’analisi che produce risultati interpretabili in maniera simile, quella della

scomposizione della varianza degli errori di proiezione, dove si determina il

contributo di un impulso relativo ad una certa variabile non più alla dinamica delle

altre, bensì alla varianza dell’errore di proiezione (l’errore quadratico medio) di

queste altre tempi in avanti. Implicita in questa analisi è l’argomentazione

h

secondo la quale si ottengono utili informazioni sulle relazioni dinamiche tra le

variabili se si determina l’impatto di un impulso associato ad ognuna di esse sul

MSE di ciascuna delle altre.

L’errore di proiezione (3.3.11) tempi in avanti può essere scritto, usando la

h

scomposizione (1.6.2)

− − −

h h h

1 1 1

∑ ∑ ∑

= = =

1

e Ψ u Ψ P P u Θ w (3.5.1)

+ + − + − + −

n h i n h i i n h i i n h i

= = =

i i i

0 0 0

dove si è posto = = −1

i h

Θ Ψ P 0, 1, …,

i i

−1

=

ed i nuovi residui hanno elementi incorrelati in quanto vale la

w P u

n+h−i n+h−i

(1.6.5). ϑ l’elemento di posto ( , ) nella matrice e con ,

Se indichiamo con j m w

Θ

jm,i m,n+h−i

i

l’ -esima componente di , l’errore di proiezione tempi in avanti della -esima

m h j

w

n+h−i

componente di è

y

t −

h 1 k

∑∑

= ϑ

e w (3.5.2)

+ + −

j ,

n h jm ,

i m ,

n h i

= =

i 0 m 1

per cui, invertendo l’ordine di sommatoria e sfruttando l’ortogonalità delle

componenti residuali, si ha ( ) −

( ) k h 1

∑∑

= = ϑ

2 2

MSE y E e (3.5.3)

+ +

j ,

n h j ,

n h jm ,

i

= =

m i

1 0

h 1

∑ ϑ 2

e la quantità viene interpretata come il contributo dato dai residui della

jm ,

i

=

i 0

alla varianza dell’errore di proiezione tempi in avanti della variabile

variabile m h

. Come quota parte del MSE questa quantità vale ovviamente

j ( )

h 1

= ϑ

hjm 2

w / MSE y (3.5.4)

+

jm ,

i j ,

n h

=

i 0 Pagina 3-10

Modulo X – Modelli VAR

La (3.5.3) rappresenta la scomposizione della varianza dell’errore di proiezione in

termini dei contributi apportati dalle variabili componenti .

y

t Pagina 3-11

Modulo X – Modelli VAR

3.6. La causalità secondo Granger

Il Granger (1969) ha sviluppato una definizione di causalità in economia che, pur

criticabile ed in effetti criticata sotto diversi aspetti, ha avuto molto successo in

virtù della sua notevole operatività. La base di questa definizione consiste

nell’assumere che una variabile causa un’altra se contribuisce a prevederla

x z

t t

meglio. Quindi è una definizione fondata sul concetto di previsione,

sull’antecedenza temporale della causa rispetto all’oggetto causato e sul criterio in

base al quale si ritiene che una previsione sia “migliore” di un’altra.

Analiticamente, la definizione di causalità del Granger utilizza come criterio di

previsione “migliore” la minimizzazione dell’errore quadratico medio ottenuto

sfruttando l’insieme di informazioni disponibile al tempo e considera il vettore

t

t

di variabili causante il vettore se la matrice differenza

x z

t t

( ) ( )

{ }

− − ≤

MSE MSE t n

z Ω z Ω x (3.6.1)

+ +

n h n h t

n n { }

− ≤

per tutte le è semidefinita positiva, dove è l’insieme di tutte le

h t n

Ω x

n t

informazioni disponibili al tempo meno quella formata dai valori presenti e

n

passati di .

x

t

Se oltre la matrice (3.6.1) è semidefinita positiva anche la

( ) ( )

{ }

− − ≤

MSE MSE t n

x Ω x Ω z (3.6.2)

+ +

n h n h t

n n

causalità secondo Granger bidirezionale

, , , nel senso che sia

allora si ha una z

t

causa sia causa .

x x z

t t t

Sull’uso della definizione di causalità basata sulla (3.6.1) è necessario fare

alcune precisazioni. In primo luogo l’uso del MSE è fatto per comodità: in realtà si

potrebbero utilizzare altri criteri di misura della bontà della previsione lasciando

ugualmente valida la definizione del Granger. In secondo luogo, generalmente,

l’insieme informativo è ridotto alla conoscenza delle serie storiche di e , per

z x

n t t

proiezione lineare

; infine, la previsione di è ristretta alla . Nel prosieguo

≤ z

t n n+h

utilizzeremo la definizione con questi vincoli.

Applichiamo ora la definizione precedente al caso dei modelli VAR supponendo

che un vettore generico sia generato mediante la somma mobile (1.14.1) con

y

t

= ∞

q ∞

=

y Ψ u (3.6.3)

t i t i

=

i 0 Pagina 3-12

Modulo X – Modelli VAR

=

con e matrice di dispersione dei residui a ritardo nullo pari a .

Ψ I Σ

k

0 u

Supponiamo inoltre che il vettore sia scomponibile in due sottovettori e , di

y z x

t t t

dimensione e rispettivamente e che la (3.6.3) di conseguenza diventi

k k

1 2 ( ) ( )

   

  u

i i

z Ψ Ψ

∞ −

1 ,

t i

t 11 12

 

= =  

 

y (3.6.4)

t ( ) ( )

   

  u

i i

x Ψ Ψ

   

 

= 0

i −

2 ,

t i

t 21 22

con i nuovi vettori e matrici dotati di ordine appropriato.

Condizione necessaria e sufficiente affinché non vi sia causalità secondo

a è che la (3.6.1) sia una matrice nulla, cioè che sia, sfruttando la

Granger da x z

t t

definizione (3.3.12) di MSE, ′

( ) ( )

   

i

i

Ψ 0 Ψ 0

− −

h

h 1

1

∑ ∑ 11

11

′    

= (3.6.5)

Ψ Σ Ψ Σ u

u i

i ( ) ( ) ( ) ( )

   

i i

i i

Ψ Ψ Ψ Ψ

   

= =

i

i 0

0 21 22

21 22

, il che equivale a dire che sia

per ogni h ( ) = =

i

Ψ 0 0, 1, …

i (3.6.6)

12

= .

dovendo la (3.6.5) valere per 1, 2, …

h

p

) non è rappresentato nella forma a somma mobile ma in quella

Se il VAR(

autoregressiva ( ) ( )

 

     

i i z u

z A A

p −

t 1

t i t

11 12

 

= = +

     

y (3.6.7)

t ( ) ( )

 

     

i i z u

x A A

     

 

=

1

i −

t 2

t i t

21 22

le condizioni (3.6.6) sono equivalenti alle

( ) = =

i

A 0 1, …,

i p (3.6.6)

12

in virtù delle relazioni (1.4.5). Pagina 3-13

Modulo X – Modelli VAR

3.7. La proiezione puntuale per i modelli con parametri stimati

Se nel modello VAR( ) usato per la proiezione ottimale secondo la (3.4.1) i

p =

parametri matriciali e , , non sono noti è necessario sostituirli con le

c A 1, …,

i p

i

=

stime ed , , fornite utilizzando un qualsiasi criterio di stima, ad

ĉ 1, …,

i p

 i

esempio uno di quelli illustrati nel capitolo 2. Si ottiene la proiezione puntuale

ˆ ˆ ˆ (3.7.1)

= + + + +

* * * *

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

...

y c A y A y A y

+ + − + − + −

1 1 2 2

n h n h n h p n h p

dove ≤

= per 0

j

*

ˆ

y y

+ +

n j n j

L’errore di proiezione è in questo caso

[ ] [ ]

[ ]

= − = − + − = + −

* * * *

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (3.7.2)

e y y y y y y e y y

+ + + + + + + + + +

n h n h n h n h n h n h n h n h n h n h

) sono stimati in modo

con valor medio nullo se i coefficienti matriciali del VAR(

p

incondizionatamente non distorti

non distorto. Si ha, cioè, che i proiettori sono .

Dalla (3.7.2), considerando la (3.3.11), si trae

( )

1

h

− = + −

* *

ˆ ˆ ˆ

y y Ψ u y y

+ + + − + +

n j n j i n h i n h n h

= 0

i

e da questa, tenendo conto che nel secondo membro il primo termine contiene

mentre il secondo contiene soltanto per e quindi sono

residui al tempo > y ≤

t n t n

t

variabili aleatorie incorrelate, ′

( )( ) ( )( )

 

 

− − = + − −

* * * *

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

E y y y y Σ E y y y y (3.7.3)

 

 

+ + + + + + + +

n h n h n h n h h n h n h n h n h

 

 

dove −

h 1

∑ ′

=

Σ Ψ Σ Ψ (3.7.4)

h i u i

=

i 0

Da questa relazione si trae che l’errore quadratico medio di proiezione che si

ottiene quando i parametri sono stimati è maggiore di una quantità pari a

( )( )

 

− −

* *

ˆ ˆ ˆ ˆ

E y y y y (3.7.5)

 

+ + + +

n h n h n h n h

 

del MSE che si ottiene quando i parametri sono noti. Pagina 3-14

Modulo X – Modelli VAR

Nei piccoli campioni, di ampiezza , il termine correttivo (3.7.5) può essere

n

convenientemente approssimato dalla quantità , dove

Ω / n

3 h

[ ]

− −

1 1

h h ( )

∑∑ − −

′ ′

1

h i − − −

= ⋅ ⋅ ⋅

1 1

h j

Ω tr B Q B Q Ψ Σ Ψ (3.7.6)

h i u j

= =

0 0

i j

con  

0 0 0 0

1 ...

 

c A A A A

...

 

1 2 p 1 p

 

0 I 0 0 0

...

k

=

B  (3.7.7)

...

0 0 I 0 0

 

k

 

... ... ... ... ... ...

 

 

...

0 0 0 I 0

 

k

ed avendo supposto che valga la (2.3.1).

= si ha, semplicemente,

Se 1

h ( )

= + ⋅

Ω 1 Σ

kp (3.7.7)

1 u

In conclusione, nel caso di modelli con parametri stimati la proiezione puntuale

viene fatta utilizzando iterativamente la (3.7.1). Se si desidera calcolare la matrice

degli errori quadratici medi si può usare la (3.7.3) sostituendo alla la stima Σ̂

Σ h

h

ottenuta dalla (3.7.4) sostituendo alle le loro stime e a la data dalla

Ψ̂ Σ̂

Ψ Σ

i u

i u

(2.4.5). Se si vuole applicare anche il termine correttivo , lo si determina

Ω / n

h

sostituendo ai parametri della (3.7.6) le relative stime.

Esempio – Riprendiamo il modello VAR (1.8.1) stimato nel capitolo 2,

relativamente ad un orizzonte campionario di 82 osservazioni. Calcoliamo i valori

=

proiettati con tale modello in riferimento ad un orizzonte di tempi.

h 3

       

0.34 0.44 0.08 0.15 0.83 0.81

       

       

= + ⋅ − =

ˆ

y 0.36 0.04 0.01 0.41 0.11 0.70

83        

       

0.27 0.17 0.13 0.02 0.75 0.41

       

       

0.34 0.44 0.08 0.15 0.81 0.81

       

       

= + ⋅ =

ˆ

y 0.36 0.04 0.01 0.41 0.70 0.57

84        

       

0.27 0.17 0.13 0.02 0.41 0.51

       

Si veda Lütkepohl (1991, p. 87).

3 Pagina 3-15

Modulo X – Modelli VAR

       

0.34 0.44 0.08 0.15 0.81 0.82

       

       

= + ⋅ =

ˆ

y 0.36 0.04 0.01 0.41 0.57 0.61

85        

       

0.27 0.17 0.13 0.02 0.51 0.49

       

L’errore quadratico medio è dato dalla somma della (3.7.4) e dal termine correttivo

(3.7.6). La (3.7.4) si ottiene immediatamente se si ricorre alle stime

 

0.44 0.08 0.15

 

ˆ = 0.04 0.01 0.41

Α  

1  

0.17 0.13 0.02

 

e −

 

0.34 0.07 0.03

 

ˆ = −

Σ 0.07 0.90 0.01

 

u  

0.03 0.01 0.31

 

introdotte nel paragrafo 1.8. Si ha dunque

 

0.34 0.07 0.03

 

ˆ ˆ

= = −

Σ Σ 0.07 0.90 0.01

 

1 u  

0.03 0.01 0.31

 

 

0.42 0.04 0.06

 

ˆ ˆ ˆ ′

= + = −

Σ Σ A Σ A 0.04 0.95 0.02

 

2 u 1 u 1  

0.06 0.02 0.33

 

 

0.44 0.03 0.07

′  

( )

ˆ ˆ ˆ ˆ

= + + = −

2 2

Σ Σ A Σ A A Σ A 0.03 0.96 0.02

 

3 1 1 1 1

u u u  

0.07 0.02 0.34

 

Per ricavare il termine correttivo (3.7.6) è necessario anzitutto costruire la matrice

 

1 0 0 0

 

0.34 0.44 0.08 0.15

 

=

B  

0.36 0.04 0.01 0.41

 

0.27 0.17 0.13 0.02

 

dove si sono evidenziati le singole componenti rappresentate dallo scalare 1, dal

vettore nullo di dimensioni , dal vettore e dalla matrice ,

(3×1) Â

1

rispettivamente. La matrice Pagina 3-16

Modulo X – Modelli VAR

− − −

 

3.34 1.73 0.68 1.11

 

− −

1.73 2.41 0.09 0.52

 

− =

1

Q  

− −

0.68 0.09 1.11 0.11

 

− − −

1.11 0.52 0.11 3.25

 

è stata calcolata nel paragrafo 2.5, per cui si ha

 

1.36 0.28 0.12

 

( ) ˆ

= + ⋅ = −

kp

Ω Σ

1 0.28 3.60 0.04

 

1 u  

0.12 0.04 1.24

 

[ ] ˆ

ˆ ˆ

′ ′ ′

 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

1

Ω B Q B Q Σ B Σ A

tr tr

 

2 1

u u

[ ]

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ′

 

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

1

Q B Q A Σ I A Σ A

tr tr

  1 4 1 1

u u

 

1.22 0.13 0.32

 

= 0.13 1.45 0.41

 

 

0.32 0.41 0.68

 

( ) ( )

    ˆ

ˆ ˆ

2 2

′ ′ ′

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

1 2 1

Ω B Q B Q Σ B Q B Q Σ A

tr tr

   

3 1

u u

( )

( )

  ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

′ ′

 

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

2 1 2

B Σ A B Q B Q A Σ

tr tr  

  1 1

u u

( )

[ ]

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

′ ′ ′

 

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

1 2

B Q B Q A Σ A B A Σ A

tr tr

  1 1 1 1

u u ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ′

   

− −

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

1 2 2 1 2

Q B Q A Σ Q B Q A Σ

tr tr A

   

1 1 1 1

u u

( )

[ ] ˆ ˆ

ˆ

+ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 2

tr I A Σ A

u

4 1 1

 

1.23 0.22 0.39

 

= 0.22 1.23 0.37

 

 

0.39 0.37 0.51

 

L’errore quadratico risulta in definitiva −

 

0.36 0.07 0.03

Ω  

( ) ˆ

⋅ = + = −

* * 1

E e e Σ 0.07 0.94 0.01

 

83 83 1 82  

0.03 0.01 0.33

  Pagina 3-17

Modulo X – Modelli VAR

 

0.43 0.04 0.06

Ω  

( ) ˆ

⋅ = + = −

* * 2

E e e Σ 0.04 0.97 0.02

 

84 84 2 82  

0.06 0.02 0.34

 

 

0.46 0.03 0.07

Ω  

( ) ˆ

⋅ = + = −

* * 3

E e e Σ 0.03 0.62 0.02

 

85 85 3 82  

0.07 0.02 0.35

  Pagina 3-18

Modulo X – Modelli VAR

3.8. Risposte all’impulso e scomposizione della varianza

dell’errore di proiezione per i modelli con parametri stimati

L’analisi delle risposte agli impulsi

L’analisi della dinamica delle risposte agli impulsi viene effettuata, come illustrato

nel capitolo 1, esaminando le matrici dei parametri della rappresentazione a

p

somma mobile del VAR( ) ∞

= + =

y ν Ψ u Ψ I (3.8.1)

k

t i t i 0

= 0

i

che è l’(1.4.3) al quale abbiamo aggiunto il termine noto vettoriale .

ν

Se si desidera che i residui siano incorrelati, e quindi che gli impulsi siano

shock strutturali, la (3.8.1) deve essere sostituita, in virtù di quanto

costituiti da

asserito nel paragrafo 1.6, con la ∞

= +

y ν Θ w (3.8.2)

t i t i

= 0

i

= =

, dove , matrice di dispersione dei residui a ritardo zero.

con Θ P P P′ Σ u

t

0 u

In generale i parametri delle due somme mobili (3.8.1) e (3.8.2) non sono noti e

=

, , ottenute con uno dei

vanno quindi calcolati a partire dalle stime i 1, 2, …, p

 i

criteri illustrati nel capitolo 2. Le condizioni di ricorsività (1.4.5) permettono di

=

determinare le matrici , , dalle quali si risale poi alle ,

i 0, 1, 2, …

Ψ̂ Θ̂

i i

= , mediante le (1.6.5) dove è sostituita dalla matrice calcolata

i 0, 1, 2, … P

ˆ ˆ ˆ ′

=

scomponendo la matrice di dispersione stimata con la (2.4.5) o con la

Σ P P

u

(2.4.6) oppure ancora con la (2.9.3) utilizzando il criterio della massima

verosimiglianza.

Il vettore può essere calcolato mediante la (1.4.6) a partire dalle stime ,

ν̂ Â i

= , e , determinata quest’ultima con il criterio dei minimi quadrati

i p

1, 2, …, ĉ

(2.2.2) oppure tramite con il criterio della massima verosimiglianza (2.9.1) o

µ̂

quello di Yule-Walker (2.6.7).

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione

In maniera del tutto analoga si procede per la scomposizione della varianza

= −1

dell’errore di proiezione. Determinate le matrici , , e , una

i h

0, 1, …,

Ψ̂ Σ̂

i u ϑ̂

stima dell’MSE matriciale è ottenuta mediante la (3.3.12), mentre i valori jm ,

i

= −1

sono estratti dalle matrici , .

i h

0, 1, …,

Θ̂ i Pagina 3-19

Modulo X – Modelli VAR

Osservazione 3.2 – E’ molto utile corredare le stime individuate in

questo paragrafo con intervalli di confidenza, ma questi sono stati

determinati in forma analitica soltanto asintoticamente e la loro

4

trasposizione per piccoli campioni fornisce generalmente risultati

inaccettabili. Risultati migliori possono essere conseguiti mediante la

simulazione Monte Carlo.

Esempio – Riprendiamo il modello VAR(1) del paragrafo 1.8. Mostriamo gli

effetti di un impulso ortogonale di intensità pari ad una deviazione standard

sull’equazione del tasso di crescita del PIL reale degli USA sul tasso di crescita del

PIL reale statunitense, giapponese ed italiano. shock

La rappresentazione grafica delle tre risposte allo prodotto è riportata

nella Figura 3.2.

Risposta di USA ad un impulso su USA Risposta di JAP ad un impulso su USA Risposta di ITA ad un impulso su USA

.7 .3 .4

.6 .2 .3

.5 .1

.4 .2

.0

.3 -.1 .1

.2 -.2

.1 .0

-.3

.0

-.1 -.4 -.1

2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

Figura 3.2 Funzioni di risposta di USA, JAP e ITA ad un impulso prodotto sull’equazione

del tasso di crescita USA (linee continue) ed intervalli di confidenza (linee tratteggiate),

relativamente ad un orizzonte di dieci trimestri. Valori espressi in termini percentuali.

L’impulso prodotto esercita un aumento immediato del tasso di crescita per gli

USA e per l’Italia ed una diminuzione in quello giapponese. Gli effetti appaiono di

modesta entità sia in termini di intensità (la risposta massima, in termini assoluti,

shock

è pari allo 0.6%), sia in termini di persistenza (lo viene assorbito totalmente

in sei trimestri nel caso degli USA e del Giappone in sette trimestri per l’Italia).

Risultati simili si ottengono analizzando il contributo esercitato dal tasso di

crescita degli USA sulla varianza dell’errore di proiezione per le tre economie

esaminate.

I risultati sono riportati nella tavola seguente.

Si veda Lütkepohl (1991, p. 98).

4 Pagina 3-20

Modulo X – Modelli VAR

USA JAP ITA

h

1 100.00 1.63 0.77

0.00 -3.26 -2.93

2 96.96 1.70 2.94

-3.43 -3.31 -4.20

3 95.77 1.90 3.66

-4.28 -3.43 -4.69

4 95.40 1.97 3.89

-4.56 -3.51 -4.91

5 95.29 1.99 3.96

-4.66 -3.54 -5.00

6 95.26 1.99 3.98

-4.69 -3.56 -5.04

7 95.25 2.00 3.98

-4.70 -3.56 -5.05

8 95.25 2.00 3.99

-4.71 -3.57 -5.06

9 95.25 2.00 3.99

-4.71 -3.57 -5.06

10 95.25 2.00 3.99

-4.71 -3.57 -5.07

Tavola 3.1 Contributo del tasso di crescita degli USA sulla varianza dell’errore di

proiezione di USA, JAP e ITA. Standard error in corsivo. Valori percentuali.

Nel caso statunitense essa “spiega” la quasi totalità della varianza dell’errore di

proiezione della variabile USA, mentre per le variabili JAP e ITA tale contributo

non appare statisticamente diverso da zero. Pagina 3-21

Modulo X – Modelli VAR

3.9. Test di non causalità secondo Granger

Nel paragrafo 3.6 la non causalità secondo Granger nei modelli VAR è stata

caratterizzata dal fatto che fossero nulli alcuni parametri nella rappresentazione a

somma mobile oppure altri nella rappresentazione autoregressiva. Consideriamo

questi ultimi nell’ipotesi nulla (3.6.8) equivalente all’altra

( ) ( )

= = =

i i

H a A 0 i p

: vec 1, 2, …,

0 12

e quindi ancora all’altra ⋅ = (non causalità secondo Granger)

H : R π r (3.9.1)

0

è il vettore definito dalla seconda delle (2.1.6), è una matrice di zeri ed

dove R

π ( )

×( + i

uno di ordine che seleziona i parametri delle sottomatrici ,

q kp k A

) 12

= ×1

, ed è un vettore di zeri di ordine .

i p r q

1, 2, …,

Dalla (2.4.2) otteniamo la normalità asintotica per lo stimatore OLS, uguale a

e quindi

quello della massima verosimiglianza, π̂

[ ]

( )

( ) ′

− 

→ ⊗

d 1

ˆ

n N ,

R π R π 0 R Q Σ R

u

Da questa normalità asintotica, per una usuale proprietà stocastica delle forme

quadratiche, si trae [ ]

( )

( ) ( )

= − ⊗ − 

→ χ

d

1 2

ˆ ˆ (3.9.2)

n R π r R Q Σ R R π r

ξ W u q è detta

tramite la quale è possibile verificare l’ipotesi nulla (3.9.1). La statistica ξ W

di Wald così come il test di non causalità.

E’ necessario, tuttavia, aggiungere due precisazioni. In primo luogo,

generalmente e non sono noti e quindi devono essere stimati. In secondo

Q Σ u

luogo, per gli usuali piccoli campioni la (3.9.2) deve essere corretta. Se le stime sono

le (2.4.4) e (2.4.6) con i relativi stimatori che sono consistenti, Lütkepohl

(1991, p.94) suggerisce di modificare la statistica con l’altra , che si

/ q

ξ ξ

W W

− +1

distribuisce approssimativamente come una di Fisher con e gradi di

F q n kp

libertà.

Esempio – Utilizziamo ancora il modello VAR (1.8.1). Un aspetto

particolarmente interessante che può essere esaminato attraverso il test di non

shock

causalità esposto in questo paragrafo attiene alla trasmissione degli tra i

diversi paesi.

Verifichiamo l’ipotesi di non causalità secondo Granger dei tassi di crescita del

PIL reale del Giappone e dell’Italia nell’equazione del tasso di crescita del PIL degli

USA. I risultati sono riportati nella Tavola 3.2. Pagina 3-22


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Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto, tratto dal corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci, analizza la proiezione e la causalità generate dai modelli VAR. Nello specifico i temi trattati sono: La proiezione puntuale, Il caso del valor medio nonnullo, La causalità secondo Granger, Risposte all’impulso, Test di non causalità.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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