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Lezione 21

Sommatoria {a } ∈

Data la sequenza a a e p si ha

N

, , . . . , n

1 2 n+p

n X

X = a

a .

h−p

k

=1 h=1+p

k

Quest’ultima regola prende il nome di cambiamento di indice. Per

= +

ricordarcela meglio possiamo fare così: scegliamo h k p e quindi

modifichiamo tre cose:

l’indice di partenza 1;

l’indice di arrivo n;

il termine generale a .

k

Essi prima erano scritti rispetto a k e ora vanno riscritti rispetto ad h.

Passiamo a calcolare la somma di particolari sequenze di numeri. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 21 5 / 14

Lezione 21

Progressione aritmetica

Definizione {a }

La sequenza a a si dice progressione aritmetica se la

, , . . . , n

1 2 ∈

differenza tra un termine ed il precedente è costante cioè esiste q R

(detta ragione) tale che

− = ∀k =

a a q, 2, n.

. . . ,

k k −1

Le progressioni aritmetiche sono determinate univocamente dal primo

elemento a e dalla ragione q

= = + = + = + (n −

a a, a a q, a a 2q, a a 1)q.

. . . , n

1 2 3 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 21 6 / 14

Lezione 21

Progressione aritmetica

Supponiamo di voler calcolare la somma dei primi 100 numeri

partendo da 1. Indicato con S tale valore abbiamo

= + + + · · · + + +

S 1 2 3 98 99 100

= + + + · · · + + +

S 100 99 98 3 2 1.

Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene

= (1 + + (2 + + · · · + (99 + + (100 +

2S 100) 99) 2) 1)

= + + · · · + + = ·

101 101 101 101 100 101

{z }

| volte

100 100·101 =

= 5.050.

A questo punto il gioco è fatto: S 2 dsm

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Lezione 21

Progressione aritmetica

In generale la somma dei primi n numeri naturali (a partire da 1) è

n +

n(n 1)

X =

k 2

=1

k

Grazie a questa formula possiamo calcolare la somma di tutte le

=

progressioni aritmetiche di primo termine a a e ragione q:

1 n

n

n X

X

X (k −

+

(a + (k − = 1)

a q

1)q) =1

=1

=1 k

k

k n−1

X

= + h

na q h=0 −

n(n 1)

= +

na q . dsm

2

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 21 8 / 14

Lezione 21

Progressione aritmetica

Esempio

Versiamo, a partire dal prossimo anno, n rate annuali dal valore di R

Euro presso un istituto che garantisce un tasso di interesse annuo i in

regime di capitalizzazione semplice. Qual è il valore del montante

dopo l’ultimo versamento?

Capitalizzare in regime semplice un capitale C per m anni al tasso di

=

interesse annuale i produce un interesse pari a I Cim e quindi un

montante = + = +

M C I C(1 im). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 21 9 / 14

Lezione 21

Progressione aritmetica

Abbiamo quindi la seguente situazione

R(1+(n−1)i)

R(1+(n−3)i) R

" " & & n

n 1

0 3

1 2 ; >

; >

R(1+i)

R(1+(n−2)i)

Quindi il montante finale sarà

n

n(n 1)i

X

(1 + (k − =

= · +

1)i)

M R R n .

2

=1

k dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti.
Sommatorie e loro proprietà: linearità, proprietà dissociativa, formula del cambiamento di indice.
Progressioni aritmetiche: definizioni e formule basilari; calcolo della somma di una progressione aritmetica.
Progressioni geometriche: definizioni e formule basilari; calcolo della somma di una progressione geometrica.
Applicazioni al calcolo dei montanti totali nell'interesse semplice e composto.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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