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Spazio reciproco

Problema della fase parte REALE di F

parte IMMAGINARIA di F

intensità 8

La funzione di Patterson

Caso monodimensionale

ρ(X) ρ(X+U)

Siano e i valori della densità elettronica in due

punti ed separati dal vettore U, di una struttura

X X+U,

monodimensionale. La funzione di Patterson è cosi'

definita: a

= ρ ⋅ ρ +

P (

U ) ( X ) ( X U ) dX

0

La funzione di Patterson

a

= ρ ⋅ ρ +

P (

U ) ( X ) ( X U ) dX

0

Per calcolare il valore della funzione per un determinato valore di si

U,

consideri il vettore U e si proceda come segue:

(a) si sposta l'origine del vettore stesso di incrementi successivi dX da

= 0 fino a =

X X a;

(b) (b) per ogni successivo spostamento si valuta il prodotto dei valori

della densità elettronica ai due estremi del vettore U;

(c) (c) si sommano i valori ottenuti (integrale come somma di infiniti

contributi infinitesimi). 9

La funzione di Patterson

L'integrale avrà un valore alto quando, nel corso dei successivi

P(U)

spostamenti, il vettore U si trovi a connettere due atomi (punti ad

alta densità elettronica), un valore tanto più alto quanto maggiore è il

prodotto dei numeri atomici dei due atomi connessi. Eseguendo il

calcolo ora descritto per i diversi valori di U, tra 0 e a, si ottiene

l'intera funzione P(U).

La funzione di Patterson 10

La funzione di Patterson

1

= ρ ⋅ ρ +

P (

u ) a ( x ) ( x u ) dx

0

ρ(x) ρ(x+u)

Sostituendo a e il relativo sviluppo in serie di

Fourier si ottiene

1    

1 1

∑ ∑

− π − π

= ⋅

2 ihu 2 ih '

u

   

P (

u ) a F e F e d x

h h

h h '

   

a a

0 1

1 ∑ ∑ − π − π +

= 2 ih '

u 2 i ( h h ' ) x

P (

u ) F F e e d x

h h '

h h '

a 0

La funzione di Patterson

1

1 ∑ ∑ − π − π +

= 2 ih '

u 2 i ( h h ' ) x

P (

u ) F F e e d x

h h '

h h '

a 0

−h;

Integrale nullo tranne che per = in tal caso l'integrale vale 1

h'

1 1

∑ ∑

π π

2

= =

2 ihu 2 ihu

P (

u ) F F e F e

h h

h

h h

a a

la funzione di Patterson è sempre centrosimmetrica e può

P(u)

quindi scriversi più semplicemente:

1 ∑ 2

= π

P (

u ) F cos 2 hu

h

h

a 11

La funzione di Patterson

Le forme bi- e tridimensionali della (14.6) sono,

rispettivamente:

1 ∑ ∑ 2

= π +

P uv F hu kv

( ) cos 2 ( )

hk

h k

A

1 ∑ ∑ ∑ 2

= π + +

P (

uvw

) F cos 2 ( hu kv lz )

hkl

h k l

V

dove e sono, rispettivamente, l'area della cella

A V

bidimensionale ed il volume della cella tridimensionale.

La funzione di Patterson

Le forme bi- e tridimensionali della (14.6) sono,

rispettivamente:

1 ∑ ∑ 2

= π +

P uv F hu kv

( ) cos 2 ( )

hk

h k

A

1 ∑ ∑ ∑ 2

= π + +

P (

uvw

) F cos 2 ( hu kv lz )

hkl

h k l

V

dove e sono, rispettivamente, l'area della cella

A V

bidimensionale ed il volume della cella tridimensionale. 12

La funzione di Patterson

la distribuzione di atomi in una cella elementare di una struttura bidimensionale

e la corrispondente distribuzione di massimi nella funzione di Patterson

Numero di massimi

Se la struttura contiene atomi nella cella elementare, il

N

numero di massimi della f. P. sarà pari al doppio del

numero di coppie di atomi; ogni coppia di atomi A e B

individua, infatti, due vettori AB e BA. Ai corrispondenti

massimi va aggiunto il massimo che ogni f. P. presenta

sull'origine, in corrispondenza del vettore, di modulo

nullo, che connette ciascun atomo con se stesso. In

conclusione il numero totale di massimi della f. P. sarà:

≈ 2

.

N(N+1)+1 N 13

Altezza dei massimi

Il massimo corrispondente al generico vettore che connette

due atomi della struttura, sarà tanto più elevato quanto

maggiore è il prodotto dei numeri atomici dei due atomi.

I massimi della f. P. avranno quindi altezze diverse e i

massimi corrispondenti a vettori congiungenti atomi

pesanti saranno nettamente rilevati.

Centro di inversione

Ad ogni vettore che connette due atomi, es. vettore AB,

corrisponde il vettore opposto, BA nell'esempio fatto.

I massimi corrispondenti a tali vettori sono

centrosimmetricamente disposti e, ovviamente, di uguale

rilievo. 14

Simmetria della f.P.

Simmetria della mappa di Patterson:

slittopiano nella struttura piano di simmetria nella f. P

elicogire di ordine n assi di simmetria dello stesso ordine

Tenendo conto, inoltre, della presenza del centro di

inversione, i gruppi spaziali possibili per la f. P. si

restringono a 24 gruppi simmorfici centrosimmetrici .

Sistema Classi di

Classi cristalline Simmetria della f.P.

cristallino Laue

Triclino 1, -1 -1 P-1

Monoclino 2, m, 2/m 2/m P2/m, C2/m

Ortorombico 222, mm2 , mmm mmm Pmmm, Cmmm, Fmmm, Immm

4, -4, 4/m, 4222, 4mm, -42m,

Tetragonale 4/m, 4/mmm P4/m, I4/m, P4/mmm, I4/mmm

4/mmm

Trigonale 3, -3, 32, 3m, -3 m -3, -3m P-3, R-3, P-3m1, P-31m, R-3m

Esagonale 6, -6, 6/m, 622, 6mm, -62m, 6/mmm 6/m, 6/mmm P6/m, P6/mmm

Pm-3, Im-3, F-3m, Pm-3m,

Cubico 23, m-3, 432, -43m, m3m m-3, m-3m Fm-3m, Im-3m 15


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18

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze geologiche
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Cristallografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Bonaccorsi Elena.

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