Che materia stai cercando?

Potenza, forze e momenti Appunti scolastici Premium

Si consideri un corpo, i cui punti siano identificati dagli elementi dell’insieme B := {A, B}, e un suo posizionamento p : B → E. Il modo più semplice per descrivere la interazione meccanica del corpo con l’ambiente esterno consiste nell’assegnare una funzione lineare W(ext) detta potenza esterna che,... Vedi di più

Esame di Scienza delle costruzioni docente Prof. A. Tatone

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

8 potenza, forze e momenti

4.3 Decomposizione di una distribuzione di forza sulle facce di un pa-

rallelepipedo rettangolo 2 cambiando i nomi come in fig. 3 ed estenden-

Si consideri di nuovo la distribuzione di forze in fig.

dola alle facce ortogonali a . Si consideri poi la distribuzione di forze in fig. 4 costituita da una

e

3

distribuzione di forza sul bordo, uniforme su ciascuna faccia e opposta su facce opposte, definita

da 1 1 1

+ + +

− − −

:= ), := ), := ), (48)

+ + +

(t (t (t

t t t

t t t

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 2 2,

L’espressione del tensore momento risulta, dal caso descritto in fig.

1 1 1

+ + +

− − −

= ) + ⊗ ) + ⊗ )

+ + +

(t (t (t

V e

M e e

t t t

1

p 2 3

R 1 2 3

1 2 3

O 2 2 2 (49)

⊗ + ⊗ + ⊗

= ,

V e t e t e t

1 1 2 2 3 3

R

avendo scelto anche in questo caso il centro del parallelepipedo come polo. Si noti che dalla (49)

deriva la seguente proprietà = V ,

M e t

p 1 1

R

O = (50)

V ,

e t

M 2 2

p R

O = V .

M e t

p 3 3

R

O

Corrispondentemente per la matrice del tensore momento si ha

t t t

11 12 13 (51)

] =

[M t t t ,

V 21 22 23

p R 

O t t t

31 32 33

avendo posto

= + + = + + = + + (52)

t t t , t t t , t t t .

t e e e t e e e t e e e

1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 2 13 1 23 2 33 3

Ponendo inoltre 1 1 1

+ + +

− − −

′ ′ ′

:= (t − ), := (t − ), := (t − ), (53)

t t t t t t

1 2 3

1 1 2 2 3 3

ℓ ℓ ℓ

1 2 3

si ottiene la decomposizione ℓ ℓ

1 1

+ −

′ ′

= + = −

, ,

t t t t t t

1 1

1 1

1 1

2 2

ℓ 2

2

+ −

′ ′ (54)

= −

= + , ,

t t t t

t t 2

2 2 2

2

2 2 2

ℓ 3

3

+ −

′ ′

= −

= + , .

t

t t t

t

t 3

3 3 3

3

3 2 2

Poichè la forza risultante è ′ ′ ′

= (t + + ), (55)

V

f t t

R 1 2 3

si può definire la distribuzione uniforme di forza di volume

′ ′ ′ ′

:= + + (56)

t t t t

1 2 3

che ha risultante e momento nullo rispetto a , centro del parallelepipedo. Infatti risulta

f p O

Z ′ ′

(x − ) ⊗ = (c − ) ⊗ = (57)

dV V

t t O,

p p

O O

R R

R

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

9

potenza, forze e momenti +

t 2 +

−t t

1 1

e

2 −

−t

e

1 2

Figura 3: Corpo soggetto a una distribuzione di forza uniforme sulle facce.

t 2 t 1

−t 1

e

2 −t

e 2

1

Figura 4: Corpo soggetto a una distribuzione di forza uniforme sulle facce, con valori opposti su

facce opposte.

poichè il baricentro definito dalla proprietà

c R Z

(c − )V = (x − ) (58)

dV.

p p

O O

R R R

coincide con il centro del parallelepipedo . Pertanto una distribuzione di forze costituita da

p O ′ e da una distribuzione di forze

una distribuzione uniforme di forze di volume data dalla (56)

t

superficiali descritta da 1

= ,

t M e

1 p 1

O

V R

1

= (59)

,

t e

M

2 2

p O

V R

1

= ,

M e

t p 3

3 O

V R

appartiene alla stessa classe di equivalenza della distribuzione di forze in

con dato dalla (49),

M p O

fig. 3.

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

10 potenza, forze e momenti

n

−t t

1

e

2 −t 2

e

1

Figura 5: Corpo soggetto a una distribuzione di forza applicata sul bordo.

4.4 Distribuzione di forza sulle facce di un prisma con sezione triango-

lare

Si consideri il corpo in fig. 5 a forma di prisma con sezione triangolare, con spigoli di lunghezza ,

ℓ 1

, , soggetto ad una distribuzione di forza uniforme sulle facce F , F e sulla faccia inclinata

ℓ ℓ

2 3 −1 −2

F tale che = (60)

− .

A

A A t o

t

t 2

1 F

F F −2

−1

Ne deriva 1

− − = ⇒ = (ℓ + ), (61)

ℓ L ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

t t t o t t t

3 3 2 1 3 1 2 2 1 1 2

L

p 22

21

con := . Scegliendo come polo il centro della faccia inclinata, il tensore momento ha

+

L ℓ

ℓ p O

l’espressione ℓ

ℓ 2

1 ⊗ (−t ) − ⊗ (−t ) = (e ⊗ + ⊗ ) (62)

= − ℓ ℓ ℓ ℓ V

e e t e t

M 2 3 1 1 1 3 2 2 1 1 2 2

p R

O 2 2

Si osservi che risulta 1

= ,

M e

t p 1

1 O

V R

1

= (63)

,

t M e

2 p 2

O

V R

1

= M n,

t p O

V R

essendo 1

:= (ℓ + ) (64)

n e e

2 1 1 2

L

la normale esterna unitaria alla faccia inclinata.

4.5 Forze applicate al centro delle facce di un parallelepipedo

Si consideri un parallelepipedo di spigoli {u } con forze −f −f −f applicate al

, , , , , , ,

u u f f f

1 2 3 1 1 2 2 3 3

6. La forza risultante è nulla e il tensore

centro delle facce e opposte su facce opposte, come in fig.

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

11

potenza, forze e momenti f 2

p C f 1

p A

p B

−f 1

e

2 p D

−f 2

e

1

Figura 6: Corpo a forma di parallelepipedo soggetto a forze applicate al centro delle facce.

momento risultante è = ⊗ + ⊗ + ⊗ (65)

.

M u f u f u f

1 1 2 2 3 3

Indicando con {n } i vettori normali unitari alle facce del parallelepipedo, si esprima ad

, ,

n n

1 2 3

esempio come combinazione lineare dei vettori {u }

, ,

n u u

1 1 2 3

= + + (66)

ν ν ν .

n u u u

1 11 1 21 2 31 3

Questa combinazione lineare si può trasformare, dividendo per , nella seguente

ν 11

= + + (67)

h α α .

u n u u

1 1 1 21 2 31 3

Si osservi che, essendo il vettore unitario e ortogonale a e , si ha

n u u

1 2 3

· = (h + + ) · = (68)

α α h .

u n n u u n

1 1 1 1 21 2 31 3 1 1

Inoltre, per le proprietà del volume e dell’area,

= vol (u ) = vol (u ) = vol (u + + )

V , , , , , , h α α

u u u u u n u u

1 2 3 2 3 1 2 3 1 1 21 2 31 3

R = vol (u ) = vol (u ) =

, , h h , , h A

u n u n

2 3 1 1 1 2 3 1 1 F (69)

1

V R

⇒ =

h .

1 A

F 1

Notare che non è altro che l’altezza del parallelepipedo rispetto alla faccia F . Riassumendo:

h 1 1

V R · = 0 · = 0 (70)

· = , , .

u n u n

u n 2 1 3 1

1 1 A

F 1

Dall’espressione del tensore momento si ha pertanto V R (71)

= (u ⊗ + ⊗ + ⊗ ) = (u · )f = f

Mn f u f u f n n 1

1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 A

F 1

e infine f

M 1 (72)

= .

n 1

V A

R F 1

Analoghe espressioni si ottengono applicando a e .

M n n

2 3

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

12 potenza, forze e momenti

t 2

−t 1 t 1

e

2 −t 2

e

1

Figura 7: Corpo a forma di parallelepipedo soggetto a una distribuzione di forza uniforme sulle

facce, con valori opposti su facce opposte.

4.6 Distribuzione di forza sulle facce di un parallelepipedo

Si consideri un parallelepipedo di spigoli {u } con distribuzioni uniformi di forze oppo-

, ,

u u

1 2 3

ste −t −t −t applicate rispettivamente alle facce opposte, come in fig. 7. La forza

, , , , ,

t t t

1 1 2 2 3 3

risultante è nulla e il tensore momento risultante è

Z Z

= (x − ) ⊗ + (x − ) ⊗ (−t )

dA dA

M t

p p

O 1 O 1

F F

1 −1

Z Z

+ (x − ) ⊗ + (x − ) ⊗ (−t )

dA dA

t

p p

O 2 O 2

F F

2 −2

Z Z

+ (x − ) ⊗ + (x − ) ⊗ (−t )

dA dA

t

p p

O 3 O 3

F F

3 −3

− ) ⊗ (−t )

+ (c

− ) ⊗

= (c A

A

t p

p O 1

O 1 F

F

F

F 1

1 −1

−1 − ) ⊗ (−t )

+ (c

− ) ⊗

+ (c A

A

t p

p O 2

O 2 F

F

F

F 2

2 −2

−2 − ) ⊗ (−t )

+ (c

− ) ⊗

+ (c A

A

t p

p O 3

O 3 F

F

F

F 3

3 −3

−3 ⊗ (73)

⊗ +

⊗ +

= A

A

A u t

u t

u t 3 3

2 2

1 1 F

F

F 3

2

1

avendo posto Z = vol(u )

= , , ,

dA A u n

2 3 1

F 1

F 1

Z = vol(u )

= , , ,

dA A u n (74)

3 1 2

F 2

F 2

Z = vol(u )

= , , ,

dA A u n

1 2 3

F 3

F 3 si ha

con {n } le normali esterne unitarie alle facce F , F e F . Utilizzando le (70)

, ,

n n

1 2 3 1 2 3

= (75)

⊗ = (u · )

⊗ +

⊗ +

= V

A

A

A

A t t

u t n n

u t

u t

M n 1 1

3 3 1 1 1

2 2

1 1

1 R

F

F

F

F 1

3

2

1

e infine M = (76)

.

n t

1 1

V R

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

13

potenza, forze e momenti t 2

φ −t t

1 1

e

2 −t 2

e

1

Figura 8: Corpo deformato soggetto a una distribuzione di forza uniforme sulle facce, con valori

opposti su facce opposte.

Analoghe espressioni si ottengono applicando a e a . Si noti che i vettori {n } non

, ,

M n n n n

2 3 1 2 3

sono in generale ortogonali tra loro, come non lo sono i vettori {u }.

, ,

u u

1 2 3

4.7 Distribuzione di forza sulle facce di un parallelepipedo deformato

Si consideri il parallelepipedo di spigoli {u } del paragafo precedente, con distribuzioni uni-

, ,

u u

1 2 3

formi di forze opposte −t −t −t applicate rispettivamente alle facce opposte, ottenuto

, , , , ,

t t t

1 1 2 2 3 3

attraverso una deformazione affine con gradiente di un parallelepipedo di spigoli {ū },

, ,

F ū ū

1 2 3

come in fig. 8. Come già visto la forza risultante è nulla. L’espressione del tensore momento (73)

si può trasformare nel modo seguente ⊗

⊗ +

⊗ +

= A

A

A u t

u t

u t

M 3 3

2 2

1 1 F

F

F 3

2

1 ⊗

⊗ +

⊗ +

= A

A

A Fū t

Fū t

Fū t 3 3

2 2

1 1 F

F

F 3

2

1 T

T

T (ū ⊗ )F (77)

(ū ⊗ )F +

(ū ⊗ )F +

= A

A

A t

t

t 3 3

2 2

1 1 F

F

F 3

2

1

Indicando con {n̄ } le normali esterne unitarie alle facce F̄ , F̄ e F̄ del parallelepipedo

, ,

n̄ n̄

1 2 3 1 2 3

{ū }, si consideri la combinazione lineare

, ,

ū ū

1 2 3 (78)

+

+

= .

ᾱ

ᾱ

h̄ ū

ū 3

2 31

1 21

1 1

Essendo il vettore unitario e ortogonale a e , si ha

n̄ ū ū

1 2 3 ) · = (79)

+

+

· = ( h̄ .

ᾱ

ᾱ

h̄ ū n̄

ū n̄ 3 1 1

2 31

1 21

1 1 1

Inoltre, per le proprietà del volume e dell’area, )

+

+

= vol (ū ) = vol (ū ) = vol (ū ᾱ

ᾱ

V , , , , , , h̄ ū

ū ū ū ū ū 3

2 31

1 21

1 2 3 2 3 1 2 3 1

R̄ ) = vol (ū ) =

= vol (ū h̄ , , h̄ A

, , h̄ n̄ ū n̄

ū 1 1 2 3 1 1

2 3 1 F̄ (80)

1

V R̄

⇒ =

h̄ .

1 A

F̄ 1

Riassumendo V R̄

· = · = 0 · = 0 (81)

, , .

ū n̄ ū n̄ ū n̄

1 1 2 1 3 1

A

F̄ 1

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

14 potenza, forze e momenti

Trasformando le espressioni precedenti nelle

V R̄

−1 −1 −1

· = · = 0 · = 0 (82)

, , ,

n̄ F u n̄ F u n̄ F u

1 1 1 2 1 3

A

F̄ 1

V T

T

T R̄ −1

−1

−1 · = 0 (83)

· = 0 (F )

· = (F )

(F ) ,

,

, n̄ u

n̄ u

n̄ u 1 3

1 2

1 1 A

F̄ 1 T

−1 è ortogonale sia a che a come lo è . Si può

si può osservare che il vettore (F ) n̄ u u n

1 2 3 1

pertanto porre T

−1 = (84)

(F ) k̃ .

n̄ n

1 1 1

Ne deriva che T

−1 · = · (85)

(F ) k̃

n̄ u n u

1 1 1 1 1

e (70),

e, per le (83) V V R

R̄ (86)

= .

k̃ 1

A A

F

F̄ 1

1

Risulta dunque 1 A

A

V F

F

R̄ 1

1 = (87)

= .

k̃ 1 det

V A A

F

R F̄ F̄

1 1

Ponendo A

F 1

:= (88)

k 1 A

F̄ 1

la (84) si scrive T

−1 = (89)

(det ) k .

n̄ n

F)(F 1 1 1

Si dice cofattore di il tensore

F T

−1

cof := (det ) (90)

.

F F)(F

Essendo unitario, il rapporto tra le aree si può calcolare come

k

n 1 1

= k(cof k (91)

k ,

F) n̄

1 1

mentre il vettore si ottiene come

n 1 cof F

= (92)

.

n n̄

1 1

k(cof k

F) n̄ 1

del tensore momento si può trasformare nella seguente

L’espressione (77) T −1 (ū ⊗ ). (93)

(ū ⊗ ) +

(ū ⊗ ) +

) = A

A

A t

t

t

M(F 3 3

2 2

1 1 F

F

F 3

2

1

Applicando questo tensore alla normale si ottiene

n̄ 1

T −1

(ū ⊗ )

(ū ⊗ ) +

(ū ⊗ ) +

=

) A

A

A n̄

t

t

t

M(F 1

3 3

2 2

1 1

1 F

F

F 3

2

1 V R̄

(ū · )t =

= (94)

A

A n̄ t

1 1 1 1

F

F 1

1 A

F̄ 1

da cui M T −1 = (95)

(F ) k

n̄ t

1 1 1

V R̄

e anche M M

T −1 =

(det ) (cof = (96)

k .

F)(F F) n̄ t

1 1 1 1

V V

R R

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

15

potenza, forze e momenti

Si noti che la forza superficiale := (97)

k

t̄ t

1 1 1

è tale che, per la (88), (98)

= .

A

A t

t̄ 1

1 F

F̄ 1

1

Analoghe espressioni si ottengono per le altre facce. Riguardando , , come distribuzioni di

t̄ t̄ t̄

1 2 3

forze sulle facce del parallelepipedo di spigoli {ū }, il loro momento risulta

, ,

ū ū

1 2 3

= (ū ⊗ ) + (ū ⊗ ) + (ū ⊗ )

A A A

M̄ t̄ t̄ t̄

1 1 2 2 3 3

F̄ F̄ F̄

1 2 3 (ū ⊗ )

(ū ⊗ ) +

(ū ⊗ ) +

= A

A

A t

t

t 3 3

2 2

1 1 F

F

F 3

2

1 T −1

= ) (99)

M(F

può pertanto essere trasformata nella

La (95) M̄ = (100)

.

n̄ t̄

1 1

V R̄

4.8 Matrice del cofattore

Al fine di costruire la matrice del cofattore di definito nella (90), si consideri il caso in cui i vet-

F

tori {ū } coincidano con i vettori della base ortonormale {e }. Con riferimento alla

, , , ,

ū ū e e

1 2 3 1 2 3

8, siano {n } i vettori normali unitari alle facce del parallele-

deformazione descritta in fig. , ,

n n

1 2 3

pipedo generato dai vettori {u } ottenuti applicando ai vettori {e }. Considerando

, , , ,

u u F e e

1 2 3 1 2 3

la faccia F si noti che la sua area, già definita nelle (70), si può esprimere come

1 = vol(u ) = vol(n ) = vol(n ) (101)

, , , , , , .

A u n u u Fe Fe

2 3 1 1 2 3 1 2 3

F 1

I vettori della base {e } si possono esprimere come combinazioni lineari dei vettori indipen-

, ,

e e

1 2 3

denti {n }

, ,

Fe Fe

1 2 3 = + +

γ γ γ ,

e n Fe Fe

1 11 1 21 2 31 3

= + + (102)

γ γ γ ,

e n Fe Fe

2 12 1 22 2 32 3

= + +

γ γ γ ,

e n Fe Fe

3 13 1 23 2 33 3

in cui, essendo ortogonale sia a che a , risulta

n Fe Fe

1 2 3

· = γ ,

n e

1 1 11

· = (103)

γ ,

n e

1 2 12

· = γ .

n e

1 3 13

Ne deriva che

vol(e ) = vol(γ ) = (n · ) vol(n ) = (n · )A

, , , , , , ,

Fe Fe n Fe Fe e Fe Fe e

1 2 3 11 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1

F

vol(e ) = vol(γ ) = (n · ) vol(n ) = (n · )A (104)

, , , , , , ,

Fe Fe n Fe Fe e Fe Fe e

2 2 3 12 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1

F

vol(e ) = vol(γ ) = (n · ) vol(n ) = (n · )A

, , , , , , .

Fe Fe n Fe Fe e Fe Fe e

3 2 3 13 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1

F

Dalle (89) e (88), essendo = 1, si ha

A

F̄ 1 (105)

cof = = .

k A n

F e n 1

1 1 1 F 1

Le componenti di tale vettore, che costituiscono la prima colonna della matrice di cof si ottengono

F,

attraverso il prodotto scalare con i vettori della base {e } che, utilizzando le (104), fornisce

, ,

e e

1 2 3

(n · ) = vol(e ) = −

cof · = , , f f f f ,

A e Fe Fe

F e e 1 1 1 2 3 22 33 23 32

1 1 F 1 (n · ) = vol(e ) = −

cof · = (106)

, , f f f f ,

A e Fe Fe

F e e 1 2 2 2 3 32 13 33 12

1 2 F 1 (n · ) = vol(e ) = −

cof · = , , f f f f .

A e Fe Fe

F e e 1 3 3 2 3 12 23 13 22

1 3 F 1

DISAT, Università dell’Aquila, 17 aprile 2011 (652) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.


PAGINE

18

PESO

177.88 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Si consideri un corpo, i cui punti siano identificati dagli elementi dell’insieme B := {A, B}, e un suo posizionamento p : B → E. Il modo più semplice per descrivere la interazione meccanica del corpo con l’ambiente esterno consiste nell’assegnare una funzione lineare W(ext) detta potenza esterna che, in corrispondenza del posizionamento p, trasforma un qualsiasi campo di velocità in uno scalare. La scelta dello spazio dei campi di velocità da prendere in considerazione nella valutazione della potenza (campi di velocità test), svolge un ruolo cruciale nella definizione di un modello di corpo. Se in un campo di velocità test le velocità in corrispondenza di pA e pB si indicano con vA, vB la potenza ammette un’unica rappresentazione nella forma W(ext)(vA, vB) = fA · vA + fB · vB. I vettori fA, fB si dicono forze esterne applicate rispettivamente ai punti A, B.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria chimica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Scienza delle costruzioni

Travi
Dispensa
Rotazioni
Dispensa
Elasticità lineare per corpi affini
Dispensa