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Lezione 18

Polinomi di Taylor

Esempio 2

(x) =

Calcolare la retta e la parabola tangente a f 2x x ln x nel

=

punto di ascissa x 1.

0 1

2

(x) = (x) = , la retta tangente è

Poiché Df 4x ln x 1 e D f 4

− − − x

= (x ) + (x )(x ) = + =

y f Df x 2 3(x 1) 3x 1

− − −

0 0 0

mentre la parabola tangente risulta 2 (x )

D f 0 2

(x )

= (x ) + (x )(x ) + x

y f Df x −

− 0

0 0 0 2

3 2

(x

= + + 1)

2 3(x 1) −

− 2

1

3 2 +

= x

2 2 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 18 7 / 19

Lezione 18

Polinomi di Taylor

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Figure: Relazione tra f , la sua retta tangente e la sua parabola tangente dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 18 8 / 19

Lezione 18

Polinomi di Taylor : (a, (a,

In generale, se f b) è derivabile n volte e x b), il

R

−→ ∈

0

polinomio di Taylor di f in x di grado n è

0 2 (x )

D f 0 2

(x, ) = (x ) + (x )(x ) + (x ) +

P x f Df x x

− − . . .

n 0 0 0 0 0

2! n (x )

D f 0 n

+ (x )

x

... 0

n!

dove n! si legge “n fattoriale” ed indica il prodotto di tutti i numeri

naturali compresi tra 1 e n cioè

= = = = = =

1! 1, 2! 1 2 2, 3! 1 2 3 6, n! 1 2 3 n

· · · · · · ·

. . . . . . dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 18 9 / 19

Lezione 18

Polinomi di Taylor (x, )

Il polinomio di Taylor P x rappresenta il polinomio di grado n

n 0

tangente a f nel punto di ascissa x cioè vale il seguente risultato

0

Teorema (di Taylor)

: (a, (a,

Se f b) è derivabile n volte e x b), il polinomio di

R

−→ ∈

0

(x, )

Taylor P x è l’unico polinomio di grado n tale che

n 0 (x) (x, )

f P x

− n 0 = 0.

lim n

(x )

x

x→x − 0

0

=

Nel caso in cui x 0 il polinomio di Taylor prende il nome di polinomio

0

di McLaurin. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 18 10 / 19

Lezione 18

Polinomi di Taylor

I polinomi di McLaurin delle funzioni elementari

2 3 4 5

x x x x

x + + + + + +

e 1 x ...

2! 3! 4! 5!

3 4 5 6

2 x x x x

x + + +

+

ln(1 x) x − −

− ...

2 3 4 5 6

4 6 8 10

2 x x x x

x + + +

cos x 1 − −

− ...

2! 4! 6! 8! 10!

5 7 9 11

3 x x x x

x + + +

sen x x − −

− ...

3! 5! 7! 9! 11! dsm

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Lezione 18

Polinomi di Taylor

9 3

x x

f(x)=e f(x)=e

8 p (x)=1+x p (x)=1+x

1 1

2.5

2 2

p (x)=1+x+x /2! p (x)=1+x+x /2!

7 2 2

2 3 2 3

p (x)=1+x+x /2!+x /3! p (x)=1+x+x /2!+x /3!

6 3 3

2

5

4 1.5

3 1

2

1 0.5

0

−1 0

−2

−3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

(x ) =

Figure: Relazione tra f e ed alcuni polinomi di McLaurin dsm

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Lezione 18

Polinomi di Taylor

3 1.5

f(x)=sen x f(x)=sen x

p (x)=x p (x)=x

1

1 3 3

2 1

p (x)=x−x /6 p (x)=x−x /6

3

3 3 5

3 5

p (x)=x−x /6+x /120 p (x)=x−x /6+x /120

5

5

1 0.5

0 0

−1 −0.5

−2 −1

−3 −1.5

−3 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

(x ) =

Figure: Relazione tra f sen x ed alcuni polinomi di McLaurin dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 18 13 / 19

Lezione 18

Polinomi di Taylor

Esempio

Calcoliamo il polinomio di McLaurin di grado 3 della funzione

x

(x) =

f e xe .

−x −

Metodo standard. Calcoliamo le derivate di f :

x x

(x) =

Df e xe

−x

−e − −

2 x x x x x

(x) = =

D f e e e xe e 2e xe

−x −x

− − − − −

3 x x x x x

(x) = =

D f 2e e xe 3e xe

−x −x

−e − − − −e − −

Allora il polinomio di McLaurin di f è 3

2 (0)

(0) D f

D f 2 3

+

(x) = (0) + (0)x + x x

P f Df

3 2! 3!

3

2 2x

x

= 1 2x −

− − 2 3 dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Polinomi di Taylor: funzioni derivabili e differenziabili; determinazione della retta tangente ad una funzione in un punto; teorema di Taylor; tabella degli sviluppi di MacLaurin delle principali funzioni derivabili. Applicazioni dello sviluppo di Taylor-MacLaurin: determinazione del valore approssimato di un numero; calcolo di limiti in forma indeterminata.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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