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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (6)

• Il precedente sistema ha due soluzioni:

ϕ = 0 e R = x 0

oppure

ϕ π

= e R = - x 0

In entrambi i casi la legge oraria diventa:

cos(ωt)

x(t) = x 0

• Notiamo che dei tre parametri che compaiono

ω, ϕ,

nella legge oraria R, e il primo dipende dalle

caratteristiche fisiche del sistema, mentre gli altri

due dipendono dalle condizioni iniziali del moto. R

è l’ampiezza delle oscillazioni perché è il massimo

ϕ

valore di x(t), e la fase iniziale cioè la fase a t = 0

Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università “G.

. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (7)

• In realtà dalla legge oraria generale del moto

armonico: ϕ)

x(t) = R cos(ωt +

vediamo che R è sempre l’ampiezza delle

oscillazioni perché è il massimo valore di x(t)

• Nell’esempio precedente si poteva osservare che

poiché la massa partiva da ferma l’ampiezza delle

oscillazioni era uguale alla posizione iniziale x e

0

ϕ

calcolare successivamente

• La velocità in funzione del tempo è:

ωx sen(ωt)

v(t) = - 0

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (8)

• Con delle diverse condizioni iniziali avremmo avuto

ϕ ω

dei diversi valori delle costanti R e ma non di

m v 0 x

O

• Ad esempio se imprimiamo, nella posizione di riposo

alla massa m, le

della molla, una velocità iniziale v 0

condizioni iniziali sono:

x(0) = 0 e v(0) = v da cui otteniamo il sistema di

0

equazioni:

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (9)

 R cosϕ = 0

 ωR

- senϕ = v 0

• Il sistema ha due soluzioni:

ϕ π/2 /ω

= e R = - v 0

oppure

ϕ π/2

= - e R = v /ω

0

• In entrambi i casi la legge oraria diventa:

π/2)

x(t) = v /ω cos(ωt - = v /ω sen(ωt)

0 0

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (10)

• Notiamo che v /ω ha la dimensione di una

0

lunghezza ed è il massimo valore di x(t) quindi

rappresenta l’ampiezza delle oscillazioni

x(t) = X sen(ωt)

con X = v /ω

0

• Notiamo anche che: ϕ π/2

ωR ϕ) /ω) e =

v(t) = - sen(ωt + con R = - (v 0

ω π/2)

v(t) = (v /ω) sen(ωt +

0

v(t) = v cos(ωt)

0

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

PENDOLO SEMPLICE (1)

• Il pendolo è costituito da un corpo di massa m

attaccato ad un filo di lunghezza costante L del

quale la seconda estremità è sospesa ad un punto

fisso. Il corpo è soggetto alla forza peso e alla

tensione del filo

• Il pendolo semplice è un’idealizzazione nella quale

si considera il corpo un punto materiale e il filo privo

di massa

• Supponiamo che il pendolo compia delle oscillazioni

in un piano verticale e inoltre limitiamo lo studio al

caso di piccole oscillazioni vicino alla posizione di

equilibrio (sulla verticale del punto di sospensione

del filo)

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“G

PENDOLO SEMPLICE (2)

Poiché la massa m è

vincolata a muoversi lungo

un arco di circonferenza, la

posizione del pendolo è

θ(t)

individuata dall’angolo

L oppure dall’ascissa

θ(t) T curvilinea s(t)

La relazione tra queste due

m grandezze è:

s(t) s(t) = Lθ(t)

m

g La freccia curva in basso

indica il verso positivo di

θ(t) e s(t)

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PENDOLO SEMPLICE (3)

= T

+ m g

F

Notiamo che la forza

θ L risultante F non è

tangente alla traiettoria.

F = ma T Infatti deve esserci una

m componente centripeta

perché il punto descrive

mg un arco di circonferenza

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PENDOLO SEMPLICE (4)

Scomponiamo queste

forze lungo le direzioni

tangente e radiale:

θ F = - mg senθ

L t

F = T – mg cosθ

r

F = ma T Poiché F = ma è una

m relazione vettoriale essa

equivale alle due relazioni:

F = ma = mLα

θ

m

g t t

F = ma = mv /L

2

r r

α

dove è l’accelerazione

angolare e v la velocità

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PENDOLO SEMPLICE (5)

Otteniamo quindi le

equazioni:

mLα = - mg senθ

mv /L = T – mg cosθ

2

θ L La seconda ci dà la

tensione del filo:

F = ma T T = mg cosθ + mv /L

2

m La prima ci dà

l’accelerazione angolare:

θ

m

g α = - (g/L) senθ

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PENDOLO SEMPLICE (6)

≅ θ

Osserviamo che per angoli piccoli senθ

θ

senθ

O 1

Possiamo esprimere l’accelerazione angolare come:

α θ

= - (g/L)

Questa è l’equazione del moto di un oscillatore

armonico: θ

α ω

= - 2

ω

dove = g/L

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PENDOLO SEMPLICE (7)

• Quindi, per piccoli angoli di oscillazione, il pendolo

semplice descrive un moto armonico con

ω √(g/L)

pulsazione =

• Il periodo delle oscillazioni è dato dalla formula

generale T = 2π/ω. Nel caso del pendolo semplice,

il periodo è: T = 2π√(L /g)

• Osserviamo che il periodo non dipende dalla

massa del pendolo, ma solo dalla lunghezza del filo

e dall’accelerazione di gravità. Il periodo aumenta

all’aumentare della lunghezza del filo

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PENDOLO SEMPLICE (8)

ω

Osserviamo che in questo caso = g/L è la

! pulsazione mentre la velocità angolare del

pendolo è = v/L (che non è costante!)

Analogamente, non bisogna confondere

θ

l’angolo che individua la posizione del

! ωt ϕ

pendolo, con l’angolo + che

rappresenta la fase del moto armonico

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PENDOLO SEMPLICE (9)

• La legge oraria del moto armonico del pendolo

semplice esprime le variazioni nel tempo

θ

dell’angolo che definisce la posizione del pendolo

stesso: θ(t) Θ ϕ)

= cos(ωt +

Θ

dove è l’ampiezza (angolare) delle oscillazioni e

ϕ la fase iniziale

• Inoltre la velocità angolare è data da:

Ω(t) ωΘ ϕ)

= - sen(ωt + Θ ϕ

i valori delle costanti di integrazione e

dipendono dalle condizioni iniziali

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

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PENDOLO SEMPLICE (10)

Ad esempio se scostiamo

il pendolo dalla verticale

θ

di un angolo e lo

0

lasciamo partire da fermo

θ L

0 le condizioni iniziali

saranno:

T θ(0) θ Ω(0)

= e = 0

0

m da cui:

Θ θ

cosϕ = 0

m

g ωΘ

- senϕ = 0

Si ottiene la legge oraria:

θ(t) θ

= cos(ωt)

0

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PENDOLO SEMPLICE (11)

Se invece il pendolo è

inizialmente sulla verticale

e gli imprimiamo una

velocità iniziale v le

0

condizioni iniziali saranno:

L θ(0) Ω(0)

= 0 e = v /L

T 0

da cui:

Θ cosϕ = 0

m v ωΘ

- senϕ = v /L

0 0

Si ottiene la legge oraria:

m

g θ(t) π/2)

= v /(ωL) cos(ωt -

0

θ(t) = v /(ωL) sen(ωt)

0

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

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PENDOLO SEMPLICE (12)

Notiamo che le due precedenti leggi orarie possono

essere espresse mediante l’ascissa curvilinea s(t)

θ(t) θ

Nel primo caso, da = cos(ωt) otteniamo:

0

Lθ(t) = Lθ cos(ωt), ovvero:

0 s(t) = s cos(ωt)

0

dove s = Lθ

0 0 θ(t)

Nel secondo caso, da = v /(ωL) sen(ωt) otteniamo:

0

Lθ(t) = v /ω sen(ωt), ovvero:

0 s(t) = v /ω cos(ωt)

0

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. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

ENERGIA DELL’OSCILLATORE

ARMONICO (1)

Negli esempi precedenti le forze che agiscono

sull’oscillatore armonico sono conservative (forza

elastica e forza di gravità) quindi ci aspettiamo che

l’energia meccanica totale di questi oscillatori sia

costante

Tuttavia è istruttivo studiare in dettaglio l’evoluzione

nel tempo dell’energia meccanica totale. Consideriamo

solo il caso della massa attaccata alla molla per

semplicità. Dei risultati analoghi valgono per il pendolo

semplice

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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Esame: FISICA
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in farmacia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di FISICA e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Zappasodi Filippo.

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