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Modulo IV – Algebra delle matrici

Si dice prodotto righe per colonne della matrice , , per la , , la

A⋅B A n×m B m×k

m

= =

matrice di ordine con elemento generico . Il nome di

C A⋅B n×k c a b

ij is sj

=

s 1

questo prodotto deriva dal fatto che ogni elemento di è costituito dalla

C

combinazione lineare degli elementi di una colonna di con pesi dati dagli

B

elementi di una riga di . Si noti che c è il prodotto scalare (1.1.3) dell’i-esima riga

A ij

di per la j-esima colonna di

A B.

Esempio 1.4 - Se e sono le matrici degli esempi precedenti il loro

A B

prodotto righe per colonne è

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

    (1.3.3)

2 1 1 2 4 3 2 1 1 2 4 0 16 4

⋅ = =

   

A B ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

3 1 0 2 1 3 3 1 0 2 1 0 6 3

A meno che non sia il prodotto non esiste; inoltre, per , in

k=n B⋅A k=n

≠B⋅A

generale è , cioè non vale la proprietà commutativa della

A⋅B

moltiplicazione.

Esempio 1.5 - Date le matrici e dell'esempio precedente, si ha

A B

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

   

1 2 1 3 1 1 1 0 1 4 1 1 5 1 5

   

⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = (1.3.4)

B A 2 2 2 3 2 1 2 0 2 4 2 1 10 2 10

   

   

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

   

3 2 0 3 3 1 0 0 3 4 0 1 6 3 12

Allora il prodotto di , , per , , è una matrice di ordine ; il

A 2×3 B 3×2 2×2

prodotto è una matrice di ordine .

B⋅A 3×3

Osservazione 1.1 - Poiché i vettori sono casi particolari di matrici, il

vettore riga di elementi può essere considerato come il trasposto del

a′ n

vettore colonna . Il prodotto scalare tra due vettori che hanno la

a a′b

stessa dimensione è quindi una matrice di dimensione , cioè uno

n 1×1

scalare. Invece il prodotto è una matrice quadrata di ordine .

ab′ n

−1

Esempio 1.6 - Dato il vettore di dimensione cinque, il

a=[0 1 0 0]′

prodotto vale

aa′

   

0 0 0 0 0 0

   

1 0 1 1 0 0

   

′    

= − − = −

a a 1 [ 0 1 1 0 0 ] 0 1 1 0 0

   

0 0 0 0 0 0

   

   

   

0 0 0 0 0 0

matrice quadrata di ordine cinque. 1-8


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta le operazioni tra matrici, come sviluppate nel corso di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi sviluppati sono: prodotto di una matrice, trasposizione di una matrice, prodotto righe per colonne A×B della matrice, Operazioni con matrici partizionate.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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